高中数学-函数的单调性与最大(小)值

高中数学——函数的单调性与最大（小）值

目录

1.前言........................................................................1

2.情景问题....................................................................1

3.函数的单调性...............................................................4

3.1.增函数的定义............................................................4

3.2.减函数的定义............................................................4

3.3.对定义要点分析..........................................................5

1.前言

本课例既是概念生成课，也是方法应用课。执教老师以“学科育人”为导

向，围绕“立德树人”总目标，通过“明”、“暗”两条并行主线进行教学设

计，让学科素养真正得以落到实处。

“明线”是按照“问题导学”教学法进行设计，以“问题串”贯穿“情境

引入一概念形成一概念深化一应用探索”等各教学环节，问题设置自然贴切，

指向性强，老师在学生得出一般化结论之后再引导学生去深挖概念的本质特征，

分析概念的内涵外延，重点提升了学生的数学抽象素养，在知识育人、思维育

人、审美育人三方面都较好地完成了育人目标。

“暗线”是沿“背景材料一模型建立一模型分析与求解一模型应用”渗透

数学建模的基本过程，这也是本节课的最大亮点。执教老师通过“诗圣”杜甫

在《望岳》中诗句“会当凌绝顶，一览众山小”引入一个实际问题：爬山时如

何判断“最高处”，引导学生想到一个数学解决办法，即用数学语言描述，抽

象为数学问题，教会学生如何探究，再用数学的观点解释实际问题。学生在问

题的解决过程中积累了应用数学模型解决实际问题的基本技能和基本活动经验,

提升了发现和提出问题、分析和解决问题的能力，促使生活育人、活动育人等

能更好地融入课堂教学，这就使数学建模核心素养真正地落地。

2.情景问题

如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时

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内的气温变化图(24时与0时气温相同为32℃),观察这张气温变化图:

北京奥运会奥林匹克公园场馆

自动气象站某日逐时气温演变图

问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？

问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢?

画出函数f(x)=x和f(x)=x2的图象

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可观察到的图象特征：

(1)函数f(x)=x的图象由左至右是上升的；

(2)函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；也就

是图象在区间(-8,o］上，随x着的增大，相应的f(x)随着减小，在区间(0,+

8)上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。

归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，

同一函数在不同区间上的变化趋势也不同。函数图象的这种变化规律就是函数

性质的反映。

思考：

1.如何用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”，

“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大”？

2.在区间(0,+8)上任取xl,x2,函数值的大小变化与自变量的大小变化

有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？

对于函数f(x)=x2,在区间(0,+8)上，任取两个xl,x2,当xl>x2时，

有f(xl)>f(x2)。这时，我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+8)上是增函数。

请你仿照刚才的描述，说明函数f(x)=x2在区间(-8,0)上是减函数。

对于函数f(x)=x2,在区间(0,+8)上，任取两个xl,x2,当xl<x2时，

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有f(xl)<f(x2)。这时，我们就说函数在区间(0,+8)上是增函数。

3.函数的单调性

3.1.增函数的定义

设函数f(x)的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值xl,x2,当xl<x2

时，都有那么就说函数f(x)在区间D上是增函数(increasing

function)o

3.2.减函数的定义

设函数f(x)的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值xl,x2,当xl<x2

时，都有f(xl)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(decreasing

function)o

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3.3.对定义要点分析

1)函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的；

2)应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保

证函数是增函数(或减函数)。

3)如果函数y=f(x)在某一区间D上是增(减)函数，就说f(x)在这个区间D上

具有单调函数，

这一区间D叫做f(x)的单调区间。

说明：

(1)函数的单调区间D是其定义域I的子集；

(2)判断函数的单调性的方法：

比较法(要注意变形的程度)

(3)证明函数的单调性的步骤：

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例1.图1.3-4是定义在区间［-5,5］上的函数y=/(x),

根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，

(1)增减函数的图象有什么特点？增函数的图象从左自右是上升的，减函数

的图象从左自右是下降的。

(2)用定义证明函数的单调性，需要抓住要点”在给定区间任意取两个自变

量”去比较它们的函数值的大小。

(3)如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在

这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

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函数的单调性

【考点精讲】

性

图象定义

质

设函数f(x)的定义域为Io如果对于定义

增

域1内某个区间D上的任意两个自变量的值

函

XMX2.,当X|VX2时，都有f(X,)<f(x2),

数

那么就说函数千(X)在区间D上是增函数。

设函数f(x)的定义域为Io如果对于定义

臧

域1内某个区间D上的任意两个自变量的值

函

XOx2,当X]VXz时,都有f(X,)>f(x2),

O]Xjxx

数2

那么就说函数f(X)在区间D上是减函数。

如果一个函数在某个区间M上是增函数或是

单调性与单调区间减函数，就说这个函数在这个区间M上具有

单调性，区间M称为单调区间。

【典例精析】

例题1利用单调性定义证明：函数f(X)=Q在其定义域内是

增函数。

思路导航：本题是利用单调性定义证明函数单调性的一个典型例

子，由于函数的定义域没有给出，证明前要先求出定义域，然后证明。

答案：证明：证法一：函数f(x)的定义域是xG[1,+

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°°),任取Xi、X2e[1,+00)且X1VX2,则f(x2)—f(X,)二日二j一

_j_J》]~~[)(“2—|)+“】7)_X,T]

小X?一1+5再一]yjx2_1+J-]-I

+o

•「Xi、x2£[1,°),且X1VX2,Vx2-i+7r,-i>0,x2—x^Oo

・・.f(X,)<f(x2),即函数f(x)=HT在其定义域上是增函数。

7

证法二：函数f(X)二五T的定义域是x£[1,+°°],任取X[、x2

eE1,+8)且x,vx?,贝1]弼=用=及，

/6)Jx2Tvx2-l

x,\[1,+8),且x〔Vx2,「・0Wxi—1<x2—1o

.•.0W=V1。/.I^<1ovf(X2)=A^T>0,.-.f(x,)<f(x2)o

二函数f(x)=H1在其定义域[1,+8)上是增函数。

点评：函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量x的取值

必须是连续的。用定义证明函数的单调性的基本步骤是“取值——作

差(或作商)——变形——定号——判断”。当函数在给定区间上恒

正或恒负时，也常用“作商判1”的方法来解决，特别是函数中含有

指数式时常用此法。解决带根号的问题，常用的方法就是将分子'分

母有理化。从形式上看是由“一”变成“+”。

例题2f(x)是定义在(0,+℃)上的增函数，且尸(上)二尸

y

(x)—f(y)

(1)求尸(1)的值。

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(2)若尸(6)=1,解不等式尸(x+3)-f(1)<2

XO

思路导航：(1)利用赋值法，在等式中令x=y=1,则尸(1)=0。

(2)在等式中令x=36,y=6,则八当=/(3°一/⑹..,./(36)=2/(6)=2。

6

故原不等式为:/(X+3)-/(-)</(36),BPf[x(x+3)]<f(36),又f(x)

X

在(0,+8)上为增函数，

r+3>0

故不等式等价于L>°=0一</2。

x2

0<r(x+3)<36

答案：(1)0(2)。一〈驾口

点评：对于这种抽象函数问题，常利用赋值法解题。

例题3作出函数f(x)-Vx2+2X4-1石I的图象，并指出函数

f(X)的单调区间。

思路导航：由于所给的函数是两个被开方数和的形式，而被开方数

恰能写成完全平方的形式，因此可先去掉根号，转化成分段函数的形

式，再作图写出单调区间。

原函数可化为

__________________-2x,x<-1,

f(x)=&+2x+l+&-2x+l=|x+1|+|x—1|=2,-1<X<1,

2x,x^\.

答案：函数的图象如图所示：

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所以函数的递减区间是（一8,-1],函数的递增区间是[1,+8）。

点评：若所给的函数解析式较为复杂，可先化简函数解析式，作

出草图，再根据函数的定义域和图象的直观性写出单调区间。去绝对

值的关键是令每一个绝对值等于0,找到分界点，再讨论去绝对值。

【总结提升】

定义法证明

性

1.设f（X）、g（X）都是单调函数，有如下四个命题，其中正确的

命题为（）

①若f（X）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）-g（X）单调

递增②若f（X）单调递增，g（X）单调递减，则f（x）-g（x）

单调递增③若f（X）单调递减，g（X）单调递增，则f（x）-g（x）

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单调递减④若f(X)单调递减，g(X)单调递减，则f(x)-g(x)

单调递减

A.①③B.①④C.②③

D.②④

2.已知函数f(x)在［-2,3］上单调，且f(-2)-f(3)<0,

则方程f(x)=0在［-2,3］内()

A.至少有一实根B,至多有一实根C,没有实根

D.必有唯一实根

3.设函数千(x)是(-8,+8)上的减函数，则()

A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)

C.f(a2+a)<f(a)D,f(a2+1)<f(a)

4.f(x)是定义在R上的增函数，有下列函数：①丫=Ef(x)］2

是增函数；②y=；是减函数；③丫二-^(x)是减函数；④y=|f(x)

|是增函数。其中错误的结论是0

5.已知函数千(x)=x?+mx在(-8,—1)上递减，在1-1,+

8］上递增，则f(x)在［-2,2］上的值域为o

6.函数y=户的单调递减区间是。

7.用定义证明y=-x'+1在(―8,+8)是递减函数。

8.求函数y=2x—1—7FT石的最大值。

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函数的单调性

1.c解析：由函数单调性定义可得：②③正确，也可举反例否定

①④命题。

2.D解析：由于f(x)在［-2,3］上单调，又f(一2)•f(3)

<0,/.y=f(x)在［-2,3］上必与x轴有一交点，如下图。故选D。

3.D解析：,.4+1—a-(a--!-)2+->0,

24

2

.,.a+1>a0

,/f(x)在(-8,+8)上为减函数,

.'.f(a2+1)<f(a),选D。

4.①②④

解析：利用函数的单调性定义判断。

5.［-1,8］

解析：由条件知：一£=一1,.・川=2。

2==

•'•f(x)=X+2X,•'.y.in-1,yMXf(2)=8。

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6.(—8,—1)和(-1,+°°)

解析：解尸口二一1+工，可得单调递减区间是(一8,一1)和

l+xx+!

(―1,+8)。

7.证明：设XijeR,则。=*?—x)0,

33

△y=f(x2)—f(x,)=(—X2+1)—(—x,+1)

332