专题4.5 立方根（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题4.5立方根（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.【知识点2】立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.【知识点3】立方根的性质（1）；（2）（3）第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.【知识点3】立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.【考点一】利用立方根的定义求立方根【例1】1．求下列各数的立方根：；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】（1）-（4）根据立方根的定义求解即可；（1）解：∵，（2）解：∵，∴；∴；（3）解：∵，（4）解：∵，∴；∴的立方根是．【点拨】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．【举一反三】【变式】求下列各式中的值．（1）；（2）．【答案】(1)或；(2)．【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可；（2）根据求立方根的方法解方程即可．（1）解：∵，（2）解：∵∴∴或，或；．【点拨】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求立方根和求平方根的方法解方程是解题的关键．【考点二】利用立方根的定义求值【例2】若一个正数的平方根分别是和，求的立方根．【答案】【分析】根据正数的平方根的性质列出方程求得，进而根据平方与平方根的关系求这个数，再根据立方根的定义进行计算即可．解：∵一个正数的平方根分别是和，∴，解得：，∴，则的立方根是，或．【点拨】此题主要考查了平方根的性质，立方根的定义，解题关键是根据题意列出方程．【举一反三】【变式1】已知正数x的两个不同的平方根是和，y的立方根是，求的值．【答案】94【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出方程，求出，即可求出x、y,代入求出即可．解：∵正数x的两个平方根分别是和，∴，解得，，∴，∵y的立方根是，∴，∴．【点拨】本题考查了平方根，立方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．【变式2】已知一个正数的两个不同的平方根分别是与．求a的值；求关于x的方程的解．【答案】(1);(2)【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数列式求解即可；（2）根据立方根的定义求解即可．（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与，∴，解得：．（2）解：当时，，即，解得：．【点拨】本题主要考查了平方根的性质、立方根的定义等知识点，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．【考点三】利用立方根的性质计算【例3】计算：【答案】【分析】先化简平方根和立方根，再算加减即可．解：．【点拨】本题主要考查了平方根和立方根的化简计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【举一反三】【变式1】计算：．【答案】8【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．解：=8【点拨】本题主要考查了零指数幂以及立方根、负整数指数幂、绝对值，正确化简各数是解题关键．【变式2】计算：【答案】1.3【分析】根据绝对值，算术平方根和立方根的概念求解即可．解：原式．【点拨】此题考查了绝对值，算术平方根和立方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的概念．【考点四】探究立方根的变化规律【例4】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：a…0.0444004000……x2y200…(1)表格中的两个值分别为：x=；y=；(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根：①；②；(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则．【答案】(1)0.2，20;(2)①0.1435；②14.35;(3)12.60【分析】（1）依据算术平方根的意义解答即可；（2）依据从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答；（3）根据（2）中的规律进行类比解答即可；解：（1）由题意，，，故；，，故．综上，，；（2）由题意得，被开方数扩大或缩小倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则算术平方根的小数点就向左或向右移动位．即有：，，；（3）类比算术平方根中被开方数的小数点变化规律，可得：被开方数扩大或缩小倍，立方根就相应的扩大或缩小倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则立方根的小数点就向左或向右移动位．即有：，．【点拨】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键在于从小数点的移动位数找出规律来解题．【举一反三】【变式1】观察下列规律回答问题：，，，，，则；；按上述规律，已知数小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？已知，若，用含的代数式表示，则；根据规律写出与a的大小情况．【答案】(1)；(2)﹣；(3)当或时，；当或时，；当或时，．【分析】（1）根据立方根的概念进行求解、归纳；（2）运用（1）题规律进行求解；（3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳．（1）解：；；按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位，故答案为：；（2）解：由（1）中规律可得，已知，若，则的绝对值是的且符号相反；用含的代数式表示，则，故答案为：；（3）解：，，，，，与的大小情况为：当或时，；当或时，；当或时，．【点拨】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳．【变式2】爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：…………你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大；已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：，；已知则，．类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？【答案】(1)倍；(2)；；(3)；(4)能直接说出，不能直接说出的值【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致；（2）（3）根据规律进行计算即可求解；（4）根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致．（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍,故答案为：倍．（2）（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：；，故答案为：；．（3）∵∴；（4）解：∵，∴，不能直接说出的值【点拨】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．【考点五】平方根与立方根的性质综合【例5】求下列各式中的x：；(2)．；(4)．【答案】(1)；(2)3；(3)5；(4)【分析】（1）先求得，然后再直接开平方即可解答；（2）先运用立方根整体求出，再求出x即可；（3）先运用平方根的性质和立方根的知识化简，然后再计算即可；（4）先运用立方根、绝对值的知识化简，然后计算加减法即可．（1）解：（2）解：．所以该方程的解为：．所以该方程的解为：．（3）解：（4）解：．．【点拨】本题主要考查了立方根、平方根、绝对值，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】化简：．【答案】．【分析】因为，，，所以即可化简．解：原