高中考试数学压轴题讲议-已知不等恒成立讨论单调或最值（含答案）

【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。【典例指引】例1．设是在点处的切线．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设，其中．若对恒成立，求的取值范围．例2．函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若且满足：对，，都有，试比较与的大小，并证明.例3．已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．【新题展示】1．【2019江苏常州上学期期末】已知函数，函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；（3）若函数对恒成立，求实数的取值范围.(是自然对数的底数，)2．【2019安徽江淮十校联考】已知函数为常数，，e为自然对数的底数，．若函数恒成立，求实数a的取值范围；若曲线在点处的切线方程为，且对任意都成立，求k的最大值，3．【2019辽宁葫芦岛调研】已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）如果对任意，恒成立，求的取值范围.【同步训练】1．已知函数.（1）当，求的图象在点处的切线方程；（2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围.2．已知函数，，若曲线和曲线在处的切线都垂直于直线．（Ⅰ）求，的值．（Ⅱ）若时，，求的取值范围．3．已知函数．（I）求曲线在点处的切线方程．（II）求证：当时，．（III）设实数使得对恒成立，求的最大值．4．已知函数（其中）在点处的切线斜率为1．（1）用表示；（2）设，若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围；（3）在（2）的前提下，如果，证明：．5．已知函数（）．（1）若在处取到极值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）求证：当时，．6．已知函数，，其中．（1）若，求函数在上的值域；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．7．已知函数．（1）当时，求在区间上的最值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，有恒成立，求的取值范围．8．已知．（1）当时，求在处的切线方程；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．9．已知函数（）．（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．10．已知函数，直线的方程为．（1）若直线是曲线的切线，求证：对任意成立；（2）若对任意恒成立，求实数是应满足的条件．【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。【典例指引】例1．设是在点处的切线．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设，其中．若对恒成立，求的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）由导数值得切线斜率，进而得切线方程，即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令，求导证得；（Ⅲ），①当时，由（Ⅰ）得，可得，进而得在区间上单调递增，恒成立，②当时，可得在区间上单调递增，存在，使得，，此时不会恒成立，进而得的取值范围．当时，，故单调递减；当时，，故单调递增．所以，）．学*科网所以．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）．例2．函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若且满足：对，，都有，试比较与的大小，并证明.【思路引导】（1）求出，讨论两种情况分别令可得增区间，可得得减区间；（2）由（Ⅰ）知在上单调递减，在上单调递增，所以对，，都有等价于，可得，令，研究其单调性，可得，进而可得结果.（Ⅱ）当时，由得.由（Ⅰ）知在上单调递减，在上单调递增，所以对，，都有等价于即解得；学*科网令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，所以.即，所以.学*科网例3．已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求出，由过点的直线的斜率为可得，讨论两种情况，分别由得增区间，得减区间；（Ⅱ）原不等式等价于不等式恒成立，利用导数研究的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.（Ⅱ）不等式恒成立，即不等式恒成立，设，若，则，函数单调递增且不存在最小值，不满足题意；当时，由得，学*科网【新题展示】1．【2019江苏常州上学期期末】已知函数，函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；（3）若函数对恒成立，求实数的取值范围.(是自然对数的底数，)【思路引导】（1）代入a值，求函数的导数，由导数的几何意义求得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（2）求导数，通过讨论a的范围，求函数单调区间，结合函数单调性和函数的最值可求a的范围；（3）求g（x）解析式，求函数导数，讨论函数单调性，由函数单调性和最值可确定a的范围．【解析】（1）当时，，则，所以，所以切线方程为.（2），①当时，恒成立，所以单调递增，因为，所以有唯一零点，即符合题意；②当时，令，解得，列表如下：-0+极小值由表可知，.（iii）当，即时，，因为，设，则，所以单调递增，即，所以，又因为，所以，故存在，使得，所以不符题意；综上，的取值范围为.2．【2019安徽江淮十校联考】已知函数为常数，，e为自然对数的底数，．若函数恒成立，求实数a的取值范围；若曲线在点处的切线方程为，且对任意都成立，求k的最大值，【思路引导】由题意转化为恒成立，设，求得导数和单调性，可得极值和最值，即可得到所求范围；求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得，对任意都成立，可得对恒成立，设，，求得导数，设，，求得导数，由零点存在定理和单调性，可得的最小值，可得k的最大值．【解析】函数恒成立，即恒成立，可得恒成立，设，，当时，，递减；当时，，递增，可得处取得最小值，且，所以；的导数为，曲线在点处的切线斜率为，可得，即，又由对任意都成立，可得对恒成立，3．【2019辽宁葫芦岛调研】已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）如果对任意，恒成立，求的取值范围.【思路引导】（1）将a代入，求出函数的导数，分别解f′（x）〈0和f′（x）〉0，求出函数的单调区间即可；（2）由原不等式移项为右侧为0的形式，构造新的函数，通过求导对a讨论，研究其增减性及最值，逐步得解．【解析】(2)由f(x)≤x+1，得ax2+ax+1≤(x+1)ex即(x+1)ex-ax2-ax-1≥0令g(x)=(x+1)ex-ax2-ax-1,则g′(x)=(x+2)ex-ax-a，令F(x)=g′(x)=(x+2)ex-ax-a,则F′(x)=(x+3)ex-a，令t(x)=F′(x)=(x+3)ex-a,则t′(x)=(x+4)ex，当x≥0时，t′(x)>0恒成立，从而t(x)在[0,+)上单调递增,此时t(0)=3-a,F(0)=2-a,g(0)=0当a≤2时，t(x)≥t(0)=3-a>0,即F′(x)>0所以F(x)在[0,+)上单调递增所以F(x)≥F(0)=2-a≥0,即g′(x)≥0，从而g(x)在[0,+)上单调递增所以g(x)≥g(0)=0即(x+1)ex-ax2-ax-1≥0恒成立,所以当a≤2时合题意；②当2<a≤3时，t(x)在[0,+)上单调递增,且t(x)≥t(0)=3-a≥0即F′(x)≥0∴F(x)=g′(x)在[0,+)上单调递增,又F(0)=g′(0)=2-a<0，∴必存在x1(0,+),使得x（0,x1)时，g(x)在(0,x1)上单调递减，∴g(x)<g(0)=0，这与g(x)≥0在x≥0时恒成立矛盾，从而当2<a≤3时不合题意；③当a>3时，t(x)在[0,+)上单调递增且t(0)=3-a<0，必存在x2(0,+),使得x(0,x2)时，t(x)<0，即F′(x)<0,从而F(x)=g′(x)在[0,+)上单调递减,∴F(x)<F(0)=g′(0)=2-a<0，从而g(x)在(0,x1)上单调递减，g(x)<g(0)=0，这与g(x)≥0在x≥0时恒成立矛盾，从而a>3时不合题意；综上：a的取值范围是(-,2]【同步训练】1．已知函数.（1）当，求的图象在点处的切线方程；（2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】（1）由于是在那点，所以求导可得（2）对f(x)求导，再求导，当时，所以对和分类讨论。单调递增，，当时，，在单调递增，恒成立；当时，存在当，使，则在单调递减，在单调递增，则当时，，不合题意，综上，则实数的取值范围为.学&科网点睛：函数与导数中恒成立与存在性问题，一般是转化成最值问题，常用的两种处理方法：（1）分离参数（2）带参求导，本题采用带参求导。2．已知函数，，若曲线和曲线在处的切线都垂直于直线．（Ⅰ）求，的值．（Ⅱ）若时，，求的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可。（Ⅱ）由（Ⅰ）设，则，故只需证即可。由题意得，即，又由，得，，分，，三种情况分别讨论判断是否恒成立即可得到结论。（iii）若，，则在上单调递增，而，从而当时，不可能恒成立，综上可得的取值范围是．学&科网3．已知函数．（I）求曲线在点处的切线方程．（II）求证：当时，．（III）设实数使得对恒成立，求的最大值．【思路引导】（I），得，又，可得在处切线方程为．（II）令，求导得出的增减性，然后由得证．（III）由（II）可知，当时，对恒成立．时，令，求导，可得上单调递减，当时，F，即当时，，对不恒成立，可得k的最大值为2．（II）证明：令，，∴，∴，学&科网即在时，．（III）由（II）知，在时，对恒成立，点晴：本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题．要证明一个不等式，我们可以先根据题意所给条件化简这个不等式，如第二问的不等式，可以转化为，第三问的不等式可以转化为，划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果．4．已知函数（其中）在点处的切线斜率为1．（1）用表示；（2）设，若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围；（3）在（2）的前提下，如果，证明：．【思路引导】（1）由题意即得；（2）在定义域上恒成立，即，由恒成立，得，再证当时，即可；（3）由（2）知，且在单调递减；在单调递增，当时，不妨设，要证明，等价于，需要证明，令，可证得在上单调递增，即可证得．解法二：（分离变量）恒成立，分离变量可得对恒成立，令，则。这里先证明，记，则，易得在上单调递增，在上单调递减，，所以。因此，，且时，所以，实数的取值范围是。学&科网（3）由（2）知，且在单调递减；在单调递增，5．已知函数（）．（1）若在处取到极值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）求证：当时，．【思路引导】（1）根据极值的概念得到，可得到参数值；（2）转化为函数最值问题，研究函数的单调性，分时，时，，三种情况讨论单调性，使得最小值大于等于0即可。（3）由（1）知令，当时，，当时，，给x赋值：2，3，4，5等，最终证得结果。试题解析：（1），∵在处取到极值，∴，即，∴，经检验，时，在处取到极小值．（3）证明：由（1）知令，当时，（当且仅当时取“”），∴当时，．即当2，3，4，…，，有．点睛：这个题目考查了导数在研究函数极值和单调性，最值中的应用，最终还用到了赋值的思想，证明不等式。其中有典型的恒成立求参的问题。一般是转化成函数最值问题，或者先变量分离，将参数和变量分离到不等号的两侧，再转化为最值问题。6．已知函数，，其中．（1）若，求函数在上的值域；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．【思路引导】（1）代入，，从而求导，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值；（2）令，化简求导得到，再令并求导得，从而解得，使得，使在上单调递减，在上单调递增，从而可得，且，从而化简求出实数的取值范围．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为．7．已知函数．（1）当时，求在区间上的最值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，有恒成立，求的取值范围．【思路引导】（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数在区间上符号变化规律，确定函数最值（2）先求导数，根据导函数符号是否变化进行分类讨论：时，，时，，时，先负后正，最后根据导数符号对应确定单调性（3）将不等式恒成立转化为对应函数最值，由（2）得，即，整理化简得，解得的取值范围．（Ⅱ），．①当，即时，，∴在上单调递减；②当时，，∴在上单调递增；③当时，由得，∴或（舍去）∴在单调递增，在上单调递减；综上，当，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，即原不等式等价于即整理得∴，又∵，∴的取值范围为．点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．8．已知．（1）当时，求在处的切线方程；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出f（x）的导数