专题07 解题技巧专题：构造等腰三角形的技巧压轴题三种模型全攻略（原卷版）

专题07解题技巧专题：构造等腰三角形的技巧压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 1【类型二过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 13【类型三利用倍角关系构造新等腰三角形】 22【典型例题】【类型一利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】例题：已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．

(1)如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________．(2)如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由．(3)如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系是．【变式训练】1．在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E是BC的中点，过E作EFAD交CA延长线于P，交AB于F，求证：(1)△APF是等腰三角形；(2)BF=CP(3)若AB=12，AC=8，试求出PA的长．2．已知：如图1，中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D，过点D作交AB于点E，交AC于点F．(1)求证：BE+CF＝EF；(2)若将已知条件中的“∠ACB的角平分线”改为“∠ACB的外角平分线”，其他条件不变（如图2）（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出BE，CF，EF之间的关系．（不需证明）3．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）类比、转化等数学思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．已知△ABC．(1)观察发现如图①，若点D是和的角平分线的交点，过点D作分别交，于E，F．填空：与的数量关系是______．请说明理由(2)猜想论证如图②，若点D是外角和的角平分线的交点，其他条件不变，填：与的数量关系是______．请说明理由(3)类比探究如图③，若点D是和外角的角平分线的交点．其他条件不变，则（1）中的关系成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出关系式，再证明．4．解答(1)问题背景如图（1），已知，平分，求证：．(2)尝试应用：如图（2），在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的数量关系，并证明你的结论．(3)拓展创新：如图（3），在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．

5．【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，常过点作交于点，易得为等腰三角形．(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，则重合部分是等腰三角形．请将以下过程或理由补充完整：∵在长方形中，，∴，由折叠性质可得：____________，∴，∴，（依据是：____________）∴是等腰三角形；(2)【类比探究】如图3，中，内角与外角的角平分线交于点，过点作分别交、于点、，试探究线段、、之间的数量关系并说明理由；(3)【拓展提升】如图4，四边形中，，为边的中点，平分，连接，求证：．【类型二过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】例题：已知：等边中．(1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足，求的值；(2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且，求证：．(3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足，求的值．【变式训练】1．如图，在中，，为延长线上一点，且交于点.(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，为中点，求的长.2．已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：（填“＞”、“＜”或“＝”）．(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由．（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）．(3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）．3．在等边中，是的中点，，的两边分别交直线、于、．(1)问题：如图1，当、分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系；(2)探究：如图2，当落在边上，落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由；(3)应用：如图3，当落在射线上，F落在射线上时，，，则___________．【类型三利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：如图，在中，，的平分线交于点D．求证：．

【变式训练】1．在中，，(1)如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，易证．请证明；(2)①如图②，当，为的角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当，为的外角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．2．【问题背景】小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，试判断和之间的数量关系．【初步探索】小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）（1）写出图2中全等的三角形____________________；（2）直接写出和之间的数量关系__________________；【类比运用】（3）如图3，在中，，平分，求的周长．小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在