高思奥数导引小学四年级含详解答案第22讲计数综合一

第22讲计数综合一

兴趣篇

1、现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1张，面值10元的钞票2张。如果从中取

出一些钞票（至少取1张），可能凑出多少种不同的总钱数？

2、一本书从第1页开始编排页码，到最后一页结束时共用了1983个数码。这本书共有多

少页？

3、费叔叔带着昊昊、铮铮、包包一起到圆明园游玩。他们四人站成一排照相，其中费叔叔

要站在最左边或者最右边，一共有多少种不同的站法？

4、有13个球队参加篮球比赛。比赛分两个组，第一组7个队，第二组6个队。各组内先

进行单循环赛（即每队都要与本组中其他各队比赛一场），然后由两组的第1名再比赛

一场决定冠亚军。请问：一共需要比赛多少场？

5、从5瓶不同的纯净水，2瓶不同的可乐和6瓶不同的果汁中，拿出2瓶不同类型的饮料,

共有多少种不同的选法？

6、从4台不同型号的等离子电视和5台不同型号的液晶电视中任意取出3台，其中等离子

电视与液晶电视至少要各有1台，共有多少种不同的取法？

7、从1至9中取出7个不同的数，要求它们的和是36,共有多少种不同的取法?

8、用0、1、2、3、4这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数?

9、用两个1、一个2、一个3、一个4可以组成多少个不同的五位数？

10、在所有不超过1000的自然数中，数字9一共出现了多少次?

拓展篇

1、把自然数1至2008依次写成一排，得到一个多位数12345678910111213—0620072008c

请问：

(1)这个多位数一共有多少位？

(2)从左向右数，这个多位数的第2008个数字是多少？

2、商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着9个球。其中红色的、黄色的和绿色的球各

有3个，而且每种颜色的球都分别标有1、2、3号。顾客从箱子里摸出3个球，如果3

个球的颜色全部相同或者各不相同，就可以中奖。已知这两种中奖方式分别被设定为一

等奖和二等奖，并且一等奖比二等奖少。问：到底哪种中奖方式是一等奖，哪种中奖方

式是二等奖呢？

3、工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问:

(1)一共有多少种不同的抽法？

(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？

(3)抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？

4、如图，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？

5、6名学生和4名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是3名学生和2名老师，一共

有多少种分队的方法？

6、10个人围成一圈，从中选出3个人。要求这3个人中恰有2人相邻，一共有多少种不同

选法？

7,用0、1、2、3、4、5这六个数字可以组成多少个没有重复的四位数？其中偶数有多少

个？

8,用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数的和是

多少？

9、用两个1、两个2、两个3可以组成多少个不同的六位数？

10、5名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法:

(1)5个人站成一排;

(2)5个人站成一排,小强必须站在中间；

(3)5个人站成一排,小强、大强必须有一人站在中间;

(4)5个人站成一排,小强、大强必须站在两边；

(5)5个人站成一排,小强、大强都没有站在边上。

11、6名小朋友A、B、C、D、E、厂站成一排。若A、3两人必须相邻，一共有多少种不同

的站法？若48两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？

12、学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生。某此比赛后他们站成一排照相，请问:

(1)如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法？

(2)如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？

超越篇

1、有6种不同颜色的小球，请问：

(1)如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法？

(2)如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法？

(3)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方

法？

(4)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方

法？

2、有一些四位数的4个数字分别是2个不同的奇数和2个不同的偶数，而且不含有数字Oo

这样的四位数有几个？

3、用1、2、3、4这四个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次。例如1234、1233

和2414是满足条件的，而1212、3334和3333都不满足条件。请问：一共能组成多少

个满足条件的四位数？

4、四年级三班举行六一儿童节联欢活动。整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成。

请问：

(1)如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？

(2)如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场顺序？

5、在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐。

而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住。一共有多少种不同

的排队方法？

(1992年第8届迎春杯试题)

6、有9张同样大小的圆形纸片。其中标有数字“1”的纸片有1张；标有数字“2”的纸片有2

张；标有数字“3”的纸片有3张；标有数字“4”的纸片也有3张。把这9张圆形纸片如图

所示放置在一起，要求标有相同数字的纸片不许靠在一起。请问：

(1)如果在M处放置标有数字“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？

(2)如果在“处放置标有数字“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？

7、从三个0、四个1、五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？

8、8个人站队，铮铮必须站在昊昊和包包的中间（不一定相邻），小惠和大智不能相邻，小

光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？

第22讲计数综合一

兴趣篇

11、现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1张，面值10元的钞票2张。如果从

中取出一些钞票（至少取1张），可能凑出多少种不同的总钱数？

【分析】可以有1、2、3、5、6、7、8;加1张10元的即可以有：11、12、13、15、16、

17、18:加2张10元的有：21、22、23、25、26、27、28。

10元、20元。所以共有：3x7+2=23种；

12、一本书从第1页开始编排页码，到最后一页结束时共用了1983个数码。这本书共

有多少页？

【分析】1到9共有9个数码；

10到99共有2x90=180个数码；

100至，1999共有：3x900=2700个数码。

1983-189=1794

1794+3=598。

所以共有：100+598-1=697页；

13、费叔叔带着昊昊、铮铮、包包一起到圆明园游玩。他们四人站成一排照相，其中

费叔叔要站在最左边或者最右边，一共有多少种不同的站法？

【分析】2x3x2x1=12种；

14、有13个球队参加篮球比赛。比赛分两个组，第一组7个队，第二组6个队。各组

内先进行单循环赛（即每队都要与本组中其他各队比赛一场），然后由两组的第1名再

比赛一场决定冠亚军。请问：一共需要比赛多少场？

【分析】C；+C；+2=N3+"+2=21+15+1=37个；

762x12x1

15、从5瓶不同的纯净水，2瓶不同的可乐和6瓶不同的果汁中，拿出2瓶不同类型的

饮料，共有多少种不同的选法？

【分析】

(1)若选择纯净水、可乐：5x2=10;

(2)若选择纯净水、果汁：5x6=30:

(3)若选择可乐、果汁：2x6=12;

所以，共有：52种不同的选法；

16、从4台不同型号的等离子电视和5台不同型号的液晶电视中任意取出3台，其中

等离子电视与液晶电视至少要各有1台，共有多少种不同的取法？

【分析】有4xC；+5xC；=70种;

17、从1至9中取出7个不同的数，要求它们的和是36,共有多少种不同的取法？

【分析】由于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,现在取出7个数，使得他们的和为36,则可

认为是取两个数，使得他们的和为：9.,有：1+8=2+7=3+6=44-5,共计4种不同的取法。

18、用0、1、2、3、4这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？

【分析】共能组成4x4x3x2=96个没有重复数字的五位数。

9、用两个1、一个2、一个3、一个4可以组成多少个不同的五位数？

【分析】

(1)若1在首位，有：4x3x2x1=24种：

(2)若1不在首位，有：3x4x3=36种。

所以共能组成60种不同的五位数。

19、在所有不超过1000的自然数中，数字9一共出现了多少次？

【分析】对于000到999来说，共有1000x3=3000个数码，每一个数码出现的概率是一样

的，均为：—o而000与1000均没有数码1,所以数字9一共出现了3000xL=3(X)次。

1010

拓展篇

1、把自然数1至2008依次写成一排，得到一个多位数12345678910111213...0620072008»

请问：

(1)这个多位数一共有多少位？

(2)从左向右数，这个多位数的第2008个数字是多少？

【分析】(1)1到9共有：9个数字；

10到99共有:2x90=180个数字;

100到999共有:3x900=2700个数字;

1000至42008共有：4x1009=4936个数字。

所以这个多位数共有7825位。

(2)从左往右数，(2008-189)+3=6061,则从左往右数，这个多位数的第2008个数字

是6»

2、商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着9个球。其中红色的、黄色的和绿色的球各

有3个，而且每种颜色的球都分别标有1、2、3号。顾客从箱子里摸出3个球，如果3

个球的颜色全部相同或者各不相同，就可以中奖。已知这两种中奖方式分别被设定为一

等奖和二等奖，并且一等奖比二等奖少。问：到底哪种中奖方式是一等奖，哪种中奖方

式是二等奖呢？

【分析】三种颜色的球全部相同的可能性有3种；3种颜色球各不相同的选法有：3x3x3=27

种。

所以摸出3个颜色相同的球是一等奖，摸出3个颜色各不相同的球是二等奖。

3、工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问:

(1)一共有多少种不同的抽法？

(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？

(3)抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？

【分析】

⑴共有：%=条=竽箸=120种；

43x2x1

(2)抽出的3件中恰好有一件是次品，则另外两件是正品，共有：2xC；=56种：

(3)抽出的3件产品都不是次品共有：C；=56种；

运用排除法，则抽出的3件产品中至少有一件是次品的抽法有64种；

4、如图，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？

【分析】根据题意，有：C；-C：=80个。

5、6名学生和4名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是3名学生和2名老师，一共

有多少种分队的方法？

【分析】考虑一支队伍，相当于从6个学生里选择3个，从4名老师里选择2个，共有：

C：xC：=20x6=120种；

6、10个人围成一圈，从中选出3个人。要求这3个人中恰有2人相邻，一共有多少种不同

选法？

【分析】先选择两个相邻的共有10种选法，再从另外6个不与他们两人不相邻的6个里选

择1个，共有：10x6=60个。

7、用0,1、2、3、4、5这六个数字可以组成多少个没有重复的四位数？其中偶数有多少

个？

【分析】(1)组成没有重复数字的四位数，共有：

5x5x4x3=300个；

(2)其中要有偶数的话，则末位一定只能是0或者或者4;

当末位是0时，有：5x4x3=60个；

当末位是2或者4时有：2x4x4x3=96个。

所以偶数共有156个。

【拓展】这些四位数的和是多少？

【分析】当1在百位上，共有20个数，所有百位的和为：1x20x100;

当1放在十位上，共有：16个，所有十位上的和为：1x16x10;

当1放在个位上，共有：16个，所有个位上的和为：16。

对应的当2、3、4、5也有类似情况。

所以他们的和为：

(1+2+3+4+5)x2000+(1+2+3+4+5)x160+(1+2+3+4+5)x16

=15x2176=32640

8、用1,2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数的和是

多少？

【分析】(1)共能组成：4x3x2=24个没有重复数字的三位数；

(2)当1在百位上时，共有6个数，所有百位上的和为：1x6x100;

当1在十位上时，共有6个数，所有十位上的和为：1x6x10;

当1在个位上时，共有6个数，所有个位上的和为：1x6;

对应的2、3、4也有类似情况。

所以所有三位数的和为：

(1+2+3+4)x6x100+(1+2+3+4)x6x10+(1+2+3+4)x6=6660

9、用两个1、两个2、两个3可以组成多少个不同的六位数？

【分析】考察1放在首位的情况，此时在余下的五个位置要放1个1,2个2,2个3。

则先考虑1,有5种方法；再考虑从4个空里选择2个空放2,则另外两个数也已固定，共

有：C：=6种；所以1放在首位的共有：5x6=30个。所以1在首位共有30个不同的六

位数；

则2、3类似，共有90个不同的六位数。

10、5名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法：

(1)5个人站成一排；

(2)5个人站成一排，小强必须站在中间；

(3)5个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间；

(4)5个人站成一排，小强、大强必须站在两边；

(5)5个人站成一排，小强、大强都没有站在边上。

【分析】

(1)5个人站成一排，共有：右=120个；

(2)小强必须在中间有：&=24个；

(3)小强与大强选一人站在中间有：2*父=48个；

(4)小强与大强必须站在两边有：2x3x2x1=12个；

(5)5个人站成一排，小强、大强都没有在边上，有3x2x3x2x1=36种。

【拓展】

5名同学站成一排，恰好有1人站在小强与大强中间。

【分析】首先从另外3个人里挑选出1个人站在小强与大强中间，有3种选法；小强与大强

互换有2种选法；将3人打包，与另外两人排列，有6种。

所以共有：36个；

11、6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排。若48两人必须相邻，一共有多少种不同

的站法？若A、8两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？

【分析】(1)由于A、B必须相邻有：2x8=240种;

(2)若A、8两人不能相邻，一共有婕-2xq=480种;

12、学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生。某此比赛后他们站成一排照相，请问：

(1)如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法？

(2)如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？

【分析】(1)插板法：由于男生不能相邻，则男生只能插在女生中间，女生共有4个空，所

以共有：片=144种；

(2)捆绑法，将女生放在一起，则共有：A；x&=720(种)

超越篇

1、有6种不同颜色的小球，请问：

(1)如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法？

(2)如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法？

(3)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方

法？

(4)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方

法？

【分析】

(1)共有：6=6x5x4=120;

(2)共有：C；=A=6X5X4=20

6A；3x2x1

(3)第一个球有3种选法；第二个球有6种选法，第三个球也有6种选法，共有：

6x6x6=216种选法；

(4)若这些球只有1种颜色，有6种选法；

若这些球有2种颜色，则必然有一种颜色是有两个球，另一种颜色是有一个球。所以共有:

6x5=30种;

若这些球友3种颜色，则共有：=20种选法。

683x2x1

所以共有56种选法。

2、有一些四位数的4个数字分别是2个不同的奇数和2个不同的偶数，而且不含有数字0。

这样的四位数有几个？

:C；=£=10种方法;

【分析】(1)选出的奇数共有

A：

(2)选出偶数共有:C；==6种方法:

(3)由于没有数字0,共有：4x3x2x1=24种方法。

所以共有：24x6x10=1440

3、用1、2、3、4这四个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次。例如1234、1233

和2414是满足条件的，而1212、3334和3333都不满足条件。请问：一共能组成多少

个满足条件的四位数？

【分析】根据题意，四个数字均互不相同，共有：4x3x2x1=24个；

若有且只有一个相同，则有：C：xC；x4x3=144个。

所以共有符合条件的数168个。

4、四年级三班举行六一儿童节联欢活动。整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成。

请问：

(1)如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？

(2)如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场顺序？

【分析】(1)使用捆绑法，将舞蹈、演唱、小品写在一块，则有：A；x&xA；xA；=144种；

(2)现在共有7个位置，则3个小品分别有5与4与3种选法；则共有：

5x4*3x4*3x2x1=1440种选法；

5、在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐。

而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住。一共有多少种不同

的排队方法？

【分析】根据题意，可以考虑八个位置，两个两个考虑，第一列有：C；=28种选法：还余

下6个学生；

第二列有：C；=15种选法，还余下4个学生：

第三列有：C：=6种选法，还余下2个学生；

第四列有：1种选法。

所以一共有：C；xC：xC：=2520种；

(1992年第8届迎春杯试题)

6、有9张同样大小的圆形纸片。其中标有数字“1”的纸片有1张；标有数字“2”的纸片有2

张；标有数字“3”的纸片有3张；标有数字“4”的纸片也有3张。把这9张圆形纸片如图

所示放置在一起，要求标有相同数字的纸片不许靠在一起。请问：

(1)如果在用处放置标有数字“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？

(2)如果在M处放置标有数字“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？

【分析】本题是简单的组合几何计数问题，求解时要考虑各种可能性，做到不重不漏.

(1)由于M位上放置标有数码“3”的纸片，为了使标有相同数码的纸片不靠在一起，

因此，另外两个标有数码“3”的纸片必须放置在右下角和左下角：标有数码“4”的纸片必须放

置在与M相邻的六个位置上，并且相间放置，这样将有两种可能(如图8)

图8

对于每一种情况，标有数码“1”的纸片均有A、B、C三个位置可以放置，所以总共有

3x2=6(种)不同的放置方法.

(2)由于M位上放置标有数码“2”的纸片，另一个标有数码“2”的纸片只能放置在左下

角或右下角(如图9).

对于每一种可能性，标有数码力"、"3”、"4"的纸片放置在A、B、C三个位置，只有六

种方法(如图10).

所以总共有6x2=12(种)不同的放置方法.

说明：如果M位上放置标有数码“1”的纸片，那么将有多少种不同放置方法？请读者试

一试.

7、从三个0、四个1、五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？

【分析】分类讨论：

(1)若不选0,则此时可以再分为5类：

①选择5个2,此时有1个五位数；

②选择4个2,1个1;若1放在首位则有1种；若2放在首位有4种，共有5个5位数；

③选择1个2,4个1,与上类似，共有5个5位数；

④选择3个2,2个1;若1放在首位，有4