专题4.2 因式分解（十字相乘法与分组分解法）（学生版）

专题4.2因式分解（十字相乘法与分组分解法）1.理解十字相乘法的原理，并能用十字相乘法分解因式（二次三项式）；2.能熟练使用分组分解法分解因式（四项及以上）；3.能灵活使用因式分解的四种方法，并能解决一些实际问题。知识点01因式分解的方法（三）十字相乘法【知识点】③十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。【知识拓展1】十字相乘法分解因式例1．（2022·成都市初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．【即学即练】1．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：_____________2．（2022·湖南岳阳·八年级期末）阅读理解题由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：．示例：分解因式：．分解因式：．多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．（1）尝试：分解因式：（______）（______）；（2）应用：请用上述方法将多项式：、进行因式分解．【知识拓展2】先换元再十字相乘例2．（2022·广西象州·八年级期中）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程：解：设，则（第一步）原式（第二步）（第三步）把代入上式，得原式（第四步）我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：（1）该同学因式分解的结果（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：；（2）请你仿照上面的方法，对多项式进行因式分解．【即学即练】1．（2022·陕西金台·八年级期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令xy＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3知识点02因式分解的方法（四）分组分解法【知识点】④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。注：分组方法往往不唯一，但殊途同归。有时，分组不当会导致因式分解无法继续进行，此刻切不可气馁，可再尝试新的分组方法，也许“惊喜”就在后面。【知识拓展1】例1．（2022·诸暨市初二期中）请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）===（2）===（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解：(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=(_____________)(_____________)；=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=(_____________)(______________)．（2）分解下列因式：①；②．【即学即练1】1．（2022·福建泉州八年级期末）因式分解：(1)(2)【知识拓展2】分组分解法解决实际问题例2．（2022·河南淮滨八年级期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解方法叫作分组分解．例如：．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）分解因式：；（2）三边满足，判断的形状，并说明理由．【即学即练2】2．（2022·广东龙岗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．知识点03因式分解的步骤和实际应用【知识点】因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。②在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及以上的可以尝试分组分解法分解因式③分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。【知识拓展1】灵活选用分解方法例1．（2022·江苏南通·八年级月考）因式分解：（1）3x(a-b)-2y(b-a)；（2)（a2+9）2﹣36a2；（3）(x+1)(x-5)+9．【即学即练】1．（2022·东平县八年级月考）因式分解：（1）（2）（3）

（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）【知识拓展2】配方的应用例1．（2022·四川眉山市·八年级期末）观察下列分解因式的过程：．解：原式=像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．（1）请你运用上述配方法分解因式：；（2）代数式是否存在最小值？如果存在，请求出当a、b分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由．【即学即练】1．（2022·湖南天元·）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求最值问题．例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；例如求代数式2x2+4x-6=2(x+1)2-8，当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2-4m-5=（2）当a，b为何值时，多项式2a2+3b2-4a+12b+18有最小值，求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式a2-4ab+5b2-4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．【知识拓展3】例3．（2022·江苏沭阳·期中）阅读理解以下文字：我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．例如：方程就可以这样来解：解：原方程可化为所以或者．解方程，得所以解为，．根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：（1）解方程：；（2）解方程：；（3）已知的三边长为，，，请你判断代数式的值的符号．【即学即练3】1．（2022·上海市静安区初二课时练习）已知，且，都是正整数，试求，的值．题组A基础过关练1．（2022·全国初二课时练习）若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则之值为何？（）A． B． C． D．2．（2022·陕西凤翔·初二期中）计算结果为的是（）A． B． C． D．3．（2022·长春市八年级月考）分解因式________________．4．（2022·湖南茶陵·初二期末）分解因式x2+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请利用这种方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝_____．5．（2023·四川渠县·八年级期末）因式分解：．6．（2023·利辛县第四中学）分解因式：（1）；（2）．7．（2022·重庆北碚·八年级开学考试）因式分解：（1）x2+5x﹣6．（2）x3﹣4xy2．8．（2022·江苏南通·八年级期中）分解因式：（1）；（2）9．（2022·上海市静安区实验中学初二课时练习）因式分解：题组B能力提升练1．（2022浙江杭州市·八年级模拟）对于算式，下列说法错误的是（）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除2．（2022·浙江初二月考）如图，设，则的值可以为（）A． B． C． D．3．（2022·河北安国·八年级期末）因式分解：2xy+9﹣x2﹣y2＝___．利用因式分解计算：（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝___．4．（2022·树德中学都江堰外国语实验学校期中）如果，，那么______.5．（2022·贵阳市白云区初二期末）已知，，则代数式的值是________．6．（2022·浙江八年级月考）分解因式（1）（2）（3）（4）7．（2022·江西抚州·八年级期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．例1：“两两分组”：解：原式例2：“三一分组”：解：原式归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：（1）分解因式：①；②；（2）已知的三边满足，试判断的形状．8．（2022·石家庄市八年级期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．例2．（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：（1）分解因式：；（2）分解因式：．9．（2022·山东平阴·）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．即：（m＋n）2＋（n－3）2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，∴m＝－3，n＝3．为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．（1）若x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，求xy的值；（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周长．10.（2022·重庆月考）仔细阅读下列解题过程：若，求的值．解：根据以上解题过程，试探究下列问题：（1）已知，求的值；（2）已知，求的值；（3）若，求的值．题组C培优拔尖练1．（2022·江苏金坛·八年级期末）因式分解：__________．2．（2022·江苏南京·初二期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_____．3．（2022·北京市陈经纶中学分校）阅读下面材料：分解因式：．因为，设．比较系数得，．解得．所以．解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．4．（2022·湖南雨花外国语学校）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．5.（2023•乳山市期中）【阅读材料】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．【问题解决】（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．6．（2022·沙坪坝·重庆八中课时练习）若正整数是4的倍数，那么规定正整数为“四季数”，例如：64是4的倍数，所以64是“四季数”．（1）已知正整数是任意两个连续偶数的平方差，求证：是“四季数”；（2）已知一个两位正整数（，其中，为自然数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数，若与的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数．7．（2022·南阳市第三中学月考）阅读材料：若，求m、n的值．解：∵，∴∴，而，，∴且，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则a=______；b=_________．(2)已知△ABC的三边a，b，c满足=0，关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号