专题2.8 勾股定理的应用（重点题专项讲练）（浙教版）（解析版）

专题2.8勾股定理的应用【典例1】我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？【思路点拨】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形；（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解题过程】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°；（2）海港C受台风影响．理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于D．∵S△ABC=12AC•BC=12∴CD=AC⋅BCAB=300×400∵250＞240，∴海港C受到台风影响；（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口．在Rt△CED中，由勾股定理得ED=EC2-CD2=2502-2402=∴EF＝140km，∵台风的速度为20km/h，∴140÷40＝3.5（h）．∴台风影响该海港持续的时间为3.5h．1．（2021秋•阜宁县期中）中国古代《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折者高几何．意思是：一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？【思路点拨】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．【解题过程】解：如图．设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝（10﹣x）尺，BC＝6尺．在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2，解得：x＝3.2，即折断处离地面的高度为3.2尺．2．（2021秋•钢城区期末）如图，某研究性学习小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂BC之间的距离是多少？【思路点拨】直接利用直角三角形的性质得出∠B度数，进而利用直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半，根据勾股定理即可得出答案．【解题过程】解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4（km），∴BC=AB2-AC故学校与工厂BC之间的距离是23km．3．（2021秋•大丰区期末）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【思路点拨】设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因为直径为20cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．【解题过程】解：设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，∵杯子的直径为20cm，∴杯子半径为10cm，∴x2+102＝（x+2）2，即x2+100＝x2+4x+4，解得：x＝24，24+2＝26（cm）．答：小木棍长26cm．4．（2021秋•金台区期末）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方50m处，过了4s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为130m．这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【思路点拨】利用勾股定理列式求出BC，再根据速度＝路程÷时间求出小汽车的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解．【解题过程】解：由勾股定理得，BC=AB∴v＝120÷4＝30（米/秒），∵30×3.6＝108（千米/小时），∴30米/秒＝108千米/小时，108＞70，∴这辆小汽车超速了．5．（2021秋•渭城区期末）如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【思路点拨】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC＝AC，设BC＝AC＝xm，根据勾股定理求出x的值即可．【解题过程】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，∴BC＝AC，设BC＝AC＝xm，则OC＝（8﹣x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2＝BC2，∴32+（8﹣x）2＝x2，解得x=73∴机器人行走的路程BC为7316m6．（2021秋•河口区期末）东营市某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识．如图，四边形ABCD是规划好的“试验田”，经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．求四边形ABCD的面积．【思路点拨】连接AC，利用勾股定理判断△ADC为直角三角形，利用分割法，分为△ABC和△ADC，求四边形面积，【解题过程】解：连接AC，如图，在Rt△ABC中，AB＝24m，BC＝7m，∴AC=242+在△ADC中，CD＝15m，AD＝20m．AC＝25m，∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2，∴△ADC为直角三角形，∠D＝90°．∴S△ADC=12×AD×DC=12×20×15∵S△ABC=12×AB×BC=12×24×7∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234（m2），答：四边形ABCD的面积234m2．7．（2021秋•高邮市期末）图1是超市购物车，图2为超市购物车侧面示意图，测得∠ACB＝90°，支架AC＝4.8dm，CB＝3.6dm．（1）两轮中心AB之间的距离为dm；（2）若OF的长度为50dm，支点F到底部DO的距离为5dm，试求∠FOD的度数．【思路点拨】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB即可；（2）过点F作FH⊥DO，交DO延长线于H，由勾股定理得OH＝5（dm），再证△FHO是等腰直角三角形，得∠FOH＝45°，进而得出答案．【解题过程】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=AC2+C故答案为：6；（2）过点F作FH⊥DO，交DO延长线于H，如图所示：则FH＝5dm，在Rt△FHO中，由勾股定理得：OH=OF2-F∴OH＝FH，∴△FHO是等腰直角三角形，∴∠FOH＝45°，∴∠FOD＝180°﹣∠FOH＝180°﹣45°＝135°，∴∠FOD的度数为135°．8．（2021秋•青岛期末）如图1，青岛创建文明城市期间，路边设立了一块宣传牌，图2为从此场景中抽象出的数学模型，宣传牌（AB）顶端有一根绳子（AC），自然垂下后，绳子底端离地面还有0.7m（即BC＝0.7），工作人员将绳子底端拉到离宣传牌3m处（即点E到AB的距离为3m），绳子正好拉直，已知工作人员身高（DE）为1.7m，求宣传牌（AB）的高度．【思路点拨】过E作EF⊥AB于F，设AC＝AE＝xm，则AB＝（x+0.7）m，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解题过程】解：过E作EF⊥AB于F，设AC＝AE＝xm，则AB＝（x+0.7）m，在Rt△AFE中，∵EF＝3m，AF＝AB﹣BF＝x+0.7﹣1.7＝（x﹣1）m，AF2+EF2＝AE2，∴（x﹣1）2+32＝x2，∴x＝5，∴AB＝5+0.7＝5.7（米），答：宣传牌（AB）的高度约为5.7m．9．（2021秋•玄武区校级期末）滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道OC，撑杆AB、BC组成，滑道OC固定在窗台上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆AB、BC的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图①，此时点A与点O重合，撑杆AB、BC恰与滑道OC完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆AB与撑杆BC恰成直角，即∠B＝90°，测量得OA＝12cm，撑杆AB＝15cm，求滑道OC的长度．【思路点拨】设OC＝xcm，根据题意得到AC＝（x﹣12）cm，BC＝（x﹣150）cm，根据勾股定理列方程即可得到答案．【解题过程】解：设OC＝xcm，∵OA＝12cm，AB＝15cm，∴AC＝（x﹣12）cm，BC＝（x﹣150）cm，∵∠B＝90°，∴BC2+AB2＝AC2，∴（x﹣15）2+152＝（x﹣12）2，解得x＝51，∴滑道OC的长度为51cm．10．（2021秋•麦积区期末）一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时BC为0.7m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B在水平方向上滑动了多少米？【思路点拨】先根据勾股定理求出AC的长，再根据梯子的长度不变求出CB1的长，根据BB1＝B1C﹣BC即可得出结论．【解题过程】解：∵Rt△OAB中，AB＝2.5m，BC＝0.7m．∴AC=AB2-B同理，Rt△CA1B1中，∵A1B1＝2.5m，CA1＝2.4﹣0.4＝2（m），∴B1C=A1B1∴BB1＝B1C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（m）．答：梯子底端B在水平方向上滑动了0.8米．11．（2021秋•任城区期中）如图，高速公路上有A，B两点相距10km，C，D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，求BE的长．【思路点拨】根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．【解题过程】解：设BE＝xkm，则AE＝（10﹣x）km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由题意可知：DE＝CE，所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4．所以，EB的长是4km．12．（2021秋•榆林期末）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．（1）出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距A点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？【思路点拨】（1）根据题意求得CC1＝12米，BB1＝9米，得到AC1＝28，AB1＝21，根据勾股定理即可得到结论；（2）设AC1＝x米，根据勾股定理即可得到结论．【解题过程】解：（1）如图，出发3秒钟时，CC1＝12米，BB1＝9米，∵AC＝40米，AB＝30米，∴AC1＝28米，AB1＝21米，∴B1C1=282+2∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）设出发t秒，两赛车距A点的距离之和为35米，根据题意得，40﹣4t+30﹣3t＝35，解得t＝5，此时AC12+AB12＝202+152＝252，∴C1B1＝25米，答：当两赛车距A点的距离之和为35米时，遥控信号将会产生相互干扰．13．（2021秋•高州市月考）已知一个三角形工件尺寸（单位：mm）如图，计算高l的长．【思路点拨】过点A作AD⊥BC，利用勾股定理可得AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，从而有AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，可求得BD的值，则可求AD的长，即可求解．【解题过程】解：过点A作AD⊥BC，如图所示：∴AD＝l，在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∵CD＝BC﹣BD＝90﹣BD，∴602﹣BD2＝902﹣（90﹣BD）2，解得：BD＝20（mm），∴AD2＝602﹣202，解得：AD＝402（mm），∴l＝402mm．14．（2021秋•滕州市期中）如图，地面上放着一个小凳子（AB与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为40cm．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，OA＝50cm．（1）求小凳子的高度；（2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若OC＝90cm，木杆BC比凳宽AB长60cm，求小凳子宽AB和木杆BC的长度．【思路点拨】（1）过A作AM垂直于墙面，垂足M，根据勾股定理解答即可；（2）延长BA交墙面于点N，根据勾股定理解答即可．【解题过程】解：（1）过A作AM垂直于墙面，垂足M，根据题意可得，AM＝40cm，在Rt△AOM中，OM=AO即凳子的高度为30cm．（2）延长BA交墙面于点N，可得∠BNC＝90°，设AB＝xcm，则CB＝x+60，BN＝x+40，CN＝90﹣30＝60，在Rt△BCN中，BN2+CN2＝BC2，即（40+x）2+602＝（60+x）2，解得x＝40，则BC＝60+40＝100（cm）．15．（2021秋•万州区期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC、AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC＝9千米，AB＝15千米，BD＝5千米．（1）求公路CD的长度；（2）若修公路DH每千米的费用是2000万元，请求出修建公路DH的总费用．【思路点拨】（1）根据勾股定理得到BC=AB（2）根据勾股定理得到AD=AC2+CD【解题过程】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝9千米，AB＝15千米，∴BC=AB∵BD＝5千米，∴CD＝12﹣5＝7（千米），答：公路CD的长度为7千米；（2）∵AC＝9千米，CD＝7千米，∴AD=A∵DH⊥AB，∴AD2﹣AH2＝BD2﹣BH2，∴130﹣（15﹣BH）2＝52﹣BH2，∴BH＝4，∴DH=BD∴修建公路DH的总费用为3×2000＝6000（万元）．16．（2021秋•莲池区期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题：（1）根据题意可知：ACBC+CE（填“＞”、“＜”、“＝”）．（2）若CF＝5米，AF＝12米，AB＝9米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号）【思路点拨】（1）由绳长始终保持不变即可求解；（2）由勾股定理求出AC、BC的长，即可解决问题．【解题过程】解：（1）∵AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，（BC+CE）的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，∴AC＝BC+CE，故答案为：＝；（2）连接AB，如图所示：则点A、B、F三点共线，在Rt△CFA中，由勾股定理得：AC=AF∵BF＝AF﹣AB＝12﹣9＝3（米），在Rt△CFB中，由勾股定理得：BC=C由（1）得：AC＝BC+CE，∴CE＝AC﹣BC＝（13-34∴小男孩需向右移动的距离为（13-3417．（2021秋•重庆期末）如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米．（1）小敏猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度；（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE＝3米，请你求出要焊接的钢索BF的长．（结果不必化简成最简二次根式）【思路点拨】（1）设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，由勾股定理得x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得x＝8，则AB＝BG+GA＝9（米），即可得出结论；（2）由题意得CF＝DE＝3米，则GF＝GC+CF＝18（米），在Rt△BGF中，再由勾股定理求出BF的长即可．【解题过程】解：（1）不正确，理由如下：由题意得：AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG2+CG2＝CB2，即x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得：x＝8，∴BG＝8米，∴AB＝BG+GA＝9（米），∴小敏的猜想不正确，立柱AB段的正确长度长为9米．（2）由题意得：CF＝DE＝3米，∴GF＝GC+CF＝18（米），在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF=B18．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路CH，测得CB=13千米，CH＝3千米，HB＝2（1）CH是不是从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA短多少千米？【思路点拨】（1）利用勾股定理的逆定理证明△BCH为直角三角形，∠BHC＝90°，则CH⊥AB，根据垂线段最短可判断CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝xkm，则AB＝xkm，AH＝（x﹣1）km，则在Rt△ACH中利用勾股定理得到（x﹣1）2+22＝x2，解方程得到AC的长，然后计算AC﹣CH即可．【解题过程】解：（1）CH是从村庄C到河边的最近路．理由如下：∵CB=13千米，CH＝3千米，HB＝2∴CB2＝CH2+HB2，∴△BCH为直角三角形，∠BHC＝90°，∴CH⊥AB，∴CH为C点到AB的最短路线；（2）设AC＝xkm，则AB＝xkm，AH＝（x﹣1）km，在Rt△ACH中，（x﹣2）2+32＝x2，解得x=13即AC=134∵AC﹣CH=134-3＝0.25答：新路CH比原路CA少0.25千米．19．（2021春•南岗区校级月考）如图，已知射线MN表示一艘轮船东西方向的航行路线，在M的北偏东60°方向上有一灯塔A，灯塔A到M处的距离为100海里．（1）求灯塔A到航线MN的距离；（2）在航线MN上有一点B，且∠MAB＝15°，若轮船的航速为50海里/时，求轮船从M到B处所用的时间为多少小时？（结果保留根号）【思路点拨】（1）由题意得到∠FMA＝60°，AM＝100海里，求得∠AMB＝30°，过点A作AT⊥MN于T，根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠ABT＝∠AMB+∠BAM