第一章 勾股定理 课堂精练 2021-2022学年北师大版数学八年级上册

1.1.1探索勾股定理

一、选择题

1.在RtAABC中，/A,N仇NC所对的边分别为

。力,(:,/。=90。,。=8,(?=17,贝!]8等于()

A.25B.17C.15D.13

2.在△A3C中,/ANB/C所对的边分别为。力,c,若NC=90。,则

()

A.fl2+/?2=c2B.a2+c2=b1C.h2+c2=a1D.a=c

3.已知一个直角三角形的斜边长为20,一条直角边长为16,那么它的周

长是()

A.160B.48C.60D.96

4.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若£B=1,EC=3,则正方形

ABCD的面积是()

A.4B.8C.10D.12

5.已知直角三角形的两直角边长分别为3和4,则斜边上的高为()

A.5B.3C.1.2D,2.4

6.如图，长为12cm的弹性皮筋拉直放置在水平的直线/上，固定两端A

和8,然后把中点C竖直向上拉升8cm至点0,使得则弹性

皮筋被拉长了()

D

,片、

,，!\

AC

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

7.如图，在长方形ABCD中,A8=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点D

与点B重合,折痕为则AABE的面积为()

A.3cm2B.4cm2C.6cm2D.12cm2

二、填空题

8.在RtAABC中,NA,N3,NC所对的边分别为a,"c,NC=90。.

(1)若。=7力=24,贝|c=;(2)若4=0.5,。=1.3,贝1]b-;

(3)若。=[1=卷，贝1Ja=；(4)若ab-3:4,c=20,贝U

Sz\ABC=•

9.若直角三角形的两边长分别为512,则第三边长的平方

为.

10.如图，为修铁路要凿通隧道8C,测得/4+/8=90。48=5km,AC=4

km,若每天凿隧道0.3km,则需天才能把隧道凿通.

11.如图，从电线杆离地面5m高处向地面拉一条长为13m的固定缆

绳，这条缆绳与地面的固定点距离电线杆底部的距离为m.

12.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其

中最大的正方形的边长是8cm,正方形A的面积是12cn?,正方形B

的面积是9cn?,正方形c的面积是13co?,则正方形D的面积是

cm2.

13.已知:如图,△ACS的面积为30,/。=90。,8。=。4。=久正方形ADEB

的面积为169.则（a-。）?的值为.

三、解答题

14.根据所给条件，求下列图形中的未知边的长度.

(1)求图①中BC的长;

(2)求图②中8C的长.

15.如图，在△A3C中,CO_LA3于点DAC=20f0=15,30=9.

(1)求A3的长;

(2)求△ABC的面积.

16.如图，在RtAABC中,NC=90。,。为AC边上一点，且D4=DB=5

cm,/\DAB的面积为10cn?,求CD的长.

17.如图，某小区的中心广场附近有一块四边形空地ABCD计划改建成

一个小花圃，经测量,NC=NAD8=9()o,BC=12m,CO=9m,A8=17m.求:

(1)BD和A3的长;

(2)四边形花圃ABCD的面积.

18、如图，在△A8C中A6=15,8C=144C=13,求△ABC的面积.

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路:

如图，过点/作根据勾股定理，根据勾股定理

4>_LBC于点0,利用3作为“桥求出仞的长，

设瓦Ax,用含工的一梁”，建立方程再计算三角形

代数式表示CD模型，求出x的值的面积

(1)请你按照他们的解题思路完成解答过程;

⑵填空：在△GEF中,6石二15,七/=13,6/=4,则46石尸的面积

是.

1.1.2验证勾股定理及其简单计算

一、选择题

1.如图，不能用来验证勾股定理的是（）

ARCD

2.如图，为修铁路需凿隧道AC,测得NACB=90o,A3=130m,3C=120m,

若每天凿隧道5m,则把隧道凿通需要（）

A.10天B.9天C.8天D.11天

二、填空题

3.如图，原计划从A地经C地到3地修建一条高速公路，后因技术攻关,

可以开通隧道由A地到B地直接修建（除隧道外部分仍修建高速公路）,

已知高速公路造价为每千米300万元，隧道总长为2千米，隧道造价为

每千米500万元,40=80千米,BC=60千米，则改建后可省工程费用

万元.

4.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地高度AB为

2.5米，当人进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身

高1.6米的学生CD正对着门,缓慢走到离门1.2米的地方时（BC=L2

米），感应门自动打开，则AD=米.

0器

/

2

题

解答

三、

角

些直

形，这

的图

形成

接后

当拼

形适

三角

直角

同的

全相

个完

是4

5.图

勾股

验证

图形

这个

利用

为c.请

边长

。也斜

别为

长分

角边

两直

形的

三角

定理.

AB

是以

，上部

方形

是长

CD

AB

边形

中四

示，其

图所

门如

的大

工厂

6.某

，高

卡车

物的

满货

辆装

有一

米，现

B=2

.3米A

AO=2

，其中

半圆

径的

为直

由.

明理

门?说

过厂

否通

车能

辆卡

则这

.6米,

，宽1

2.5米

】

情境

问题

7、【

证

以验

图，可

用此

①，利

成图

片拼

形纸

三角

直角

等的

张全

用四

小明

吗？

定理

勾股

】

新知

【探索

从面积的角度思考，不难发现:大正方形的面积=小正方形的面积

+四个直角三角形的面积，

从而得数学等式:，(用含字母a,b,c的

式子表示)

化简，得.

【变形运用】

⑴如图①，若。=2Q,则小正方形面积：大正方形面积=;

(2)现将图①中上方的两直角三角形向内折叠，如图②，若。=4/=6.

求空白部分的面积.

①②

1.2一定是直角三角形吗

一、选择题

1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

52

A.15,20,25B.鸿

C.6,12,14D.2,3,5

2.下列各组数中，不是勾股数的是（）

A.6,8,10B.9,41,40

C.8,12,15D.5£12£13岚%为正整数）

3.若△ABC中,NA,N3,NC所对的边分别为。力,c,且三边满足（。

49+办/=0厕下列结论正确的是（）

A.AABC是直角三角形，且NC为直角

B.AABC是直角三角形，且N3为直角

C.AABC是直角三角形，且NA为直角

D.ZXA3C不是直角三角形

4.如图所示人。为AABC的中线，且A3=13,80=10^0=12,则AC的长

为（）

A

A.10B.llC.12D.13

5.如图，在由边长均相同的小正方形组成的网格中标出了

AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是

()

A.CD,EF,GHB.AB,CD,EFC,AB,CD,GHD.AB,EF,GH

6.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股

数，并将它们记录在如下的表格中：

a68101214...

b815243548...

c1017263750...

贝!!当a=20时力+c的值为()

A.162B.200C.242D.288

、填空题

7.李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30

cm,40cm和50cm,则这个教具.（填“合格”或“不合格”）

8.已知a,b,c是△ABC的三边长，若口-川+|次+/一。2|=0,则△ABC的形状

是.

9.如图，每个小正方形的边长均为1A3,C都是小正方形的顶点，则

,

ZABC=________

10.已知等腰三角形ABC中，底边3c=20Q为AB上一点，且

8=16,30=12,则△ABC的周长为.

三、解答题

11.如图，在△ABC中,C0_LA8,垂足为。，如果C0=6AD=9,BD=4,那么

△ABC是直角三角形吗?请说明理由.

12.如图，在四边形A6CD中,/3=90。,48=3。=2,8=34）=1,求/。48

的度数.

D

13.如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格图中哪些是直角三角

形?并说明理由.

14.如图，小明的家位于一条南北走向的河流的东侧A处，某一天小

明从家出发沿南偏西30。方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一

方向走80m到达菜地C处浇水，最后再沿另一方向走100m回到家A

处.小明在河边B处取水后是沿哪个方向走的？

15.如图所示，在△ABC中,AB：BC:AC=3：4：5,它的周长为36cm,

点P从点A出发沿AB边向点3以每秒1cm的速度移动，点。从点3

出发沿8C边向点C以每秒2cm的速度移动.如果点P,Q同时出发,

那么经过3s时,的面积为多少？

c

16、题目:王老师在一次“构造勾股数”的探究性学习中,给出了下表：

m2334...

n1123...

22+132+132+242+3

a...

2222

b461224...

c22-l232-l232-2242-32...

其中m,n为正整数，且m>n.

⑴观察表格，当m=2,n=\时,对应的a,b,c的值能不能为直角三角

形三边的长?说明你的理由.

(2)探究a,b,c与m,n之间的关系，并用含m,n的代数式表

示:a-,b-,

c=.

(3)以a,b,c为边长的三角形是否一定为直角三角形?如果是，请说

明理由;如果不是,请举出反例.

1.3勾股定理的应用

一、选择题

1.如图，甲船以20海里州的速度从港口O出发向西北方向航行，乙船

以15海里/H寸的速度同时从港口O出发向东北方向航行，则2小时后,

两船相距（）

A.40海里B.45海里

C.50海里D.55海里

2.图是一扇高为2m,宽为1.5m的门框，李师傅有3块薄木板,尺寸如

下:①号木板长3m,宽2.7m;②号木板长2.8m,宽2.8m;③号木板长4

m,宽2.4m.可以从这扇门（木框厚度忽略不计）通过的木板是（）

口。

1.5m

A.①号B.②号

C.③号D.均不能通过

3.如图，长方体的高为8cm,底面是边长为3cm的正方形，现有一点从

点A处出发，沿长方体表面到达点C处，则该点所走的最短路程是

A.8cmB.9cm

C.10cmD.11cm

4.在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的

绳子垂到地面上还多

1m,当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的

高为（）

A.13mB.12mC.4mD.10m

5.如图，一个长、宽、高分别为4cm,3cm,12cm的长方体盒子能容下

的木棒最长为（）

A.llcmB.12cm

C.13cmD.14cm

6.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm,在容

器内壁离容器底部4cm的点3处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容

器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处,若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最

短路径长为20cm,则该圆柱的底面周长为（）

A.12cmB.14cmC.20cmD.24cm

二、填空题

7.如图所示，要建一个蔬菜大棚棚宽3.2m,高2.4m,长15m,则覆盖在

顶上的塑料薄膜（网格部分）需要n?.

8.课间时，学生小李看见教室里的一根长25分米的竹竿倒在墙角（如

图）,竿足距墙底端15分米，于是他顺手将竹竿扶正，使竹竿的顶端上升

了4分米，那么竿足将移动分米.

9.如图所示，将一支长15cm的钢笔置于底面直径为6cm，高为8cm的

圆柱形笔筒中，设钢笔露在外面的长度为"cm,则h的最小值

是.

D

10.如图，长方体的底面是边长为3cm的正方形，高为5cm.若一只蚂蚁

从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点。，则蚂蚁爬行的最短路径

长为cm.

5cm

Jr3cm

P

11.图是秋千示意图，秋千在平衡位置时，下端B距离地面0.6m,当秋千

荡到的位置时，下端By距离平衡位置的水平距离EB1为2.4m,距

离地面1.4m,则秋千AB的长为

m.

三、解答题

12.读诗求解:“出水三尺一红莲，风吹花朵齐水面，水平移动有六尺，水

深几何请你算

13.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点

A,民其中由于某种原因，由村庄C到取水点A的路现在不通,

该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点”(点A,H,B在同一

条直线上),并新修一条路测得CB=1.5千米,C”=1.2千米,”8=0.9

千米.

(1)C”是不是从村庄。到河边的最近路?请通过计算加以说明；

(2)求新路CH比原路CA少多少千米.

14、问题:如图，一圆柱的高A3=5dm,底面半径为5dm,3c是上底面直

径，求一只蚂蚁从点4出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.

小明设计了两条路线:

路线1：沿侧面展开图中的线段AC爬行，如图所示:

B1c------>|C沿形剪开f-----------—------------------

①②

设路线1的长度为A,则兀）2=25+25兀4

路线2:圆柱的高A3+底面直径BC.

设路线2的长度为，2,贝!J8=（AB+3C）2=（5+10）2=225.

因为4=25+257?一225=25兀2-200=25（兀2-8）>0,所以片〉心，所以

/1>以所以要选择路线2较短.

（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成:“圆柱的底面半

径为1dm,高A3仍为5dm”,继续按前面的路线进行计算.请你帮小明

完成下面的计算：

路线l:ll=AC2=AB2+BC2=25+7t1-

路线2：¥=（A3+BC）2=49.

因为片<邑所以A々2,所以应选择路线（填“1”或"2”）较

短.

（2）请你帮小明继续研究:设圆柱的底面半径为r,高为九当蚂蚁走

上述两条路线的路程出现相等情况时，求出此时h与r的比值（本小题

兀的值取3）.

教师详解详析

［课堂达标］

l.C2.B3.B4.B5.D

6.C［解析］根据题意，得则在RtAACD

中AC=IAB=Ixl2=6(cm).因为CD=8cm,根据勾股定理，得

所以AD=1Ocm,所以AD+BD-AB=2AD-

4B=20-12=8(cm),即弹性皮筋被拉长了8cm.故选C.

7.C8.(1)25(2)1.2⑶：(4)96

9.169或119［解析］(1)若长为12的边是直角边，则第三边长的平方

为52+122=169;

(2)若长为12的边是斜边厕第三边长的平方为122-52=119.

所以该三角形的第三边长的平方是169或119.

10.1011.12

12.30

13.49［解析］因为NC=90o,3C=a4C=b,z\AC3的面积为30,正方形

ADEB的面积为169,

所以1/?=30,序+〃=169.

所以（”-。）2=。2+。2一2。。=169-120=49.

故答案为49.

14.解:⑴在RtAABC中，由勾股定理，得8C2=482-43=172-82=1所以

3c=15.

⑵在RtAABD中，由勾股定理，得BD2=AB2+AD2=32+42=52.

在氐△CQ8中，由勾股定理，得3£)2=132-52=122,所以30=12.

15.解:⑴因为CDL4B,

所以NCQ3=NCDA=90。.

在RtACDB中，由勾股定理，得8=12,

在RtZ^CDA中，由勾股定理，得AD=16,

所以48=40+80=16+9=25.

11

(2)S^ABC=-AB-CD=-X25X12=150.

16.解:因为△DAB的面积WQABC,

所以958c=10,

解得BC=4.

因为DB=5,

所以由勾股定理，得解得8=3.

所以CD的长为3cm.

17.解:⑴因为NC=90。,3c=12m,CO=9m,

所以在RtABCD中QOnBG+CDzMZZ+gZnZZS,

所以80=15m.

因为NAQB=90。,37)=15m,A3=17m,

所以在Rt/XADB中,AD2=4"_B02=172/52=64,

所以AD-Sm.

(2)5四边形ABCD1=lQ.13D+；BC.CD=；1x8xl5+］1xl2x9=114(m2).

故四边形花圃ABCD的面积是114n?.

［素养提升］

［解析］

(2)如图，过点尸作FHLGE于点H.

设“G=%,贝!J”£=15-%.

由勾股定理得FH^GP-HG2^2-%2,

FH2=EF^-HE~=132-(15㈤2,

则42-^=132-(15-^)2,

解得x-2.4,

所以