专题2.4-2.5 一元一次不等式、一元一次不等式与一次函数（学生版）

专题2.4-2.5一元一次不等式、一元一次不等式与一次函数1.理解一元一次不等式的概念；2.会解一元一次不等式；3.掌握一次不等式（方程）与一次函数的联系。知识点01一元一次不等式【知识点】1、一元一次不等式的概念：只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．注意：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．【知识拓展1】一元一次不等式的定义例1．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）下列不等式是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【即学即练】1．（2022·浙江·八年级专题练习）下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．是一元一次不等式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【知识拓展2】根据一元一次不等式的定义求参数例2．（2022·江苏·南通市八年级阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则m=_______．【即学即练】1．（2022·湖南天心·八年级期末）已知（m＋2）x|m|﹣1＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（

）A．1 B．±1 C．2 D．±2【知识拓展3】一元一次不等式的解集例3．（2022·吉林·珲春市八年级期末）若关于的不等式的解集如图所示，则的值为_____．【即学即练】1．（2021·上海市进才中学北校期中）根据数轴上的表示，写出解集：x_________________2．（2022·浙江义乌·八年级期末）是不等式的一个解，则的值不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4知识点02一元一次不等式的解法【知识点】1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.注意：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．3.不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．注意：在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左．【知识拓展1】一元一次不等式的解法例1．（2022·重庆市八年级阶段练习）解不等式，并将解集在数轴上表示；【即学即练】1．（2022·浙江嘉兴·八年级期末）解不等式，并把解在数轴上表示出来．2．（2022·浙江下城·八年级期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）7x﹣2≤9x+2；（2）．【知识拓展2】一元一次不等式的整数解例2．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）不等式的非负整数解有______．【即学即练】1．（2022·上海市八年级期末）不等式的自然数解是_________．2．（2022·浙江余杭·八年级期末）不等式的最小负整数解______．【知识拓展3】含绝对值的不等式解法例3．（2022·成都市·八年级专题练习）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当，即时：解这个不等式，得：由条件，有：（2）当，即时，解这个不等式，得：由条件，有：∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）；

（2）．【即学即练】1．（2022·成都市·八年级课时练习）解下列不等式：（1）（2）2．（2022·云南盘龙·八年级期中）阅读下面材料：小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.求绝对值不等式的解集（满足不等式的所有解）.小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示.观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点表示的数的绝对值小于3；点B右边的点表示的数的绝对值大于3.因此，小明得出结论，绝对值不等式的解集为：或.参照小明的思路，解决下列问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.①的解集是；②的解集是.（2）求绝对值不等式的解集.（3）直接写出不等式的解集是．【知识拓展4】用一元一次不等式解决实际问题例4．（2022·江苏宜兴·八年级期末）某厂计划生产A，B两种产品若干件，已知两种产品的成本价和销售价如下表：A种产品B种产品成本价（元/件）400300销售价（元/件）560450(1)第一次工厂用220000元资金生产了A，B两种产品共600件，求两种产品各生产多少件？(2)第二次工厂生产时，工厂规定A种产品生产数量不得超过B种产品生产数量的一半．工厂计划生产两种产品共3000件，应如何设计生产方案才能获得最大利润，最大利润是多少？【即学即练】1．（2022·重庆沙坪坝·七年级期中）某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过125分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，根据题意可列不等式（）A．10x﹣5（20﹣x）≥125 B．10x+5（20﹣x）≤125C．10x+5（20﹣x）＞125 D．10x﹣5（20﹣x）＞1252．（2022·山东青州·八年级期末）小明要从甲地到乙地，两地相距2千米．已知小明步行的平均速度为100米/分，跑步的平均速度为200米/分，若要在不超过15分钟的时间内到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设小明需要跑步x分钟，根据题意可列不等式为（）A．200x+100（15﹣x）≥2000 B．200x+100（15﹣x）≤2000C．200x+100（15﹣x）≥2 D．100x+200（15﹣x）≥23．（2022·浙江新昌·八年级期末）某种家用电器的进价为每件800元，以每件1200元的标价出售，由于电器积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可按标价的______折出售．知识点03一元一次不等式与一次函数的关系【知识点】一元一次不等式与一次函数的关系1）一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0（或kx+b＜0）2）从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．3)若两个不等式比较大小，如y1＞y2，反映在图像上为l1的图象在l2的图像上面部分x的取值范围。【知识拓展1】一次函数与一次不等式例1．（2022·山东长清·期中）如图，直线经过点(2,0)，则关于的不等式的解集是（）A． B． C． D．【即学即练】1．（2022·浙江余姚·八年级期末）已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（

）A．B．C．D．2．（2022·江苏常州·八年级期末）如图，一次函数y＝kx＋b的图像与x轴交于点A（1，0），则关于x的不等式x（kx＋b）＞0的解集是（

）A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1或x＜0 D．x＞1或x＜1【知识拓展2】一次函数的函数值大小比较1例2．（2022·江苏溧水·八年级期末）已知函数y1＝－2x与y2＝x＋b的图像相交于点A（－1，2），则关于x的不等式－2x＞x＋b的解集是_____．【即学即练】1．（2022·江苏南京八年级期末）已知一次函数y1＝k1x＋b1与一次函数y2＝k2x＋b2中，函数y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表所示：x…01…y1…34…x…01…y2…54…则当y1＞y2时，x的取值范围是（

）A．x<0 B．x>0 C．0<x<1 D．x>12．（2022·江苏宜兴·八年级期末）如图，一次函数y＝kx＋b（k＞0）的图像过点，则不等式的解集是（

）A．x＞－3 B．x＞－2 C．x＞1 D．x＞2【知识拓展3】一次函数的函数值大小比较2例3．（2022·成都市·八年级专题练习）如图，直线y＝2x+n与y＝mx+3m（m≠0）的交点的横坐标为﹣1，则关于x的不等式2x+n＜mx+3m＜0的整数解为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣3.5【即学即练】1．（2022·江苏八年级期末）如图，函数和的图像相交于点P(1，m)，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【知识拓展4】一次函数与不等式综合问题例4．（2022·山东·八年级专题练习）（多选题）一次函数与的图象如图所示，下列说法中正确的有（）A． B．函数不经过第一象限C．不等式的解集是 D．【即学即练】1．（2022北京初二期末）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②函数不经过第一象限；③不等式的解集是；④．其中正确的个数有()A．4 B．3 C．2 D．12．（2022·河北邯郸·初二期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若直线与线段有公共点，则的值不可能是（）A． B． C． D．题组A基础过关练1．（2022·成都市·八年级）在数学表达式：-3<0，4x+3y>0，x=3，，，x+2>y+3中，是一元一次不等式的有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022·辽宁北镇·八年级期中）若是关于的一元一次不等式，则的值为（

）A． B． C． D．3.（2022·浙江西湖·八年级期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·八年级课时练习）在0，，3，，，，4，中，_______是方程的解；_____是不等式的解；_____是不等式的解．5．（2022·湖南新邵·八年级期末）某学校为落实“五项管理”工作，促进学生健康和全面发展，丰富学生的体育活动，准备从体育用品商店购买一些排球、足球和篮球，排球和足球的单价相同，买一个足球需要50元，买一个篮球需要80元．根据实际需要，该学校从体育用品商店一次性购买了三种球共100个，且购买三种球的总费用不超过6000元，则这所中学最多可购买篮球________个．6．（2022·全国·八年级单元测试）不等式的最大整数解是__________．7．（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）小明解不等式的过程如图．解：去分母得：①去括号得②移项得③合并同类项得④两边都除以-1得⑤（1）请指出他解答过程中从第___________（填序号）步开始出现错误；（2）写出正确的解答过程．8．（2022·黑龙江·肇源县八年级期中）将下列不等式写成或的形式，并把解集表示在数轴上．（1）（2）9．（2022·全国·八年级专题练习）（1）解不等式3（2y﹣1）＞1﹣2（y+3）；（2）解不等式≥+1，并把它的解集在数轴上表示出来．题组B能力提升练1．（2022·浙江余姚·八年级期末）已知三角形的两边长为2，4，则第三边长应为（

）A．6 B．5 C．2 D．12．（2022·山东·东营市模拟预测）如果关于的不等式的解集是，那么数应满足的条件是（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江婺城·八年级期末）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过（220-年龄）×0.8，最低值不低于（220-年龄）×0.6．以30岁为例计算，，，1，所以30岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（

）A． B． C． D．4．（2022·山东诸城·三模）已知直线与直线交于点，且点的横坐标为2，下列结论：①关于的方程的解为；②对于直线，当时，；③方程组的解为，其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．（2022·浙江义乌·八年级期末）某产品进价为每件200元，商店标价为每件300元．现商店准备将这批服装打折出售，但要保证毛利润不低于5%，则商店最低可按______折出售．6．（2022·陕西富县·八年级期末）对于任意实数a、b，定义一种运算：．例如，．已知不等式，则这个不等式的非负整数解共有________个．7．（2022·北京石景山·七年级期末）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是_____；使代数式的值小于20的最大整数x是__________．8．（2022·湖北青山·八年级期中）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6，3n，n+2．（n为正整数）（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边长；（2）若这个三角形的三条边都不相等，直接写出n的最大值为．9．（2022·河南长垣·模拟预测）2021年元旦新冠病毒肆虐，为抗疫救灾，甲、乙两运输队接受了运输20000箱抗疫物资的任务，任务要求在11天之内（包含11天）完成．已知两队共有18辆汽车，甲队每辆车每天能够运输120箱的抗疫物资，乙队每辆车每天能够运输100箱的抗疫物资，前4天两队一共运输了8000箱．(1)求甲、乙两队各有多少辆汽车；(2)4天后，甲队另有紧急任务需要抽调车辆支援，在不影响工期的情况下，甲队最多可以抽调多少辆汽车走？题组C培优拔尖练1．（2022广东八年级数学应用知识展示试题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城周长的最小值为（

）（注：1里=300步，且两个正数的和大于等于其积开方的两倍，当两数相等时取等号）．A．里 B．里 C．里 D．里2．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）对于任意实数、，定义一种运算：．例如，，请根据上述的定义解决问题，若不等式，则该不等式的正整数解是（

）A．1 B．1,2 C．2 D．不存在3．（2022·福建省宁化县教师进修学校八年级阶段练习）对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如：，．若关于的函数为，则该函数的最小值是（

）A．0 B．2 C．3 D．484．（2022·北京海淀·初三开学考试）如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②；③不等式的解集是；④当时，．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①④ D．①③5．（2022·北京市昌平区八年级阶段练习）当_______时，有最小值，最小值是_______；6．（2022·北京市八年级期中）若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点将M，P两点的距离记为MP．给出如下定义：若MP小于或等于k，则称点M为点P的k可达点．例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，1＜2，即点A可称为点O的2可达点．（1）如图，点B1，B2，B3中，___是点A的2可达点；（2）若点C为数轴上一个动点，①若点C表示的数为﹣1，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值___；②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为___；（3）若m≠0，动点C表示的数是m，动点D表示的数是2m，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围___．7．（2022·江苏·八年级专题练习）中午放学后，有a个同学在学校一食堂门口等侯进食堂就餐，由于二食堂面积较大，所以配餐前二食堂等待就餐的学生人数是一食堂的2倍，开始配餐后，仍有学生续前来排