高考数学重点考点解析第二章 (四)

一、选择题

1.若不等式4r+；rZ+:r£+…++7〈芸对于一切〃6N+恒成立，则自

4/1+14/1+54〃十98〃十125

然数机的最小值为（）

A.8B.9

C.10D.12

解析显然〃=1时，左边最大为1念4则1含4微m，

'.m的最小值为8,选A.

答案A

2.关于正整数”的不等式2">〃2成立的条件是（）

A.〃GN+B.〃24

C.n>4D.〃=l或〃>4

解析〃=4,24=42=16,n=1时，2>1,n=5,25=32,52=25,.,.当〃>4

时，2">〃2成立，故选D.

答案D

3.用数学归纳法证明l+?Wl+3+；d--1~/丹+〃（〃力+）成立，当〃=1时，

应验证（）

A3.gl+/1爹3B.3|<l+21+1^3f

C.5WI+5+QV5D.5VI+5V5

解析〃=1时，左边|,中间1+斗右边g+l=|，故选A.

答案A

二、填空题

4.用数学归纳法证明"5”=工+士+士+…+4r〉l（〃eN+）”时，矫等

n+1〃十2〃十33〃十1

于.

解析〃=1时，〃+1=2,3〃+1=4,.,.Si=g+1'十不

分案-4--+-

口水2十3十4

5.已知a,b,cWR,。+。+。=0,abc>0,T=:+/+：,则7与0的关系是

角华析•；a+b+c=O,・二(。+/?+。)2=。2+/+。2+2。力+2/?。+2。(?=0,即2ab

+2bc+2ac=—(a2+b2+c2)<0,*.*abc>0,上述不等式两边同时除以2abc,得

T=~+T+-<0.

abc

答案T<0

三、解答题

6.用数学归纳法证明：--1-^>1(n>l,〃£N+).

nn+1n+2n

证明(1)当〃=2时，.+,+*6+；+3=挣］,

4J।JLaJL乙

即n=2时命题成立.

(2)设九=%(%22)时,命题成立,

即出+…+和，

当n=k+1时，

左边=5?+…+++(出+…十(左；1)2)

I］炉一左一1

>1+(2k+1).(攵+1)2-工=1+攵(什］)2.

,:k>2,令J(k)=O—k—l,对称轴为％=斗

；.(2,+8)为於)的增区间,

.••激)»2)，即然一攵-1>22-2-1=1,

炉一%—1

.L2>0,・・・〃=%+1时，命题也成立・

k(Z+1)、

由(1)(2)知，当心1时，〃6N+命题都成立.

7.比较2"与〃2的大小(〃SN).

解当〃=1时，21>12,即2">〃2,

当〃=2时，22=22,即2"=〃2,

当〃=3时，23。2,即2"</

当“=4时，24=42,即2"=必

当〃=5时，25>5?,即2">/,

当〃=6时，26>62,即2">〃2

猜测：当〃25时，2">£

下面用数学归纳法证明猜测成立.

(1)当〃=5时，由上可知猜测成立.

(2)设〃=々(%25)时，命题成立，即2*>比

：.2k+'=2-2k>2^=k2+l^>^+(2k+l)=(k+l)2,BPn=k+\时命题成立.

由⑴和⑵,可得〃25时,2">/

8.用数学归纳法证明：

「］+/］T--------卜「/I、<5(〃£N+).

、］•2•37n(〃+1)

证明(1)当〃=1时，左边=比<1=右边，不等式成立.

当〃=2时’左边=木+/匕=嗡上右边=啦.

由小+1<2小,

即〃=2时，不等式也成立.

(2)假设〃=攵(左22)时，不等式成立，

即七+…(：+i)<a.

当〃3+1时‘两边同加…J(狂2),得

1।1।…।1

3・2^2^3q(Z+1)(氏+2)

v#+q(&+i)~(1+2)

只须证”J仪+2)历即可

由于同一#〉:(：+])枭+2)

]_______1

7k+17(z+i)a+2)

o'(.+])(Z+2)>\lk+1~hy[k

o\k+1C\/z+2—l)>\[k.

由于攵22,上式显然成立.

即〃=k+1时，不等式成立.

由⑴、(2)知,不等式对〃WN+都成立.

-(1\〃+1

9.设〃为正整数，记,〃=1,2,3,…，求证：an+\<an.

(R〃+l

证明,.&=(1+)>0(〃6N+).

恁+i(1y+2

C+〃+1

((〃+1)(〃+1)y+i〃+1:1+〃(〃+2)y+i〃+1

\n(n+2)Jn~\~2\n(n+2)Jn~\~2

_^"+1n±l

一[-〃(〃+2)J

因此，根据贝努利不等式

a>「+(»+i)•]川十1

斯+1In(〃+2)〃+2

(,n+1)n+1(,1n+1

>[tl+〃2+2〃+J•壬=〔1s+■1壬=1.

所以«„>«„+!对于一切正整数n成立.

10.已知等差数列｛a”｝,等比数列｛/?“｝,若a\=b\,。2=岳，且对所有的

自然数n恒有斯〉0,求证：当n>2时,an<bn.

证明；ai#a2且知>0，故｛斯｝是递增数列，

小｝公差"=02一因，｛仇｝公比4=[=詈.

当〃>2时，知<〃用数学归纳法证明:

(1)当几=3时，①一。3="/—(〃i+2J)

故原不等式成立.

(2)假设n=k(&23)时,不等式成立,即ak<bk.

则bk+\—ak+\=bk•q—(ak+d)

=。啜一(四十。喘一四一(。2一。1)

(延一。1)(。2一。1)

=------------------>0.

即庆+1>延+1.

由⑴⑵可知，当〃>2时，〃均成立.

11.在数列｛斯｝中，671=2,即+1=中+；(心1).

证明：也<册<@

证明首先，证明%>正成立.

(1)当〃=1时，0=2>^^成立.

(2)假设〃=人(%21)时，依1尼成立，

又当〃=4+1,由题意知四+1=华+；221作•；=6,

2Clk弋,诙

即%|2也，当且仅当发=力即以=啦时，等号成立.

这与以>6矛盾，所以只有ak+i>\「.

由(1),(2)知，不等式斯母(“CN+)成立.

其次，证明不等式。“〈啦+：(〃WN+)成立.

(1)当〃=1时，a\=2<-\/2+|=1+\[2,即不等式成立.

(2)假设〃=4(%21)时，不等式以成K立.

由题知’当〃3+1时