高中物理中对称性问题研究

PAGE4高中物理中对称性问题研究——中学物理奥林匹克竞赛知识讲座黑龙江省克东一中刘兴江摘要：本次讲座主要研究在高中物理中存在的对称性问题。通过分析表明，对称性分析可以培养学生的发散性思维，帮助学生抓住问题的要点，能更好地理解物理规律的涵义。对于一些复杂的题目，学生用普通方法难以求解时，往往可在对称性分析中能找到解题的捷径。培养学生在分析问题和解决问题时，首先关注如何选择解题的巧妙方法，以求达到学生思维素质的提高。关键词：对称；对称性；对称轴；等效；发散性思维；灵感。引言我们在中学物理教学中常体会到，学生在掌握物理知识时往往拘泥于基本概念和基本公式，而对一些由基本概念和基本规律引伸开来的题目往往无从下手，许多中上水平的学生不习惯于发散性思维，对一些新背景的题目毫无办法。长此下去，把物理知识学死了，越学越脱离物理学中的实际意义，这样就不利于学生的进一步的发展。其实在高中物理中经常能遇到大量的对称性问题，或可以用对称的手法通过作图、等效化简等办法简化问题，找出对称的要素达到解决问题的目的。通过对称性问题的研究，能得到一些学习规律和方法，激发学习中的灵感，树立学好物理学的信心，培养学生发散性思维的能力，最终形成科学的全面的认识。通过对称性问题研究，可以认识到丰富多采的自然界中包含着大量对称的事实，了解事物的内在规律。能感受各种对称问题的出现，其中包含了稳定与和谐。也能激励学生自觉寻找对称问题的另一半。对称性问题多种多样，有运动路径对称；研究对象的对称分布；坐标系中图象的对称；质心不变中的动量守恒；等效电路和力的平衡；非对称问题用对称性手段处理等。通过对称性问题研究，可大大提高图象和图线的运用能力，本文绝大多数的题目是运用图象来分析和表述的，这样有利于提高形象思维能力和建立物理模型的能力，提高处理局部与整体的综合能力。本文将从三个层次来研究对称和对称性相关问题。一、形式的对称；二、图象的对称；三、物理规律的对称。以及一些非对称性问题转化成对称性问题来解决的例子。第一讲：物体运动中的对称在中学物理的许多题目中，存在物体运动的对称性。θ（图1）mABCθ（图1）mABC这是一个关于运动对称问题，物体m在运动中经历了四个不同的匀变速运动，①在F和f作用下由A→B，②在mgsinθ+mgμcosθ作用下由B→C。由于AB=BC，B点是对称位置，在这两段运动中，它们具有加速度对称，路程对称，时间对称，速度（图线）对称等；同理，③物体由C点滑到B点与④由B点滑到A点也具有对称关系。抓住这些对称关系不难得到图2的速度图线。vtvt（图2）0解得vt（图3）0t1t2类似有[例2]物体由A点从静止出发，以大小为a1的加速度作匀变速直线运动。经过一段时间，加速度突然反向，大小变为a2，再经过同样的时间，物体又回到Avt（图3）0t1t2利用时间对称和位移对称得速度图线如图3所示。解得：a1∶a2=1∶3[例3]如图4所示，m1、m2、m3为质量相等的三个弹性小球，m1、m2分别悬挂在l1=1m，l2=0.25m的细线上，它们刚好跟光滑水平面接触而不相互挤压，m1、m2相距10cm，m3从m1和m2连线中点处以v=5cm/s的速度向右运动，则m3将与m1和m2反复做弹性碰撞（碰后两球交换速度）而来回运动，若取中心位置O为坐标原点，以该位置向右运动开始计时并取向右为正，试在坐标上画出m3的两个周期内的振动图象。行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B，在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内存在沿半径向外的电场。一质量为m、带电量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速度为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计粒子的重力，整个装置在真空中）Soaqdcb（图Soaqdcb（图12）r0SBoaqdcb（图11）根据能量定恒，有由洛仑兹力提供向心力，有由此得：第二讲：静态对称分布当研究对象具有对称分布时，可以根据研究对象分布的特点，找出对称关系，它的结构在计算和分析中作对应简化。45°（图13）45°C′B′A′D′E′45°（图13）45°C′B′A′D′E′P′CABDEPE45°2GPE45°2GPG3G3G3GG3G3G2G（图14）根据对称性P点受3G向上的力作用。PE杆向下对P点的拉力为2G，根据对应边关系，有，同理求得。所以，（图15）ABFCED[例10]如图15所示的A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个正六边形的六个顶点，已知A、B、C（图15）ABFCED解：根据正六边形的对称性和匀强电场中任意两条等长的平行线上的电势差相等的原则，有，得：；同理：，本题利用对称法求解是唯一的途径。[例11]把阻值均为R的三根相同的均匀电阻丝，都弯曲成圆环形，然后两两正交地焊接成如图16（甲）所示的网络，求AB两节点之间的电阻RAB？分析：此网络中每一段为四分之一圆弧，电阻为。AB甲乙ABDCrrrrABCD丙rrrrrrCAB甲乙ABDCrrrrABCD丙rrrrrrCABrDrrrrr丁（图16）O所以AB间的等效电阻为可见，对称性在电路简化中起到重要作用。ABDEFGHC（图17） [例12]如图17所示是由12根电阻均为R的导线组成的方网络，求节点间AB、AC、AD的电阻RABDEFGHC（图17）用上例方法可解题：；；通过这题还可以得到：在一个具有对称性的网络中，节点间距离相隔越远，其节点间的等效电阻越大。在研究网络电阻中还有一例：空间有八个点，任意两个点之间都连接一个12欧姆的电阻，问任意两点间的有效电阻有多大？（答：3欧姆）（图18）E（图18）EOq2q1研究对象的对称分布还可以应用在光学上。反射光线和入射光线在法线两测对称，在平面镜成像中物跟像的对称等。在点电荷产生的静电场中，它的场强分布也是对称的。第三讲：物理规律中对称问题的研究 1、图象图线的对称在前面的研究中已知运用图象的对称性和物理量的对称，解决了一些其他方法难以解决的问题，在此再举几个图象例子。（图19）stvv0s（图19）stvv0ss0后车前车t1t2m。两车的减速过程是对称的，不难得到如图19所示的速度图线，容易得到两车间因保持2s以上的距离。[例14]将光滑细管弯成圆角的长方形，如图20所示，固定在竖直平面上，B角比C角低，从A角同时放进两个小球，一个沿AB，一个沿AC滑到D角，问哪个球先到达D角？C（图20）ABD（图21）tvvD0tBtC（图20）ABD（图21）tvvD0tBtDtCtD′2、图象的面积相等[例15]小球以初速v0上抛，经过时间t后回落到上抛点，已知小球运动过程中受到空气的阻力与其速率成正比，试求回落到上抛点时小球的速度v。甲AB0tv（图22）AˊB甲AB0tv（图22）AˊBˊ0tf乙小球所受的阻力f-t图象如图22（乙）所示。由于f与v成正比，设比例系数为k，即可表示为f=-kv，故图乙中区域Aˊ和区域Bˊ的面积一定分别是图甲中区域A和区域B面积的k倍，由此可知，区域Aˊ和区域Bˊ的面积也相等。在f-t图象中，图线与t轴间的面积表示对应时间内阻力f的冲量值。在小球上抛和下落两过程中阻力的冲量值相等。而两过程中阻力方向相反，故两冲量等值反向。由此可知，在小球整个运动过程中，阻力的冲量为零。故由质点动量定理，可得在这个例子中具有图线包围面积的对称性，正是这些物理量的速度图象中位移的面积相等，阻力图象中阻力冲量的面积相等。简化问题的复杂性。对称性对理解和分析问题有很大的帮助。[例16]如图23所示，虚线两侧的磁感强度均为B，但方向相反。电阻为R的导线弯成顶角为90°、半径为r的两个扇形组成的回路，O为圆心，整个回路可绕O点转动。若由图示的位置开始沿顺时针方向以角速度ω转动，则在一个周期内电路释放的电能为。BbBb（图24）oaωdcBb甲乙oaωdcBb（图23）oaωdc由图形的对称性可知：整个回路在绕O点旋转一个周期时，有一半时间能释放电能。回路在释放电能时，回路中的感应电动势E相当于半径为r的棒在垂直于匀强磁场方向，以过一端的O点为轴、以角速度ω绕轴旋转，产生的感应电动势的4倍，则有图象对称还有很多，凡是周期性的运动均具有对称性，如简谐振动的图象；稳恒电路U-I图线中的输出功率的变化；磁滞回线；理想气体的P-V图线等。图象对称关系不容易发现，它本质是物理量的对称问题，这些对称的讨论有利于学生发散性思维的培养。第四讲：一些对应关系中的对称性[例17]：如图25所示，电动势分别为ε1和ε2、内阻分别为r1和r2的两个电池（如图a），用一个电动势为ε、内阻为r的电池（如图b）代替，流过电阻R的电流强度不变，并与R无关。问ε和r应随ε1、ε2、r1、r2怎样变化？分析：本题实际上就是把电源部分等效为一个电压源。解：如图c所示，电源开路，AεrεAεrε1r1ε2r2B图cε1r1ε2r2R图aεrR图b（图25）网络电阻所以，即为所求。如果开始不是两个，而是n个电动势分别为ε1、ε2、……εn和内阻为r1、r2、……rn的电池，多次地运用等效电压源定理。可得MlAMlAB（图26）[例18]：质量为M、长为l的小船静浮于河中，小船的两头分别站着质量为m1、和m2（m1＞m2）的人A和B，他们同时以相同的速率u（相对船）走向原位于船正中、但固定在河里的木桩，如图26所示。若忽略水对船的阻力作用，试问：①谁先走到木桩处？②他用了多少时间？解①由船与A、B两人组成的系统在水平方向不受外力，因此系统水平方向动量守恒，即在人行走时，系统的总动量始终为零。由此可判断出，船必向质量大的人A方向移动。设船的速度为v，则有m1（u–v）–m2（u+v）–Mv=0A、B两人欲走到木桩处，他们的位移大小均为，而他们相对木桩的速度分别为和。可见，质量小的人B先走到木桩处。②设B走到木桩处所需时间为t，所以在这例中虽然人向船中点走是对称的，但由于m1和m2质量不同，在行走中对木桩运动是不对称的。根据动量守恒定律，动量跟动量对称。3．电流-磁场的对称[例19]六根互相绝缘的导线，在同一平面内组成四个相等的正方形，导线中通以大小相同的电流，方向如图27所示，在这四个正方形区域中，指向纸面内，磁通量最大的区域是哪个？（图27）ⅡⅠⅠⅠⅢⅣⅣⅣⅣⅣⅣA、Ⅰ（图27）ⅡⅠⅠⅠⅢⅣⅣⅣⅣⅣⅣ这六根导线的电流具有对称性，它们产生的磁场可以等效于一根方向与水平成45°的电流，由安培定则可以判断Ⅰ区域的磁场是垂直于纸面进去的，而Ⅱ、Ⅳ区域中磁通量为零，Ⅲ区域是垂直纸面出来的，所以选项A正确。物理规律的对称是很多的，在此不一一例举了。第五讲：非对称性问题可看成若干个对称问题的叠加在求某处的场强时，电荷如对称分布，就能运用高斯定理，比较方便地求出该点的场强。如果分布不对称，有时可采用几个对称分布场强的叠加。[例20]：如图28（甲）所示，在一实心大球体内挖去一个较小的球形孔，余下部分均匀带电，体电荷密度为ρ，试证明小球形孔内为匀强场区。分析：挖去的小球形孔可视为电荷体密度分别为ρ和-ρ的两个小带电球的复合体。于是带电系统为带电ρ的大球与带电-ρ的小球的组合。利用均匀带电球的场强分布，结合场强叠加原理，即可计算小球孔内的场强。OOOˊrˊraP（乙）（图28）（甲）RRˊOOˊEOˊa根据高斯定理，在电荷体密度均匀分布的带电球的场强为：为证明小球孔内任一点P的场强均匀，可先计算小球球心Oˊ点的场强，再证明小球孔内任一点P的场强与Oˊ点的场强相等即可。如图（甲）所示，根据高斯定理，Oˊ点的场强为式中a是O到Oˊ的矢量。小球孔-ρ在Oˊ点的场强为0。在孔内任取另一点P，则带电ρ的大球和带电-ρ的小球在P点的场强EP1与EP2之和即为P点的场强，即式中r和rˊ如图（乙）所示。因任一点P的场强与小球Oˊ点的场强相同，故小球孔内为匀强场区。θθ乙（图29）hd甲h/3a[例21]：如图29所示，圆柱形容器内装满液体，当有1/3液体倒出时，容器的倾角θ为多大？解：当有1/3的液体倒出时，在h/3高处作圆面，以上2/3的一半根据对称性分界面为椭圆面a。所以得（图30）R上R下AOB[例22]如图30所示，电流从A点进入对称的、由上下电阻不同（R（图30）R上R下AOB由于上下半环的电阻不同，所以它们的电路不对称，因为R上>R下，所以电流I下>I上，根据相同电流中心磁场为零，它等效于I下–I上下半环的电流，根据安培定则，中心O处磁场方向垂直纸面向外。从以上几个例子得出，在有些非对称性问题中它的局部是对称的或它是由若干个对称问题的组合，都可以用对称性手法来解决，即不对称问题可以创造条件利用对称法求解。这样有助于学生了解整体和局部的关系，提高了分析能力。对称是自然界广泛存在的一种现象，它显示出物质世界的和谐、优美和均衡。对称本来是指图形或物体对某个点、区域或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应