高中数学《两角和与差的正弦、余弦、正切公式的简单应用》导学案

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式

第1课时公式的简单应用

卜课前自主预习

1.两角和与差的余弦公式

名称公式简记符号使用条件

两角和cos(a+g)=田cosacosf—

C（Q+S）

的余弦sinasinf

aR

两角差cos(a—/?)=②cosacos)+

C(Q-0)

的余弦sinasin/?

2.两角和与差的正弦公式

名称公式简记符号使用条件

两角和sin(a十/?)=1ylsinacos/3+

S(a+0)

的正弦cosasin§

a,RGR

两角差sin(a—R)—⑷sinacos/3-

S(a-伊

的正弦cosasi叩

3.两角和与差的正切公式

名称公式简记符号使用条件

Q,0,a+卜以

两角和lan(a+/3)=回｝na+ta吗

T(a+0)

的正切11—tanatan^

乙

a,R、a—B不卜式

两角差

tanQ-叫T(a-⑶

的正切[1+tanatan^+y(^6Z)

3］自诊小测

1.判一判（正确的打“，错误的打“X”）

⑴两角和与差的正弦、余弦公式中的角a,£是任意的.（）

(2)存在a,0GR,使得sin(a—/?)=sina—sin£成立.()

(3)对于任意a,sin(a+£)=sina+sin£都不成立.()

,tana+tan£〃…一

(4)对任意a,pRR,tan(a+y?)="-tanata印都成山()

答案(1)V(2)V(3)X(4)X

2.做一做

(1月0575。8515。一5m75。《1115。的值等于()

A.2B.—2

C.0D.1

答案C

解析cos75°cosl5°—sin750sinl5o：=cos(75o+15°)=cos900=0.

(2)(教材改编Pi3o例4⑴)化简:sin21°cos81°—cos21°・sin81°等于

)

A.2B.—2

C.坐D.―当

答案D

解析原式=sin(21。-81°)=—sin60°=一4-.

tan17°+tan43°

(3)l-tanl7°tan43o=-------------

答案小

事_LLtanl7°+tan43°,广

角牛析f二tanPFtan存=tan(17。+43。)=tan60°二小.

卜课堂互动探究

探究1余弦公式的正用、逆用、变形应用

例1化简求值：

(I)cos20°cos250-sin20°sin25°；

(3)cos(a+£)cos£+sin®+夕)sin£.

解(1)原式=8S(20。+25。)=345。=拳

n.兀.

⑵原式=COS4COS9—sin^sin^cos*0S9+sin^sin^l=—

7T乎isriQ=一色sin°.

2sinasin°=—2X

(3)原式=cos(a+£—£)=cosa.

J+cos|

［条件探究〕若将例1(2)改为化简cosf一如何求

解？

解cosf^+^l+cos|71

.兀.兀].兀.

=_cos74rcos^—sin4sin^十।cos4cos^十sin4sin^

=2cos4cos9=2X2C0S(P=yl^C0S(P-

拓展提升

解决化简求值问题的策略

(1)注意分析式子的结构特点，合理选择余弦的和差公式.

(2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用.

(3)注意非特殊角与特殊角间的联系及特殊值的转化.

【跟踪训练1】设角a为锐角，求证:

(l)^cosa+|sina=cos|F4

(2)cosa—sina=A/^COS隹+aj.

、、、7T71\[31

证明(1)证法一：=cos^cosa+sin^sina=2cosoc2s^not=

左边，等式成立.

7T

证法二：联系等式左右两边可知是两角差的余弦公式，由于cos4

坐sin*,因此等式左边=cos/osa+si奉na=cos|71

6-6£,=右

边，等式成立.

⑵证法一：右边=啦卜05*0$0£—sin/sinoj

=蛆［乎cosa一孚sina)=cosa—sina=左边，等式成立.

jr

证法二：联系等式左右两边可知是两角和的余弦公式，由于cosa

盅.Tt

2，当

因此等式左边=，2p§cosa—乎sina、

7

71.71.i卜啦cos|^+a)=右边，等式成立.

4cosa-sin4sinft

探究2正弦公式的正用、逆用、变形应用

例2化简求值：

(l)sin(-15°)；

(2)sin13°cos170+sin77°cos73°；

(3)siny^—^/3cosy^.

解(1)sin(-15°)=sin(30°-45°)=sin30°cos450-cos30°sin45°=

1V2V2-V6

2222-4-

(2)原式=sinl30cosl7°+sin(90°一13°)cos(90°-17°)=

sin13°cos17°+cos13°sin17°=sin(13°+17°)=sin30。=；.

(3)原式=2gsiie一乎cos专

J.717T

=21sinj^cos^—cos

=2sin

拓展提升

运用公式进行化简、求值的注意点

运用两角和与差的正弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数

名称以及角的变换.据公式结构特征，先构造，再运用公式化简、求

值.如果题目中存在互余角，要善于发现并利用.

【跟踪训练2】化简求值：

(I)sinl5°+cosl5°；

(2)sin119°sin1810-sin91°sin29°；

sin47°—sin17°cos30°

(3)-

cos170

解(1)解法一：sinl5°+cosl5°

=啦(乎sin15。+乎cos15。

=gin(15。+45。)=^2sin60°=坐.

解法二：sinl5o+cosl5o=啦(乎cosl5°+乎sinl5°

=^2(cos45°cos15°+sin45°sin15°)

=V2COS(45°-15°)=V2COS30°=^.

(2)sinll90sinl81°-sin910sin29°=sin(29°+90°)sin(l°+180°)一

sin(l°+90°)sin29°=cos29°(一sin1°)一cos10sin29°

=-(sin29°cosl0+cos290sinl°)

=—sin(29°+1°)=—sin30°=—].

sin470-sin170cos30。

⑶cosl7°

sin(17°+30°)-sinl7°cos30°

cosl7°

sinl70cos300+cosl70sin300—sinl70cos30°

cosl70

cosl70sin30°=sin30°=1,

cos17°

探究3正切公式的正用、逆用、变形应用

例3求值：

l-tanl5°

(1)l+tanl5o；

(2)tan720-tan42°—■^tan72°tan420.

5「atan45°—tanl5°y[3

解⑴原式=币丽嬴专=.45°-15。)一皿3。。=生

tan72°—tan42°

(2)Vtan30°=tan(72°-42°)=

l+tan72°tan42°,

二.tan720—tan420=tan300(l+tan72°tan420).

一jt=tan300(l+tan720tan420)—、^八*tan720tan42°=3.

拓展提升

正切公式中的常用规律

(1)需牢记公式T(期)的符号规律为“分子同，分母反”.

(2)注意“l=tan45。”和“小=tag”的代换.

(3)由正切公式可知，tanatan£,tana+tan/?(^tana-tan^),tan(a

+£)(或tan(a—£))三者中可以知二求一.注意公式的正用、逆用、变

形使用.

【跟踪训练3】求值:

1+小tanl5°

⑴于一tan15。

⑵tan100tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°.

1+V3tanl5°3+tanl50

tan30°+tanl5°

解⑴小fnl5。_；-：-zzr——=tan(30°+

1—tan30tanl5

15°)=tan45°=l.

(2)原式=tan10°tan20°+tan60°(tan10°+tan20°)

=tan10°tan20o+V3(tan10°+tan200)

=tan10°tan20°+V3tan30°(l-tanl00tan20°)=1.

(------------------------------------1那避％।------------------

1.公式记忆

(1)理顺公式间的逻辑关系

,以一8代B诱导公式-以一S代/

C(a+/?)"<C(a—9、(a+p)

S(a-8)

(2)注意公式的结构特征和符号规律

对于公式C(a-/J),C(a+/J)可记为“同名相乘，符号相反”；

对于公式S(a-p)，Sg+夕)可记为“异名相乘，符号相同”.

2.应用公式需注意的四点

(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地

找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.

(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能

直接运用公式.

(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后

能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如I=sin2a+cos2a,

l=sin90°,i=cos60°,^=sin6O°等,再如:0,善,坐等均可

视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用.

(4)当tana,tan£,tan(a+£)(或tan(a—£))中任一个的值不存在时，

不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他

方法解题.

卜课堂达标自测

1.sinl40cosl6°+sin76°cos74°的值是()

A.日B.1

C.一坐D.

答案B

解析sin14°cos16°+sin76°cos74°

=sin14°cos160+cos14°sin16°

=sin(14°+16°)=sin30°=2.

2.已知tana+tan£=2,tan(a+£)=4,贝(Jtanatan£等于()

A.2B.1

C.；D.4

答案C

,tanoc+tan/?2

解析因为tan(a+0=Ftanata邛=LtanatanS=4,所以

tanatan£=].

3.sin(%+27°)cos(18°—%)—sin(63°—%)sin(%—18°)=.

答案坐

解析原式=sinU+27°)cos(18°-x)+cos[90°一(63°一创sin(18°

—x)

=sin(27°+九)cos(18°—%)+cos(27°+%)sin(18°一%)

=sin(27。+x+18°—x)=sin45°=乎.

4.已矢口cos8=；0＜。＜9则sin,+T的值为；sin(。一1

的值为.

4+也2^/6—1

答案66

解析因为cosO=1[o<e<，|,所以sinO=y1—cos2(="K所以

sinf0+71^=sin^cos^+cos^sin^=

4X

=sin做琮一cosOsi*手义乎一京%呼1

sin

23

5.已知△ABC,若sin(A+8)=w，cos8=一彳，求cosA的值.

解VcosB=—^,sinB=-\l1—cos2B=

*，cos(A+3)=—N1—sin2(A+8)=—乎,/.cosA=cos[(A+5)—BJ

=cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB=卜坐)*(一皆+|X*=

3小+2巾

12,

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.化简cos(%+y)siny—sin(%+y)cosy等于()

A.sin(%+2y)B.—sin(%+2y)

C.siaxD.—sinx

答案D

解析cos(x+y)siny-sin(x+y)cosy=sinQy—(%+y)]=-sinx.

2.已知cos(a—§+sina=4^,则sin[a+^)的值为()

A_2A/1O”

A.55

答案C

解析cos（a—9+sina=芈cosa+；sina+sina

=#cos<z+|sin«=41cosa+#sd

3.设tana,tan夕是方程12—3%+2=0的两根,则tan（a+£）的值

为（）

A.13B.—1

C.1D.3

答案A

解析由根与系数的关系可知tana+tan£=3,

tanatan£=2,

tana+tany93

tan（a+份嬴嬴厂工=-3.

4.函数«r）=siar—cosQ+1|的值域为（）

A.[-2,2]B.[一小，小]

C.[-1,1]D.一坐,用

答案B

解析因为f（x）—siax—cos^+^j

.兀].•兀

=sinx—cosxcos%十sinxsin^

=si『¥c。"山

理.1]

2sinx—/cosx

=V3sin^—

所以«x）的值域为［一小，小］.

5.ZXABC中，若Octanttan8<l,则△48。是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.无法确定

答案B

解析0<tanA-tanB<1,

tanA>0,tanB>0,

tanA+tanB

:=

tan(A+5)~■tanC"jT

''1—tanAtanB

_7T

/.tanC<0,又,.,()<。<兀，：N<C<7t.

二'填空题

cos230+sin15°sin8°,,/土s.

6si.—n23—--c-o--s1的5值si为n8_______-_-_--_-_--_-_--_--•

答案2+小

鱼刀木卡_cos(15°+8°)+sinl5°sin8°_cosl5°cos8°

解析原式=sin(15°+8°)—cosl5°sin8°=sinl5°cos8°

_cosl5°_cos(45。-30。)_力22)_巧

=sinl5°=sin(45°-30°)=y/^y/3_i]=2+^3'

2[2~2)

7.若点尸（一3,4）在角a的终边上，点Q（—l,—2）在角夕的终边

上，则sin（a—£）=,cos(a+£)=

答案普喈

解析因为点P（—3,4）在角a的终边上，所以r=5,

故sinTcosT

又因为点。（一1,—2）在角£的终边上,

所以r'=y［5,

故sin£=—乎，cosQ一9,

4

则sin(a一份=sina-cos^—cosoc-sin4=g义I卜

2小

5.

/

34乂

cos(a+夕)=cosacos^—sinasin4=X-5X

11小

25•

8.在△ABC中，A=120°,则sinB+sinC的最大值为

答案1

解析由A=120。,A+3+C=180。，得sinB+sinC=sin5+sin(60°

i

-B)=^-cosB+^sinB=sin(60°+B).显然当B=30。时，sinfi+sinC

取得最大值1.

三、解答题

9.化简下列各式:

(l)sinLx+^j+2sin

胆3-2cos(a+£).

(2)sina'一

解(1)原式=sinrcos^+cosxsin^+2siiixcos^—2cosxsing—小

2K

cos-ycosx一小sin专sinx

=；siiu+坐cosx+siru;一小cosx+乎cos%—|siru

=l1+l-|jsinx

sin[(a+为+a]—2cos(a+夕)sina

(2)原式—sina

sin(a+£)cosa-cos(a+S)sina

sin«

sin[(a+£)—a]

sina

sin£

sina，

35

10.(1)已知sina=g,cos£=一g，且a为第一象限角，£为第

二象限角，求sin(a+0和sin(a一份的值；

(2)求值：6sin.+cos、；

(3)在△43C中，tan3+tanC+小tanBtanC=小，且小tanA+小

tanB+1=taiVltanB,判断△?!3c的形状.

解(1)因为a为第一象限角，£为第二象限角，

35412

sina=w，cos£=一13,所以cosa=§,sin£=

13,

3(5、,41233

二.sin(a+份=sinacosy?+cosasin£=§*I-+513=-65,

315141263

sin(a—=sinacosy9—cosasin^=^XI—―三X

5513651

事,71.1兀,

(2)原式=2|2sin五十产s司

'in胃cos,+cos

佶+3=2*R

=2sin

tanB+tanC

(3)tanA=tan[180°-(5+O]=-tan(5+°=嬴二记—1

—V3tanfitanC,

息taf=3r而oy<18。。，...412。。.

tanA+tanjB

tanC=tan[180。一(A+孙=-tan(A+B)=

tanA+tanB事

,而0°<C<180°,AC=30°,

小tanA+*\/5tan8