广东省2021届高三二模数学试卷解析

绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（二）数学

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题

卡上

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.己知集合人={耳2*>4},集合8={Xx<a},若AU3=R,则实数。的取值范围为（）

A.（-oo,4）B.（h+°o）C.（-oo,2）D.（2,+GO）

2.已知复数z=±+i（i为虚数单位），则忖=（）

A.亚B.72C.75+1D.V10

3.2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛

21

活动，甲同学答对第一道题的概率为一，连续答对两道题的概率为肃.用事件A表示“甲同学答对第一道题”,

32

事件3表示“甲同学答对第二道题”，则P（B|A）=（）

11c23

A.-B.—C.-D.一

3234

4.某一次乒乓球赛的参赛队共有5小组，每小组3队.首先每小组中各队进行单循环比赛（即每两队比赛一

次），然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（）

A.15B.20C.25D.30

5.函数y二^Y~——X三+]大致图象为（）

6.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：”今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小

鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面

打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后

每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚16尺，则几日后两鼠相逢()

A.3B.4C.5D.6

7.已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为26的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最大值为()

32万

A.324B.----C.IOTTD.24zr

3

r22

8.已知椭圆C:J+二=l(a>b>0)的短轴长为4,焦距为2及.过椭圆。的上端点B作圆f+y2=2

a"b~

的两条切线，与椭圆。分别交于另外两点M，N.则DBNM的面积为()

,1441215

A.6B.---C.—D.—

2552

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.正方体ABC。-44GA的棱长为2，E，F，G分别为SC,CC,,的中点，则()

A.直线&C与直线AR垂直

9

B.平面AM截正方体所得的截面面积为一

2

C.三棱锥厂一AGE的体积为2

D.点4与点G到平面AEV的距离相等

10.将函数〃x)=sinx的图象向右平移弓个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的

得到函数g(x)的图象.若g(x)在［(),句上的值域为一；,1,则()

A.g(x)在［0,句上有两个零点

B.g(x)在［(),句上有两个极值点

■rr

c.g(x)在区间0,-上单调递增

24

D.。的取值范围为

11.已知a>0,b>0,a+2b=1,则()

A.a2+b2>-B.-+->3+2A/2

5ab

+b

C.2f>2D.log2a+log2b<-3

12.函数/(x)的定义域为R,且/(x-l)与都为奇函数，则下列说法正确的是()

A.“X)是周期为2周期函数B./(X)是周期为4的周期函数

C./(x+2)为奇函数D./(x+3)为奇函数

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线y=』一Inx在尤=1处的切线在x轴上的截距为.

X

14.已知。为第二象限角，且sin［幺+三］=孑叵，则tan8=________.

(24)10

15.已知DABC中，AB=1，AC=3,cosA=；，点E在直线上，且满足：BE=AB+lAC(leR),

则I画=.

16.已知抛物线C：f=4y的焦点为尸，直线/过点尸且与抛物线C交于A,B两点,分别过A,3两点

作抛物线C的切线4，4,设直线4与12交于点P($，%)，则为=，APAB面积的最小值为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知DABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3sinC+2Gsii?］=括，c=26，

，求□ABC的周长.

从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.条件①：2丽―/=Ac；

条件②：S.c=Ga，条件③：a(acosC+ccosA)=.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.已知数列｛。“｝满足4=1,4=4，。“+2=4%+］-.

（1）证明：｛。，用一24｝为等比数列；

（2）求数列｛4｝的前〃项和S”.

19.如图，AB是半圆E直径，。是半圆E上异于A8的一点，点。在线段AC上，满足且

PA1PC,ZB4C=N%C=30°，A8=4，PB=@.

（1）证明：BC±PA；

（2）求二面角。_庄一3的余弦值.

22Q

20.已知双曲线C:=-==13>0,b>0）的离心率为二，过双曲线。的右焦点尸作渐近线的垂线，垂足为

a~b~2

N,且口EON（O为坐标原点）的面积为石.

（1）求双曲线。的标准方程；

⑵若P,。是双曲线C上两点，且P,。关于原点对称，M是双曲线上异于P,。的点.若直线A/P

和直线的斜率均存在，则M/P/MO是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

21.城市大气中总悬浮颗粒物（简称7SP）是影响城市空气质量的首要污染物，我国的《环境空气质量标准》

规定，TSP日平均浓度（单位：pg/n?）在［0,120］时为一级水平，在（120,300］时为二级水平.为打赢蓝天保

卫战，有效管控和治理那些会加重TSP日平均浓度的扬尘污染刻不容缓.扬尘监测仪与智能雾化喷淋降尘系

统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持.某建筑工地现新配置了智能雾化喷淋降尘系统，实现了依据

扬尘监测仪的TSP日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如下表：

TS尸日平均浓度X<8080<X<120120<X<200200<X<300X>300

X/(jig/m3)

喷雾头个数y/个205080110150

根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间TSP日平均浓度X不高于80ptg/m3,120gg/m3,200gg/m3,

30(Hig/m3的概率分别为0.15,0.35,0.7,0.95.

(1)若单个喷雾头能实现有效降尘8m3,求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数.

(2)若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间7sp日平均浓度X不高于80Rg/m3,120gg/m\

200gg/m3,30()Ng/m3的概率均相应提升了5%,求：

①该工地在未来10天中至少有2天TSP日平均浓度能达到一级水平概率；(06°。0.006,结果精确到

0.001)

②设单个喷雾头出水量一样，如果75尸日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平

时启用所有喷雾头150个，这样设置能否实现节水节能的目的？说明理由.

22.已知函数=+(a-l)x-«lnx(a0).

(1)当azg时，证明：/W>0；

(2)若/(x)有两个零点，求实数。的取值范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合4=旧2、>4},集合3={；dx<a},若AU8=R,则实数”的取值范围为（）

A.（-oo,4）B.C.（T»,2）D.（2,+oo）

答案：D

思路：由y=2、单调递增，解出指数不等式2,>4的解集得集合4,因AUB=R,结合数轴可求得。的取

值范围.

解：解：•.•4=k[2">4}=旧2*>22}={1,>2},B={x|x<a},

又AU3=R，

.•.结合数轴可得。>2,所以。的取值范围为（2,

故选：D.

2.已知复数2=±+，（]为虚数单位），则目=（）

A.旧B.72C.V5+1D.V10

答案：B

17

思路：根据复数运算整理得到2=—+—,，由模长运算可求得结果.

55

*2—i）.2/+1.17.

解：；z=^+i=

T-----77---r+2=-----FI=—I—I

2+i（2+z）（2-z）555

故选：B.

3.2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛

21

活动，甲同学答对第一道题的概率为；，连续答对两道题的概率为:用事件A表示“甲同学答对第一道题”,

32

事件B表示“甲同学答对第二道题“，则P（用A）=（）

1„1-2r3

A.-B.-C.-D.一

3234

答案：D

思路：由条件概率公式直接计算可得结果.

1

解：•/（”）=；,P（A）=|）.,P（^A）=^1=|=1.

3

故选：D.

4.某一次乒乓球赛的参赛队共有5小组，每小组3队.首先每小组中各队进行单循环比赛（即每两队比赛一

次），然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（）

A.15B.20C.25D.30

答案：C

思路：利用组合数首先求出每小组中各队进行比赛次数，再求出各小组的第一名单循环比赛次数即可求解.

解：由题意每小组中各队进行单循环比赛次数为5C；=15,

各小组的第一名再进行单循环比赛次数为=1（）,

先后比赛的总次数为15+10=25.

故选：C

5.函数），=尸一；+1的大致图象为（）

答案：D

思路：选将函数表达式分离后运用基本不等式求出值域就可以选出答案.

%2—x+1(x—1)*"+(x—1)+1

解:=(%-1)4------h1，

x-1X—1

当x>l时，y=(x-l)+—+1>2./(X-I)x—+1=3(x=2等号成立)；

x-\vx-\

当X<1时，y=(x-l)+—+l=-[(l-x)+—]+<-2J(l-x)x—+1=-1(x=0等号成立)；

x-\1-xv1-x

从而可知选项D正确.

故选：D.

点评：思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

6.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：”今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小

鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？'‘题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面

打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后

每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚16尺，则儿日后两鼠相逢()

A.3B.4C.5D.6

答案：B

思路：依次列举出大鼠、小鼠前几天打洞穿墙的尺数，至某天总和不小于16尺即得解.

解：大鼠从第一天起打进尺数依次为：1,2,4,8,…，

小鼠从第一天起打进尺数依次为：1,g,-....

248

前3天两鼠完成量的总和为二35<16,前4天两鼠完成量的总和13为5>16,

48

所以第4天两鼠相逢.

故选：B

7.已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为26的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最大值为()

32〃

A.32万B.——C.1()%D.24〃

3

答案：A

思路：设圆柱底面圆半径为「，高为〃，利用勾股定理可构造方程，利用/I表示出「，从而将圆柱体积表示

为关于人的函数的形式，利用导数求最值的方法即可求得圆柱体积的最大值.

/f21

解：设圆柱底面圆半径为，高为力，则/+-=（26）一，"=12——/>0,

<2/4

0</?<4G，二•圆柱体积V=兀户h=\27ih-—lr,,

4

:.V'^l27r--7rh2,令V'=0,解得：〃=4,

4

当〃w（0,4）时，U>0；当丘（4,46）时，V'<0,

二V=12万〃—（/在w（0,4）时单调递增，在丘（4,46）时单调递减，

TT

--.V=48万一生X64=32万.

max4

故选：A.

点评：关键点点睛：本题考查立体几何中几何体体积最值的求解问题，解题关键是能将圆柱体积表示为关

于圆柱的高〃的函数的形式，从而利用导数求得最值.

22

8.已知椭圆。:=+与=13>人>0）的短轴长为4,焦距为2行.过椭圆C的上端点6作圆/+:/=2

a'h~

的两条切线，与椭圆。分别交于另外两点M，N.则的面积为（）

,1441215

A.6B.---C.—D.—

2552

答案：B

思路：根据椭圆的短轴长为4,焦距为2a，求得椭圆方程，再设直线BN的方程，利用直线与圆相切,

求得直线方程，与椭圆方程联立，求得例，N的坐标即可.

22

解：因为椭圆C:=+4=l（a>b>0）的短轴长为4,焦距为2近，

CTb"

b=2,c=y/2,a2=6，

所以椭圆方程为二十二=1,

64

如图所示:

y

设直线BN的方程为y=履+2,

2

则原点到直线BN的距离为d

Jl+公

又因为直线BN与圆Y+y2=2相切,

所以不、=0,解得k=±l,

则直线BN的方程为y=-x+2,

y=-x+2

由12y2,解得＜

I64

同理求得M（-葭，-,

1124f2A144

所以口3乂0的面积为S=5x/Nx3O=5X彳x2+不卜宗~,

故选：B

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.正方体ABC。—的棱长为2，E，F，G分别为8C,CC,,B瓦的中点，则（）

A.直线8c与直线A/垂直

9

B.平面4所截正方体所得的截面面积为一

2

C.三棱锥F—AGE的体积为2

D.点4与点G到平面AEF的距离相等

答案：BD

思路：A.建立空间直角坐标系，由而•配是否为零判断；B.根据旅〃AQ,由平面的基本性质得到截面

是等腰梯形AEFR求解判断；C.由匕求解判断；D.根据AQ//平面AEFR,即4G//平

面AEb判断.

解：如图所示：

A.建立如图所示空间直角坐标系，则4(2,0,0),尸(0,2,1),瓦(2,2,2),“0,2,0),/=(-2,2,1),鸵=(-2,0,-2),

而通•配=2/0,所以直线用。与直线不垂直，故错误；

B.如图所示：因为EF〃AR,所以截面为等腰梯形AEFD,,所以截面面积为

S=g(E〃+A2>JAB'+8石2阴2"")一=；(亚+2板)•/2,+12—(*)一=4'故正确;

”"=匕3=抬和4W号,故错误；

D.因为AG//RF,AG〃平面AE尸A，即AG〃平面AEE,所以点A与点G到平面AE户的距离相

等，故正确：

故选：BD

点评：方法点睛：画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定,

作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置.

I

10.将函数/(x)=sinX的图象向右平移弓7r个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的一(。〉0),

得到函数g(x)的图象.若g(x)在［0,句上的值域为一；」，则()

A.g(x)在［0,句上有两个零点

B.g(x)在［0,句上有两个极值点

C.g")在区间0,y上单调递增

-24'

D.。的取值范围为

答案：CD

思路：先由图象的平移和伸缩变换得到函数g(x)=sin⑺-2，再根据正弦函数的图像，单调性，值域

逐一判断可得选项.

解：将函数/(x)=sinx的图象向右平移?个单位长度后,函数的解析式为y

6

|(rr

再将曲线上各点的横坐标变为原来的行®＞0),得到函数g(x)=sin［ox-/

JJ-I

又xe[0,不]所以---KCDX-------<CO7V—又g(x)在［0,句上的值域为--,1

6662

jrTT77r24

所以一《切万一一＜—,解得一4口工一，故D正确；

26633

当3=彳时，则一二＜5-：＜彳，此时g(x)在［0,句上只有一个零点，故A不正确;

3662

并且8-工£~时，g(x)单调递增，故B不正确;

6|_62

7171,71

XG0,-------WcoxW—co,当一&①G一时,—<(OX------<——

26-----626-----33666

/、TC

所以函数g(x)在区间0,-上单调递增，故C正确.

故选：CD.

TT

点评：关键点睛：本题考查三角函数的图像变换和正弦函数的性质，关键在于由0X--的范围.运用整体

6

代换的思想，得以解决问题.

11.已知a>0,6>0,4+»=1,则()

A.ci~+b~>—B.—F—>3+2V2

5ab

a+

C.2*>2D.log2a+log2h<-3

答案：ABD

思路：利用a=1-2匕将化为关于匕的二次函数形式，结合匕的范围可求得A正确;

由工+L14(a+26),利用基本不等式可知B正确;

abab

由Q+b=l—bvl可知C错误；

利用基本不等式可求得帅弓,结合对数函数单调性可求得D正确.

解：对于A,•・,〃>(),b>。,a+2b=\y.\a=1-2b>0f解得：0<力<,，

2

.・./+/=。一处)2+6=5/一仍+1,

2AQ11

22

.,.当〃二一时，(5〃—4〃+1)=-----F1=—,/.a+b>-fA正确；

515555

“Tc11(11V-］、c2ba△八12ba__rr

对于B,—i—=—I—(a+2/?)=3H---1—>3+2./—•一=3+2,2

ab\ab)ab\ab

当且仅当——=：,即a=@时取等号，B正确；

ab

对于C,a+2h=\,:.a+b=\—h<\,：,2a+b<2»C错误;

对于D,•.•a+28=lZ2j^(当且仅当a=2Z?时取等号)，.•.abW：,

o

/.loga+logb=logab<log-=-3,D正确.

22228

故选：ABD.

点评：易错点睛：本题重点考查了利用基本不等式和函数单调性求最值的问题；利用基本不等式求最值时,

要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.

(1)“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成

积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是

所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

12.函数/(X)的定义域为R,且—与/(X+1)都为奇函数，则下列说法正确的是()

A.“X)是周期为2的周期函数B.7(x)是周期为4的周期函数

C./(x+2)为奇函数D./(x+3)为奇函数

答案：BD

思路：AB选项，利用周期函数的定义判断；CD选项，利用周期性结合/(X—1),/(X+1)为奇函数判断.

解：因为函数“X)的定义域为R,且/(X—1)与/(X+1)都为奇函数，

所以=/(_x+l)=_/(x+l),

所以=2),/(x)=-/(-x+2),

所以/(—x-2)=/(—x+2),即/(x+4)=/(x),故B正确A错误；

因为/(x+3)=/(x+3-4)=/(x—l),且/(x—1)为奇函数，所以〃x+3)为奇函数，故D正确；

因为/(x+2)与/(%+1)相差1,不是最小周期的整数倍，且为奇函数，所以/(x+2)不为奇函

数，故C错误.

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线y=」-lnx在％=1处的切线在x轴上的截距为.

X

3

答案：~

2

思路：根据导数的几何意义，求得曲线在x=l处的切线方程，进而求得切线在x轴上的截距.

解：由题意，函数y='-lnx,可得y'=--,所以训日=一2,

XXX

由当％=1时，y=l—lnl=l,即切点坐标为(1,1),

所以切线方程为丁-1=-2(》—1),即2x+y-3=(),

33

令y=0,可得％=—,即切线在x轴上的截距为一.

22

3

故答案为：一.

2

14.已知。为第二象限角，且sin（2+M]=主叵，则tan8=_______.

（24）10

4

答案：—

3

思路：根据6的范围可求得0+匹的范围，结合sin[g+f]>o可确定。+工为第二象限角，结合同角三

24124）24

角函数关系求得cos,利用二倍角公式和诱导公式可求得cos。，由同角三角函数关系可求得结果.

JT

解：为第二象限角，.•.2人万+5<。<2版•+〃(ZcZ),

：.k^r+—<—+—<k7T+—GZ),

2244'7

p.(e7r\3\/io八.c,ne兀73兀(i-

又sin—I—=------>0)••H—<—I—<2kjcH-----(Z£Z),

(24J102244v7

Vio

lo-

4

/.sin0-A/1-COS20--53

5cos。3

4

故答案为：---.

3

点评：易错点点睛：已知三角函数值求解函数值时，易错点是忽略角所处的范围，造成在求解三角函数值

时出现符号错误.

15.已知口48。中，AB=1,AC=3,cosA=；，点E在直线上，且满足：BE^AB+lAC（l&R）,

则|画=.

答案：M

思路：设屁=2沅=4（正一通）=丽+//，得屁=一耳不，由余弦定理解得BC,再利用向量线

性运算得通=通-肥，则|通|=J（而—］『展开即可得结果.

解：设BE=28C=4（AC—A8）=A8+/AC,所以/=%=—1

故诙=一月亍，则通=通+诙=而一前

由余弦定理的COSA="*+AC2-BC：=工,又AB=］,AC=3

2ABAC4

所以BC=叵，则2BA-BC-cosB^B^+BC2-AC2=-

22

由|荏|=J（而一网2=\IAB2-2ABBC+BC2=Jl+g+?=VIU

故答案为：Vio

点评：关键点点睛：本题的关键先求解/=-1,得而=-册，然后再由向量模计算方法运算.

16.已知抛物线C:/=4y的焦点为/，直线/过点尸且与抛物线C交于A,8两点，分别过A,3两点

作抛物线C的切线4，，2,设直线4与，2交于点。（毛，为），则为=，3AB面积的最小值为

答案：(1).-1;(2).4

思路：设45，［-），8W，1一），先根据导数几何意义求得两切线方程，然后联立两切线方程可求得交

点坐标尸（24,一1）.因为S叩=1|^|0/,所以将弦长|A却和点P到直线AB的距离d带入即可求得面积

的最小值.

解：解：•••抛物线方程为f=4y,

抛物线的焦点/（0,1）

由题意，直线AB的斜率存在，设&?：丁=履+1,AB辱

fx2=4yc

联立〈*，得x?—4Ax—4=0，

y=kx+\

/.玉+9=4%,X1-x2=-4,

r2尤

由%2=4y,得＞求导得y'=],

22

•••4：y—Y=5（xf）'即产手-千①

2

同理:y=已％-差-②

224

2?

.•・由①②得=2左，%=五工=±^±^—二=拈=一1.

v|AB|=J1+k[X]-工2|=J]+女2J（X]+*2）2_4X/2-Jl+%2J16%2+16=4（1+G）

|2/+1+1|2炉+2I——7

点P到直线AB的距离d=।:!=斗=2Jl+k2，

J]+k2Jl+%2

?

/.SPAB=]阳口=我1+/）位7^=4（1+公）1,

易知％2=0,即女=0时，（S%8）min=4，

故△PAB面积的最小值为4.

故答案为：—1;4.

点评：思路点睛：设出A,8两点的坐标，由导数几何意义求出两切线方程，然后联立求解交点P坐标；设

出直线AB方程，并联立抛物线方程，由弦长公式可得|A8|,由点到直线距离公式可得点P到直线A8的距

离，从而求得S叩=g|AB忸，进而易得面积的最小值.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知「ABC的内角4,B,C的对边分别为。，b,c,且3sinC+26sin2,=G,c=26，

,求「ABC的周长.

从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.条件①：2丽•衣=从，；

条件②：SARC=6。，条件③：a（acosC+ccosA）=-^-〃.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

答案：条件选择见解析；「ABC周长为6G+6.

思路：由题设条件，求出角C,选条件①：由向量数量积求出角A,由正弦定理求解即得；选条件②：由三

角形面积公式求出边"再由余弦定理求解即得；选条件③：由正弦定理边化角，再用余弦定理求解.

c

解：由35后。+2\/55皿25=6，得3sinC+石(1-cosC)=G,

即3sinC-J^cosC=0，所以tanC=Y^，因为。£(0,乃)，所以C二£.

36

选择条件①：由2福=得2bc・cosA=bc,所以cosA=g,

T[-TT

因为A£(0,ZT),所以A=—，所以B="—A—C=—,

32

所以力=2C=4G，夕=，〃2一。2=6,所以DABC的周长为6百+6；

选择条件②：由SABC=，得aabsinC=,所以〃=4j^，

由余弦定理,得/=〃2+62_246cosC，所以12=48+〃2-12a，即a：-12a+36=0,

解得。=6,所以「ABC的周长为6石+6；

选择条件③：由a(acosC+ccosA)=及正弦定理得：

tz(sinAcosC+sinCcosA)=——Z?sinB，所以。sin(A+C)=——0sinB，

22

所以asin3=B，即〃由余弦定理，得/=/十从一2〃儿05。，

22

所以12=•!〃+〃—1。2,所以人=46，a=,=6,所以DABC的周长为6g+6.

18.已知数列｛a“｝满足4=1,出=4，。“+2=4a,I+1-4a„.

(1)证明：｛。川—2a,J为等比数列；

(2)求数列｛4｝的前〃项和S”.

答案：(1)证明见解析；(2)S„=(n-l)2n+l.

a2。

思路：（1）由%+2=4。,加一4a,,化简得到“足一二2,结合等比数列的定义，即可求解.

aZa

n+l-n

（2）由（1）求得可+1-24=2X2"T=2",得到筌—含=1,根据等差数列的定义和通项公式，求得

an=nx2'-',结合"乘公比错位相减法”，即可求解.

解：（1）因为“”+2—4。”+]—，所以q+2-2q+|=2。,用一4q,=2（。向一2。“）,

又由4—24=2,所以｛。,用一2%｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）知｛。，出一2%｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以a32%=2x2"“=2",可得智一券=1

又由*=1,所以＜券，是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以皓=1+（〃—1）x1=〃，即a"=〃x2"T,

所以S“=lx2°+2x2i+3x22+L+nx2"-',

所以2s“=lx2i+2x22+3x23+-..+〃x2",

两式相减，可得—S“=2°+2i+2?+…+—〃x2"=20x（1-2”）乂2"，

1-2

所以S.=（〃—1）2"+1.

点评：错位相减法求解数列的前〃项和的分法：

（1）适用条件：若数列｛风｝为等差数列，数列｛4｝为等比数列，求解数列｛4〃｝的前〃项和S.；

（2）注意事项:

①在写出S“和qS”的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出S“一qS”；

②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；

③作差后，作差部分应用为〃-1的等比数列求和.

19.如图，A3是半圆£的直径，C是半圆£上异于A5的一点，点。在线段AC上，满足且

PAYPC,ZBAC=ZR4c=30°，A3=4，PB=布.

p

（1）证明：BC1PA；

（2）求二面角。一FE—3的余弦值.

答案：（1）证明见解析；（2）-正互.

259

思路：（1）由圆的性质和勾股定理可证得AC，BC，PCVBC,由此可得BC_L平面PAC，由线面垂直

的性质可证得结论；

（2）以。为原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.

解：（1）•••AB是半圆E的直径，C是半圆E上异于A8的一点，AC_LBC.

V=30°.AB=4，..BC=2,AC=A/AB2-BC2=273-

vPA1PC,/9C=30。，..=6，

•­,PB=布,PC2+BC2=PB1，PCIBC.

VPCr>AC=C,

又FAu平面PAC，.•BCJ.R4.

（2）以C为原点，CA,CB所在直线分别为x轴、y轴，过点C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立

空间直角坐标系C-xyz如图所示,

迪、(n

则C(0,0,0),A仅独0,0),3(0,2,0),E(V3,l,0),Dj,0,0,P-A-,

22

、u77

I_2

PE,DEBE=(V3,-l,0),

''2惇T，

7l3)

733八

m-PE玉+X-'Z|=0

2,

设平面石法向量为〃?=（X］，x，zJ,则＜

m-DE~T大+X=0

令X=l，得：x、=-6,4=一§，m=-GI，T；

打及二等%+%一白二。

设平面P8E的法向量为［=（/,%，Z2），得，

n-BE->/3X2-y2=0

令工2=1，得：Z2=g，卜

-73+^--布