【圆相关证明与计算】类型三-与圆有关的计算（扇形、圆锥、圆与正多边形）（解析版）

类型三与圆有关的计算（扇形、圆锥、圆与正多边形）【典例1】若一个扇形的圆心角为60°，面积为eq\f(π,6)cm2，则这个扇形的弧长为________cm(结果保留π)．【答案】eq\f(π,3)【解析】设这个扇形的半径为rcm，则eq\f(60πr2,360)＝eq\f(π,6)，解得r＝1(负值舍去)，∴这个扇形的弧长为eq\f(60π×1,180)＝eq\f(π,3).【典例2】小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得eq\o(ACB,\s\up8(︵))的长为36cm，则eq\o(ADB,\s\up8(︵))的长为________cm.【答案】12【解析】设⊙O的半径为r，则可列方程：eq\f(（360－90）πr,180)＝36，解得r＝eq\f(24,π)，∴eq\o(ADB,\s\up8(︵))的长为eq\f(90π·\f(24,π),180)＝12cm.【典例3】如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝eq\r(2)，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是()A.1－eq\f(π,4)B.eq\f(π－1,4)C.2－eq\f(π,4)D.1＋eq\f(π,4)【答案】A【解析】如解图，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CD＝eq\f(1,2)AB，∵∠ACB＝90°，AC＝eq\r(2)，AC＝BC，∴AB＝2，∴CD＝1，∴S阴影＝S△ABC－S扇形ECF＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)－eq\f(90π×12,360)＝1－eq\f(π,4).【典例4】如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆．则图中阴影部分的面积为()A.24eq\r(3)－4πB.12eq\r(3)＋4πC.24eq\r(3)＋8πD.24eq\r(3)＋4π【答案】A【解析】正六边形的面积为eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)×6＝24eq\r(3)，六个小半圆的面积为π·22×3＝12π，中间大圆的面积为π·42＝16π，所以阴影部分的面积为24eq\r(3)＋12π－16π＝24eq\r(3)－4π.【典例5】如图，已知点C,D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为eq\f(1,3)π，则图中阴影部分的面积为()A.eq\f(1,6)πB.eq\f(3,16)πC.eq\f(1,24)πD.eq\f(1,12)π＋eq\f(\r(3),4)【答案】A【解析】如解图，连接OC、OD、CD，∵点C、D是半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝60°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝60°，∴CD∥AB，∴S△COD＝S△ACD，∴S阴影＝S扇形COD，∵eq\o(CD,\s\up8(︵))的长为eq\f(1,3)π，∴eq\f(60πr,180)＝eq\f(1,3)π，解得r＝1，∴S阴影＝S扇形COD＝eq\f(60π×12,360)＝eq\f(1,6)π.【典例6】如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为()A.4πB.6C.4eq\r(3)D.eq\f(8,3)π【答案】D【解析】由题意知AC＝4，BC＝4－2＝2，∠A1BC＝90°.由旋转的性质，得A1C＝AC＝4.在Rt△A1BC中，cos∠ACA1＝eq\f(BC,A1C)＝eq\f(1,2).∴∠ACA1＝60°.∴扇形ACA1的面积为eq\f(60×π×42,360)＝eq\f(8,3)π.即线段CA扫过的图形的面积为eq\f(8,3)π.【典例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝2.以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则eq\o(DE,\s\up8(︵))的长为()A.eq\f(4π,3)B.πC.eq\f(2π,3)D.eq\f(π,3)【答案】C【解析】∵四边形ABCD是矩形，且AD＝AE，∴AD＝BC＝AE＝2，∵AB＝eq\r(3)，∠ABE＝90°，∴cos∠BAE＝eq\f(AB,AE)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BAE＝30°，∠EAD＝90°－∠BAE＝90°－30°＝60°，∴eq\o(DE,\s\up8(︵))的长为eq\f(60×π×2,180)＝eq\f(2,3)π.【典例8】如图，公路弯道标志eq\x(R＝m)表示圆弧道路所在圆的半径为m(米)，某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝________米．【答案】300【解析】如解图，连接AO、BO，∵100π＝eq\f(nπR,180)＝eq\f(nπ·300,180)，∴n＝60°，又∵AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝300米．【典例9】如图，已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，eq\o(AB,\s\up8(︵))的长是eq\f(2,3)π，则阴影部分的面积是________．【答案】eq\f(2π,3)－eq\r(3)【解析】由题可得，∠AOB＝60°，设⊙O的半径为r，则eq\f(60πr,180)＝eq\f(2π,3)，解得r＝2，则S阴影＝S扇形OAB－S△OAB＝eq\f(60×22π,360)－eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\f(2π,3)－eq\r(3).【典例10】如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则eq\o(BC,\s\up8(︵))的长等于________．【答案】eq\f(\r(5)π,2)【解析】如解图，连接OC，∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AB＝2eq\r(5)，AC＝eq\r(10)，BC＝eq\r(10)，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴∠COB＝90°，∵OB＝eq\r(5).∴eq\o(BC,\s\up8(︵))的长为eq\f(90×π×\r(5),180)＝eq\f(\r(5)π,2).【典例11】如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为________．【答案】2eq\r(3)－π【解析】如解图，连接OD，∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，在菱形OABC中，AB＝OA＝OB＝2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝∠A＝60°，∴OD＝2×sin60°＝eq\r(3)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，∴扇形的面积为eq\f(60°×π×（\r(3)）2,360°)＝eq\f(π,2)，∴阴影部分的面积为2×(eq\r(3)－eq\f(π,2))＝2eq\r(3)－π.【典例12】如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为________．【答案】eq\f(1,4)π－eq\f(1,2)【解析】如解图，连接CD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AD＝BD＝1，∠ADC＝∠BDC＝90°，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∵∠ADG＋∠CDG＝∠CDG＋∠CDH＝∠CDH＋∠BDH，∴∠ADG＝∠CDH，∠CDG＝∠BDH，∴△ADG≌△CDH(ASA)，△CDG≌△BDH(ASA)，∴S四边形CGDH＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2×1＝eq\f(1,2)，∴S阴影＝S扇形FDE－S四边形CGDH＝eq\f(90π×12,360)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)π－eq\f(1,2).【典例13】如图，在半径为eq\r(2)的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分)，则这个扇形的面积为________；若将此扇形围成一个无底的圆锥(不计接头)，则圆锥底面半径为________．【答案】π；eq\f(1,2)【解析】∵S扇形＝eq\f(nπR2,360)＝eq\f(90πR2,360)，∴当扇形半径越大时，S扇形越大，如解图，连接AB，当AB为圆的直径时，扇形半径最大．∵圆的半径为eq\r(2)，∴AB＝2eq\r(2).∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ACB为等腰直角三角形．∴AC＝eq\f(\r(2),2)AB＝2.∴S扇形ACB＝eq\f(90π×22,360)＝π；设这个圆锥底面半径为r，根据题意可得l＝2πr，又∵l＝eq\f(90π×2,180)＝π，∴2πr＝π，解得r＝eq\f(1,2).则圆锥底面半径为eq\f(1,2).【典例14】如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且eq\o(EC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，连接AE，AC，过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D.(1)判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AB＝4，CD＝eq\r(3)，求图中阴影部分的面积．【答案】解：(1)直线DC与⊙O相切．理由：如解图①，连接OC，∵eq\o(EC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠EAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠ACO＝∠DAC，∴OC∥AD，∵CD⊥AE，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴直线DC与⊙O相切；(2)如解图②，连接OC、OE、EC，过点C作CH⊥AB于点H，②∵CH⊥AB，CD⊥AE，∴∠ADC＝∠AHC＝90°，∵∠EAC＝∠OAC，AC＝AC，∴△ADC≌△AHC(AAS)，∴CH＝CD＝eq\r(3)，AH＝AD，∵AB＝4，且AB为直径，∴OC＝OB＝2，又∵CH⊥OB，∴sin∠COH＝eq\f(CH,CO)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠COH＝60°，∴∠EOC＝∠COH＝60°，∴∠OED＝120°，∵OE＝OC，∴△OEC为等边三角形，∴∠EOC＝60°，∴∠DAC＝30°，又∵DAC＝30°，又∵CD＝eq\r(3)，∴AD＝3，∵eq\o(EC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠BOC＝∠OCE＝60°，∴EC∥BA，∴S△AEC＝S△OEC.∴S阴影＝S△ADC－S扇形OEC＝eq\f(1,2)×3×eq\r(3)－eq\f(60π×22,360)＝eq\f(3,2)eq\r(3)－eq\f(2π,3).【典例15】如图，圆是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且．（1）求的度数；（2）若，求圆的半径．【答案】（1）的度数为；（2）圆O的半径为2．【解析】【分析】（1）如图（见解析），设，先根据等腰三角形的性质得出，再根据圆的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的性质可得，又根据三角形的内角和定理可求出x的值，从而可得的度数，最后根据圆周角定理即可得；（2）如图（见解析），设圆O的半径为，先根据圆周角定理得出，再根据直角三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．【详解】（1）如图，连接OA设，AE是圆O的切线，即在中，由三角形的内角和定理得：即解得则由圆周角定理得：故的度数为；（2）如图，连接AD设圆O的半径为，则BD是圆O的直径由（1）可知，则在中，在中，由勾股定理得：，即解得或（不符题意，舍去）则圆O的半径为2．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键．【典例16】已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM，BN于D，C两点．(1)如图1，求证：AB2＝4AD·BC；(2)如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF.若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明：图1中，连接OC，OD.∵AM和BN是⊙O的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB.∴AM∥BN.∴∠ADE＋∠BCE＝180°.∵DC与⊙O相切于点E，∴∠ODE＝eq\f(1,2)∠ADE，∠OCE＝eq\f(1,2)∠BCE.∴∠ODE＋∠OCE＝90°.∴∠DOC＝90°.∴∠AOD＋∠BOC＝90°.∵∠AOD＋∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠BOC.∵∠DAO＝∠OBC＝90°，∴△AOD∽△BCO.∴eq\f(AD,BO)＝eq\f(OA,BC).∵OA＝OB＝eq\f(1,2)AB，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))eq\s\up12(2)＝AD·BC.∴AB2＝4AD·BC；(2)解：图2中，连接OD，OC.∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠AD