导数总复习 知识点+例题 全面分类

教学内容

知识模块1导数的相关知识点

一、导数的相关概念及公式

1.平均变化率：

函数)，=〃)从XI到X2的平均变化率为益?二八⑴,若Ax=X2-X”Ay=/(X2)一四)，则平均变化率可表示为弟.

2.函数y=/(x)在x=xo处的导数

(1)瞬时速度和瞬时加速度：

瞬时速度：一般地，如果当△/无限趋近于0时，运动物体位移S⑺的平均变化率S0。+N)-S。。)无限趋近于

一个常数，那么这个常数称为物体在，二，。时的瞬时速度；

瞬时加速度：一般地，如果当△『无限趋近于0时，运动物体速度v(f)的平均变化率+△"一)无限趋近

△t

于一个常数，那么这个常数称为物体在f=，o时的瞬时加速度；也就是速度对于时间的瞬时变化率.

(2)导数定义：设函数y=/U)在区间(a,h)上有定义，x0&(a,b),若Ar无限趋近于0时，比值

"=/(%+©)―/(%)无限趋近于一个常数人,则称火x)在x=xo处的可导，表示为

AxAx

-,包=&±必A

ZLrAx

(3)导数的几何意义：函数於)在点相处的导数((%)的几何意义是在曲线y=/U)上点。0,贝加)处的切线的斜率.

相应地，切线方程为丁一/(%)=((%)。-/).

3.函数以x)的导函数：称函数/(%)=1㈣&±誓血为於)的导函数，导函数有时也记作＜.

4.求导公式：

1.(kx+b)'=k(k,。为常数)2.C'=0(C为常数)3.x'=\

4.(X2)'=2X5.(x3)'=3x26.(』)'=—与7.(五)，=—^

xx2jx

5.基本初等函数的求导公式：

xx

8.(%")'=(。为常数)9.{a\-a\na(〃>0,且awl)10.(logflx)"=—log^e-—?—(〃>0,且awl)

xxlna

11.(ex\=ex12.(lnx)z=—13.(sinx)f=cosx14.(cosx)z=-sinx

x

6.函数的和、差、积、商的导数：

1、"(冗)+g(%)]'=尸(x)+g'(x)

2、[f(x)-g(x)]r=f\x)-g\x)

3、q(x)r=cf3(C为常数)

4、［/(x)-g(x)］'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

5,/(,,=/'(x)g(x)-/(x)g'(x)

'g(x)g"x)

7,简单复合函数的导数：

a

若y=/(»),u=ax+b,则y'x=y'u-u'x,即y：~y'u'

二、导数与函数的单调性及极值、最值的关系.

1.函数的单调性：

如果函数y=yu)在区间3,加上是增函数，那么对于任意X］,%e(a,b),当为〈尤2时，/(%)</区)，及占一9

与，(的)一，(々)同号，从而有"三)―/巴)>0,即包>0,即/'(x)>0

x,-x2Ax

1.对于函数y=/(x),在某个区间3，匕)内，

如果f'(x)>0,那么函数y=/(x)在这个区间内单调递增；

如果f\x)<0,那么函数y=/(x)在这个区间内单调递减.

2.如果函数)，=处0在某个区间内可导，

当函数)，=%)在这个区间内单调递增，则在该区间内/'(x)>0

当函数y=/U)在这个区间内单调递减，则在该区间内/'(x)«0

2.函数的极值：

1.判断犬xo)是极值的方法

一般地，当函数7U)在点X0处连续时，

(1)如果在X0附近的左侧/(x)>0,右侧/'(x)<0,那么人X0)是极大值；

(2)如果在M附近的左侧/'(x)<0,右侧/'(x)>0,那么加⑹是极小值.

2.求可导函数极值的步骤

⑴求/'(X):

(2)求方程r(x)=o的根；

(3)检查:(x)在方程r(x)=0的根附近的左右两侧导数值的符号.

如果左正右负，那么/(X)在这个根处取得极大值；

如果左负右正，那么段)在这个根处取得极小值.

3.函数的最值：

1、在闭区间［a,勿上连续的函数,/(X)在［a,以上必有最大值与最小值；但在(a,3上不一定有最值，如/(x)=/.

2.若函数人外在［a,句上单调递增，则式a)为函数的最小值，人与为函数的最大值；

若函数40在［a,句上单调递减，则;(a)为函数的最大值，式切为函数的最小值.

3.设函数,/)在［a,3上连续，在3,与内可导，求./U)在［a,例上的最大值和最小值的步骤如下：

(1)求人x)在(a,力内的极值;

(2)将於)的各极值与/(a),负与进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

三、导数的应用

1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y=/(x)；

(2)求函数的导数/(x),解方程/(x)=0；

(3)比较函数在区间端点和了(x)=0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；

（4）回归实际问题作答.

2.不等式问题

（1）证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题.

（2）求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.

3.方程解的个数问题

构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数.

知识模块2例题

-----------------------------i

一、导数的相关概念

［例1］一物体的运动方程为s=3尸-2,则其在4时的瞬时速度为1.-

［巩固1］函数y=/在区间”，2］上的平均变化率为.4

［巩固2］一质点按规律s=2b运动，则其在时间段［1,1.1］内的平均速度为mis,在看/时的瞬时速度

为mis.

6.62,62

［例2］已知函数—X,那么当Zzfo时，+⑴f_1

h

［巩固］已知函数倜是式上的可导函数，且尸⑴=2,则照一+⑴=一2

［例3］己知二函数y=3/+。，y=4d,若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切点斜率为.

0或12

［巩固1］抛物线y=%2+X—2在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标为.(1,0)

InY

［巩固2］函数y=W在点x=e处的瞬时变化率为.0

x

［例4］如果/(x)为偶函数，且/(x)导数存在，则/'(0)的值为.0

［巩固］已知函数/(x)=ac+4,若］im川+-/⑴=2,则实数n的值为.2

-Ax

［例5］已知/(%)=—cosx,则/(%)+/'(—)=-

X271

7T

［巩固］已知函数，(幻=111*+1211£(。€(0,9)的导函数为尸(幻，若使得/'(/)=/(4)成立的/<1,则实数a

的取值范围是

42

2

［例6］(1)已知函数/(x)=21nx+sinx,则/'(x)=.—+cosx

x

(2)函数y=(/+1)/的导数为.(x2+2x+1片

cinv

［巩固］求导：(e、lnx)'=；(必二),=.

COSX

ev(lnx+-)；—^―

xcosx

［例7］已知函数，(x)=sinx+2对0,则/'(申

2

［巩固1］已知函数/(x)=/(令cosx+sinx,______.1

1Y//

［巩固2］函数/。)=」^+111工的导函数是广。)，则/⑴=.—

axa

由固引函数八加高公’则尸中=---I

［例8］函数丁=8$(2/+x)的导数是,-(4x+l)sin(2jc2+x)

［巩固］y=旎""的导函数是.eC0SA'-xsinxeCOSJt

［例9］已知/(x)=InS/—i),且/，(1)=4,则。=.2

［巩固］已知函数/(x)=sin(勿r+Q)(口>0,°>0)的图象关于)，轴对称，则/'(0)=.0

［例10］已知函数yu)=r—4/+5工-4.

(1)求曲线/U)在点(2,12))处的切线方程；

(2)求经过点4(2,-2)的曲线式x)的切线方程.

解(l)Vf(x)=3f-8x+5,：.f(2)=1,

又#2)=-2,

・•・曲线式功在点(2,火2))处的切线方程为y—(-2)=工一2,

即X—y—4=0.

(2)设切点坐标为(即，4A8+5XO-4),

(的)=3焉-8xo+5,

•二切线方程为y—(―2)=(3高一8xo+5)(x—2),

又切线过点(xo,看一4焉+5沏-4),

・••高一4焉+5刈一2=(3焉一8x()+5)(松一2),

整理得(%o—2)2(x()-1)=0,解得沏=2或沏=1,

・•・经过A(2,-2)的曲线段)的切线方程为X一丫一4=0或y+2=0.

［巩固］(1)(2014•江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线>=以2+&。，匕为常数)过点P(2,—5),且该曲线在点P处

的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.

(2)已知函数加)=V—3x,若过点A(0,16)且与曲线尸危湖切的直线方程为y=or+16,则实数a的值是.

答案(1)—3(2)9

解析⑴尸五+1的导数为y=2ax—4,

7

直线7x+2y+3=0的斜率为一亍

b

-

2

a=-1,

由题意得工b7解得则〃+b=—3.

--b——2,

42

(2)先设切点为M(xo,加)，则切点在曲线上有为=焉一3沏，①

求导数得到切线的斜率%=，(刈)=3看一3,

又切线/过A、M两点、,所以％=听蛆，

九0

则3焉一3=听"，②

40

联立①②可解得出=-2,*=-2,

—2—16

从而实数a的值为a—k—-------=9.

-2

二、导数与函数的单调性、最值、极值

［例1］函数/(%)=%—Inx的单调减区间为.(0,1)

［巩固］若/(x)=x2-2x-41nx(x>0),则/(%)的单调增区间为.(2,+8)

［例2］若函数/(x)=2lnx+/—5x+c在区间(加，〃什1)上为递减函数，则相的取值范围是.［-J］

［巩固1］已知函数/。)=；/+内2+6》的单调减区间是［2,3］,则实数〃=,-1

［巩固2］已知函数/(x)=———^在［1,+8)上为减函数，则“的取值范围为」e,+oo)

X

［巩固3］已知函数/(x)=/一/+如+2,若对于任意不々€火，均满足(玉一修)"(七)一/区)］>。，则实数

m的取值范围是」；,+8)

［例3］已知函数/⑴=%3-点在区间(-3,-1)上不单调，则实数k的取值范围是.(3,27)

［巩固1］已知函数/(x)=—万—―3x+41nx在上,7+1］上不单调，则实数/的取值范围是.(0,1)

［巩固2］己知R上可导函数y=/(x)的图象如图所示，则不等式(一一2》一3)/'(x)>0的解集为.

(―8,—DU(—1,1)U(3,+8)

［例4］已知定义在R上的可导函数y=/(x)的导函数为f\x)，满足f'(x)</(%)且y=/(x+1)为偶函数，/(2)=1,

则不等式/(x)<e*的解集为.(0,+8)

［巩固］设函数/'(X)是奇函数/(x)(xeR)的导函数，/(—1)=0,当x>0时，#,(%)-/(%)<0,则使得/(幻>0

成立的X的取值范围是.(一8,-1)U(0,1)

［例5］函数/(x)=/-3/+3x的极值点的个数是.0

［巩固］已知函数/(九)满足/(x)=(⑴/T—/(0)x+-x2,则/(x)的极值点为.x=0

［例6］已知函数/(》)=丁+4/+法+。2在》=1处有极值I。，则/(2)=.18

［巩固］已知函数/(X)=1+3如2+〃尤+*在x=—1时有极值0,则，"+〃=.11

［例7］己知函数/(x)=e、—ax在区间(0,1)上有极值，则实数a的取值范围是.(l,e)

［巩固1］函数/(幻=炉"在区间(氏a+1)上存在极值点，则实数。的取值范围是.(-3,-2)U(-l,0)

［巩固2］函数/(幻=--ainx—l(aGR)在［1,2］内不存在极值点，则a的取值范围是.(―8,2］U区+⑹

［例8］已知函数/⑺一加"的有两个极值点，则实数，，的取值范围是----------.(J,。)

［巩固1］已知函数/'(X)=/+皿？+(而+6)x+l存在极值，则实数机的取值范围是.(-oo,-3)U(6,+00)

,3

［巩固2］函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围为.(0,1)

［例9］已知函数y=/一/-x+5,该函数在区间［0,3］上的最大值是.20

［巩固］函数y=2'-log|(x+l)在区间［0,1］上的最大值和最小值之和为.4

［例10］已知若函数/(x)=(之+1)］在［T,1］上的最大值为2,则实数a的值为.1

x+a

［巩固］已知a"为正实数，函数八幻=依3+法+2*在［0,1］上的最大值为4,则/(x)在［7,0］上的最小值为,

_3

-2

［例11］函数/(幻=(2-幻门一6|在区间(—00,0上取得最小值-4,则实数a的取值范围是.［4,4+272］

［巩固］已知函数/(©=3/+1,g(x)=/_9x,若/(x)+g(x)在区间k,2］上的最大值为28,则实数k的取值范

围是.(—oo,—3］

1,3°

［例⑵若/(x)=—d—一%在(九10-根2)上有最小值，则实数次的取值范围是.(-3,1)

44

［巩固］若函数/(幻=/一3彳在区间(。2一5,。)上有最大值，则实数a的取值范围是.(-1,2)

［例13］若函数/(幻=/—3无2+2—a<0在［—1,2］上恒成立，则”的取值范围是,［2,+oo)

［巩固1J函数/(x)=x-x?+1nx+/〃的恒不为零，则m的取值范围是.(-00,0)

［巩固2］当xw(0,+oo)时，函数/(x)="的图象始终在直线y=Zx+l的上方，则实数上的取值范围是,

(一8,1］

［例14］已知函数/(x)=/-21nx,若关于X的不等式/(x)—在［1,e］上有实数解，则实数机的取值范围

是.y］-2J

［巩固］已知/(x)=x+xlnx,若ZwZ,且左(x-2)</(x)对任意x>2恒成立，则k的最大值是.4

4r2-7

32

[例15]/(%)=------,g(x)=x-3ax-2a(a>0),若对于任意x,e[0,1]，总存在x0e[0,1],使得

2-x

3

g(%)=/区)成立，则〃的取值范围为.[!,-]

［巩固］已知函数/(x)=/-3x,2,2］和函数且。)二"—1,xe［-2,2］,若对于V玉£［-2,2］,总

33

3x0G［-2,2］,使得g(%)=/($)成立，则实数。的取值范围为,(_oo--］U［1,+oo)

1

3

X

［例16］若函数/3)3-/x满足：对于任意的内,々e［O,l］都有|/(内)一/(々)W1恒成立，则。的取值范围

2V326、

_________.r,J

3------3

［巩固］若函数/(x)=x—1—alnx(a<0)对任意内e(O,l］,都有|/(匹)一/(々)|44J-J,则a的取值范围

是.［-3,0)

三、导数的应用

题型一：利用导数证明不等式

［例］已知定义在正实数集上的函数兀r)=$2+2ax,g(x)=3a21nx+6,其中a>0.设两曲线y='/(x),y=g(x)有公共点,

且在该点处的切线相同.

(1)用。表示从并求人的最大值；

(2)求证：y(x)2ga)a>o).

(1)解设两曲线的公共点为(必，yo),

34

/(x)=x+2a,g'(%)=女，

由题意知#必)=8(彳0),/aO)=g'(沏)，

宗+2谢=3。21nxo+b9

a2

xo+2a=%.

｛九0

1,_3a2/口上_,人］、

由xo+2。=,得xo=〃或沏=—3〃(舍去).

即有b=^ci2+2a2—3cr］na=^a2—3a2\na.

令〃(1)=#—3»ln贝ij(/)=2/(l—31nr).

I

于是当《l-3hu)>0,即0u<”时，hf(r)>0；

I

当以一3hU)v0,即Q”时,hf(t)<0.

故人⑺在(0,e3)上为增函数，在(e3,+8)上为减函数,

132

于是〃⑺在(0,+8)上的最大值为〃(e?)=—e3,

2

即b的最大值为e3e3-.

2

(2)证明设F{x}=fi,x)—g(x)=2^+2ax—3a2lnx-b(x>0),

„.,,3a2(%—a)(x+3«)

则F'(x)=x+2a--------黑-------Z(x>0).

故F(x)在(0,n)上为减函数，在(a,+8)上为增函数.

于是F(x)在(0,+8)上的最小值是尸(“)=尸(刈)=凡％)—g(xo)=O.

故当尤>0时，有兀v)—g(x)20,

即当x>0时，-x)2g(x).

［巩固］证明：当xe［0,1］时，*MsinxWx.

证明记F(x)=sinx—坐%

则F'(x)=cos%—2-

当xC(0,3时，F'(x)>0,尸(x)在［0,$上是增函数；

当xw6,1)时，F'(x)<0,F(x)在。，1］上是减函数.

又尸(0)=0,F(l)>0,所以当xG［0,l］时，F(x)》0,

即sinx^^x.

t己//(x)=sinx-x,

则当尤£(0,1)时，H‘(x)=cosx-l<0,

所以”(幻在。1］上是减函数，

则H(x)WH(0)=0,即sinxWx.

综上，乎xWsinxWx,［0,1］.

题型二：利用导数研究函数零点问题

［例］(2013•北京)已知函数兀¥)=/+xsinx+cosx.

(1)若曲线y=/(x)在点(〃，火〃))处与直线相切，求〃与人的值;

(2)若曲线y=/U)与直线y=。有两个不同交点，求力的取值范围.

解(1)由氏0=/+%sinx+cosx,

得f。)=x(2+cosx).

・・・y=/U)在点(a,式0)处与直线y=6相切.

:・/(a)=a(2+cosa)=0且b=j(a),

则a=0,h=fiO)=\.

(2)令/(x)=0,得x=0.

.•.当x>0时,f(x)>0,危)在(0,+8)上递增.

当x<0时，/(x)<0,於)在(一8,0)上递减.

.7/(x)的最小值为式0)=1.

•函数段)在区间(一8,0)和(0,+8)上均单调，

当b>\时曲线y=y(x)与直线y—b有且仅有两个不同交点.

综上可知，6的取值范围是(1,+°°).

[巩固]已知函数人1尸%3—3奴一1,aWO.

(1)求共x)的单调区间；

(2)若风r)在尤=一1处取得极值，直线y=机与y=/U)的图象有三个不同的交点，求机的取值范围.

解(l)f(x)=3*-3a=3(x2—a),

当a<0时，对xGR,有，(x)>0,

...当a<0时，兀0的单调增区间为(一8,4-00).

当〃>0时，由/(x)>0,

解得X<—也或x>\[ci.

由/W<0,解得一g<x<W，

...当a>0时，人才)的单调增区间为(一8,—y[a),(y[ci,+°°),单调减区间为(一g,y[a).

(2)：兀0在》=一1处取得极值，

：.f'(-l)=3X(-l)2-3tz=0,

.'.a—I.

.".J(x)=x}—3x—1,

/(x)=3f—3,

由f(x)—0,解得Xl=-1,X2-1.

由(1)中兀V)的单调性可知，/(X)在X=-1处取得极大值八-1)=1,

在x=l处取得极小值式1)=-3.

:直线y=ni与函数y=/(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示;(x)的图象可知：

实数机的取值范围是(一3,1).

题型三：生活中的优化问题

[例]某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式

)，=告+10*—6)2,其中3