专题04 二次函数的最值问题专训（9大题型）（原卷版）

专题04二次函数的最值问题专训（9大题型）【题型目录】题型一二次函数中线段的最值题型二二次函数中线段和的最值题型三二次函数中周长的最值题型四二次函数中面积最值题型五已知自变量的取值范围求最值题型六根据二次函数的含参情况求最值题型七已知二次函数的最值求解析式题型八二次函数中AB+kCD型最值问题题型九二次函数实际问题中的最大利润问题【经典例题一二次函数中线段的最值】1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，矩形中，已知，，点是边上一点，以为直角边在与点的同侧作等腰直角，连接，当点在边上运动时，线段长度的最小值是()A． B． C． D．2．（2023秋·江苏淮安·九年级统考阶段练习）如图，正方形的边长为2，点在边上运动(不与点重合)，以线段为边在的下方作正方形，取的中点，连接，则的最小值为．

3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1，抛物线经过三点．

(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标；(3)如图2，点M是线段上的点（不与A、C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示的长，并求出的最大值．4．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州杨桥中学校考开学考试）已知函数（为常数）．(1)试判断该函数的图象与轴的公共点的个数；(2)求证：不论为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上；(3)若直线与二次函数图象交于、两点，当时，求线段的取值范围．【经典例题二二次函数中线段和的最值】1．（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）如图，抛物线交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为，下列说法：其中正确判断的序号是（

）①抛物线与直线有且只有一个交点；②若点，，在该函数图象上，则；③将该抛物线先向左，再向下均平移个单位，所得抛物线解析式为；④在轴上找一点，使的和最小，则最小值为．A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④2．（2021秋·广西南宁·九年级统考期中）如图，已知抛物线+P+q的对称轴为直线=－2，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为（－1，－1）．若在轴上存在一点P，使得PM+PN最小，则点P的坐标为.3．（2023秋·安徽合肥·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值．4．（2023秋·云南·九年级云南师范大学实验中学校考开学考试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；(2)在对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标．【经典例题三二次函数中周长的最值】1．（2022·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点、点B与y轴相交于点，下列结论：①；②B点坐标为；③抛物线的顶点坐标为；④直线与抛物线交于点D、E，若，则h的取值范围是；⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，使的周长最小，则Q点坐标为．其中正确的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为．3．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·九年级校考期中）如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线﹒

(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；4．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过，点为抛物线的顶点，点在轴上，直线与抛物线在第一象限交于点，如图①

(1)求抛物线解析式(2)直线的函数解析式为________________．点的坐标为________．(3)在轴上找一点，使得的周长最小，具体作法如图②，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，，此时的周长最小，请求出点的坐标；(4)在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【经典例题四二次函数中面积最值】1．（2022秋·河北邯郸·九年级校考期中）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（

）

A．先增大后减小，最大面积为8 B．先减小后增大，最小面积为6C．始终不变，面积为6 D．始终不变，面积为82．（2021秋·河南平顶山·九年级校考阶段练习）如图1，已知等边△ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，y关于x的函数图象如图2所示，则△EFG的最小面积为．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果分别是从同时出发，求经过几秒时，

(1)的面积等于8平方厘米？(2)五边形的面积最小？最小值是多少？4．（2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且，点是抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的解析式；(2)当点在第四象限时，求的最大面积；(3)当点在第一象限，且时，求出点的坐标．【经典例题五已知自变量的取值范围求最值】1、（2023秋•开福区校级期中）二次函数y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3时，则y的最大值为15+m（用含m的式子表示）．2、（2023秋•河西区期末）当x≥2时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3有（）A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值﹣4 D．最小值﹣43、（2023秋•上城区期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：解：当x＝﹣1时，y＝1；当x＝2时，y＝4；所以函数y的最小值为1，最大值为4．小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．4、（2023•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．（1）求b+c的值．（2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值．（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值．【经典例题六根据二次函数的含参情况求最值】1（2023•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（）A．±16 B．-16或12 C．-16或22、（2023秋•龙口市期末）已知关于x的二次函数y＝x2+2x+2a+3，当0≤x≤1时，y的最大值为10，则a的值为2．3、（2023•灌南县二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，则a+c的值为（）A．3 B．9 C．293 D．4、（2023•青山区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3【经典例题七已知二次函数的最值求解析式】1（2023•宁阳县一模）当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m≤2 B．0≤m＜4 C．2≤m≤4 D．m≥22、（2023•龙港市模拟）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，当m≤x≤m+3时，求y的最小值（用含m的代数式表示）．3、（2023•庐阳区一模）设抛物线y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b为实数，a＜0，且经过（3，0）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）若a＝﹣2，当t﹣2≤x≤t时，函数的最大值是6，求t的值；（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B．若抛物线与线段AB有两个公共点，求a的取值范围．4、（2023•文成县一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），且经过点（2，c）．（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标．（2）当t≤x≤2﹣t时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝3，求t的值．【经典例题八二次函数中AB+kCD型最值问题】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．3．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴分别交于点和点，且，

(1)求抛物线解析式．(2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．(3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．4．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．【经典例题九二次函数实际问题中的最大利润问题】1．（2020秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利元销售，每天可售出个，如果每个口罩的售价上涨元，则销售量就减少件；(1)问每件应涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为元？(2)每件涨价多少元时，商店每日的销售利润最大？最大利润是多少？2．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）某工厂生产种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系．部分数据如下表：每件售价x/万元…2426283032…月销售量y/件…5248444036…(1)求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．(2)该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．①求：三月份每件产品的成本是多少万元？②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？3．（2023·湖北黄石·统考中考真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．(1)求，的值；(2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式．当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．4．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．(1)设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？(3)如果小明想要每月获得的利润不低于1500元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）【培优训练】1．（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数的图象经过点,，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江温州·校联考三模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法项正确的是（

）A．若，函数有最大值5 B．若，函数有最小值5C．若，函数有最小值1 D．若，函数无最大值3．（2023·福建三明·校联考二模）已知二次函数（是常数，且）的最大值为，且该二次函数图像经过点，两点，则的值可能是(

)A． B． C．0 D．14．（2023·山西·模拟预测）已知的对称轴为直线，与轴的其中一个交点为，该函数在的取值范围，下列说法正确的是（

）A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值，有最大值3C．有最小值，有最大值4 D．有最小值，有最大值45．（2023春·江苏镇江·九年级统考阶段练习）如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（）A． B． C．2 D．6．（2023·广东阳江·统考二模）已知二次函数在时，y取得的最大值为15，则a的值为．7．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考三模）已知二次函数，当时，函数的最大值为，则m的值是．8．（2023·湖北襄阳·校考一模）已知抛物线在区间上的最小值是，则m的值为．9．（2023春·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考阶段练习）已知二次函数，当，y有最大值为，则a的值为．10．（2023·湖北黄石·黄石十四中校联考模拟预测）夏季即将到来，为满足大众需要，雪糕店推出了新款盒装雪糕（分A、B两种，不可拆开售卖）共50盒，两款雪糕的成本均为15元/盒，假设购进的所有雪糕均全部售出，且两款雪糕的销量均为正整数．设A雪糕销售单价为x元（，x为整数），所获总利润为y（单位：元），已知当销售单价时，A雪糕的销量为40盒，在此基础之上，x每增加1元，销量就会减少2盒．B雪糕的销售单价恒为30元，设卖出B雪糕所获总利润s（单位：元）(1)用含x的代数式表示下列各量：①卖出A雪糕所获利润___________；②卖出B雪糕所获利润___________．(2)在此次销售中，雪糕店所获总利润为w（单位：元），则当x为多少时