高中数学选修2-3《第2章 概率》单元测试卷(五)(含解析)

高中数学选修2-3《第2章概率》单元测试卷⑸

一、解答题(本大题共16小题，共192.0分)

1.为积极配合松桃苗族自治县成立60周年县庆活动志愿者招募工作，我校成立由2名同学组成的

志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，2名女同学共4名同学成为候选人，每位候选

人当选宣传队队员的机会是相同的.

(1)求当选的2名同学中恰有1名男同学的概率；

(2)求当选的2名同学中至少有1名女同学的概率.

2.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为三，乙每次击中目标的概率为日，两人

生鼻

间每次射击是否击中目标互不影响。

(1)求乙至多击中目标2次的概率；

(2)求甲恰好比乙多击中目标1次的概率。

3.以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模

甲组乙组

88

糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以。表示.r°

901a

(I)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求”的值；

(口)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；

(HI)当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差

的绝对值不超过2分的概率.

4.流行病学资料显示，50岁以上男性静息心率过高将会增加患心血管疾病的风险，相反，静息心

率相对稳定的50到60岁的男性，在未来10年内患心血管疾病的几率会降低44%.研究员们还表

示，其中静息心率超过75bpm(次/分)的人比静息心率低于55bpm的人罹患心血管疾病的风险高

出一倍.某单位对其所有的离、退休老人进行了静息心率监测，其中一次静息心率的茎叶图和

频率分布直方图如图，其中，频率分布直方图的分组区间分别为［50,60),［60,70),［70,80),

［80,90),［90,100］,由于扫描失误，导致部分数据丢失.据此解答如下问题：

(1)求此单位离、退休人员总数和静息心率在［80,100］之间的频率；

(2)现从静息心率在［80,100］之间的数据中任取3份分析离、退休人员身体情况，设抽取的静息心率

在［90,100］的份数为X,求X的分布列和数学期望.

5.甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为右乙，丙做对的概率分别为m,n(m>n),

且三位学生是否做对相互独立.记f为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

0123

11

Pab

424

(1)求至少有一位学生做对该题的概率;

(2)求"?，”的值;

(3)求f的数学期望.

6.张老师去开研讨会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.

(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;

(2)求他不乘飞机去的概率.

7.某青年教师有一专项课题是进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的研究，他调查了某中学

高二年级800名学生上学期期末考试的数学和物理成绩，把成绩按优秀和不优秀分类得到的结

果是：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但

数学不优秀的有60人.

(1)能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该中学学生的数学成绩与物理成绩有关？

(2)将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取4名学生的

成绩，记抽取的4份成绩中数学、物理两科成绩恰有一科优秀的份数为X,求X的分布列和期

望E(X).

附：

P(K2>fc0)0.1000.0500.010

k。6.6357.87910.828

n(ad-bc')2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

8.在最近发生的飞机失联事件中，各国竭尽全力搜寻相关信息，为体现国际共产主义援助精神，

中国海监某支队奉命搜寻某海域.若该海监支队共有A、8型两种海监船10艘，其中A型船只

7艘，8型船只3艘.

(1)现从中任选2艘海监船搜寻某该海域，求恰好有1艘B型海监船的概率；

(2)假设每艘A型海监船的搜寻能力指数为5,每艘B型海监船的搜寻能力指数为10.现从这10艘海

监船中随机的抽出4艘执行搜寻任务，设搜寻能力指数共为f,求f的分布列及期望.

9.首届重庆三峡银行•长江杯乒乓球比赛于2014年11月14-16日在万州三峡之星举行，决赛中国

家乒乓队队员张超和国家青年队队员夏易正进行一场比赛.根据以往经验，单局比赛张超获胜

的概率为|，夏易正获胜的概率为5,本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的人获胜，比赛结

束.设各局比赛相互间没有影响.试求:

(1)比赛以张超3胜1败而宣告结束的概率；

(2)令f为本场比赛的局数.求f的概率分布和数学期望.

10.(本题满分12分)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,

4,5,4个白球编号分别为1,2,3,4,从袋中任意取出3个球.

(I)求取出的3个球编号都不相同的概率；

(n)记,准,为取出的3个球中编号的最小值，求,准.的分布列与数学期望.

11.已知盒中有大小相同的3个红球，个白球共3+t个球，从盒中一次性取出3个球，取到白球的

期望为:若每次不放回地从盒中抽取一个球，一直到抽出所有白球时停止抽取，设X为停止抽取

时取到的红球个数，

(I)求白球的个数r；

(口)求X的分布列以及数学期望.

12.2005年某市的空气质量状况分布如表：

污染指数X3060100110130140

111721

P

1063301530

其中XW50时，空气质量为优，50WX4100时空气质量为良，100WX4150时，空气质量

为轻微污染.

(1)求E(X)的值；

(2)求空气质量达到优或良的概率.

13.某合资企业招聘夫学生时加试英语听力，待测试的小组中有男、女生共10人(其中女生人数多

于男生人数)，若从中随机选2人，其中恰为一男一女的概率为2.

(I)求该小组中女生的人数：

(口)若该小组中每个女生通过测试的概率均为：，每个男生通过测试的概率均为全现对该小组中女生

43

甲、女生乙和男生丙、男生丁4人进行测试，记这4人中通过测试的人数为随机变量X.求X的

分布列和数学期望.

14.某单位进行这样的描球游戏：甲箱子里装有3个白球，2个红球，乙箱子里装有1个白球，2个

红球，这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球

不少于2个则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱).

(1)求在1次游戏中①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；

(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望EX.

15.某校高一年级60名学生参加数学竞赛，成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6

段：|黑堂魏|［耀海蜘［醺，礴虹趣耀魏国源魏|髓理i则，据此绘制了如图所示的频率分布

⑴求成绩在区间|［翼嫡割的频率；

(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，其中成绩在［90,100］内的学生人数为f,求f的分

布列与均值.

16.某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：

(I)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；

(II)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场

比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次

数X的分布列和均值.

甲乙

9~7078

633110579

83213

【答案与解析】

1.答案：解：(1)2名男同学，2名女同学共4名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会

是相同的，

从中任两人的基本事件总数n=量=6,

当选的2名同学中恰有1名男同学包含的基本事件个数m=66=4,

・••当选的2名同学中恰有1名男同学的概率pi=；=3=|.

(2)当选的2名同学中至少有1名女同学的对立事件是当选的两名同学都是男同学，

・•・当选的2名同学中至少有1名女同学的概率为：

.C?.15

Pn=l--7=l--=--

乙2Cl66

解析：(1)先求出基本事件总数n=C：=6,再求出当选的2名同学中恰有1名男同学包含的基本事

件个数m==4,由此能求出当选的2名同学中恰有1名男同学的概率.

(2)当选的2名同学中至少有1名女同学的对立事件是当选的两名同学都是男同学，由此利用对立事

件概率计算公式能求出当选的2名同学中至少有1名女同学的概率.

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式和对立事件概

率计算公式的合理运用.

飞11

2.答案：(1)-(2)—

感蹩

解析：试题分析：(1)因为乙击中目标3次的概率为己铲=3,所以乙至多击中目标2次的概率

浮5分

(2)甲恰好比乙多击中目标1次分为：甲击中1次乙击中0次，甲击中2次乙击中1次，甲击中3次

乙击中2次三种情形，其概率

my；受审y卓鸿卓★卓嗤12分

考点：本题考查了独立重复试验的概率

点评：解决此类问题要注意恰有上次发生和指定的后次发生的关系，对独立重复试验来说，前者的

概率为C±pk(l_p)ni,后者的概率为/(1一「)”仁

3.答案：解：(I)由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等，得“88+92+92)=|[90+91+(90+a)],

解得Q=1;

(口)设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A,

a的取值有:0,1,2...9共有10种可能.

由(I)可知，当a=1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，

二当。=2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能.

・•・乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率PQ4)=。/

(HI)设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过(2分)”为事件B,

当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3x3=9种，它

们是：

(88,90),(88,91),(88,92),(92,90),(92,91),(92,92),(92,90),

(92,91),(92,92).

二事件B的结果有7种，它们是：(88,90),(92,90),(92,91),(92,92),(92,90),

(92,91),(92,92).

两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过(2分)的概率P(B)=

解析：本题考查了茎叶图，考查了等可能事件的概率及古典概型概率计算公式，是基础的计算题.

(I)直接由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等列式求解a的值；

(H)由(I)中求得的结果可得，当a=2,…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，然后由古典概

率模型概率计算公式求概率；

(III)用枚举法列出所有可能的成绩结果，查出两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的情况

数，然后由古典概率模型概率计算公式求概率.

4.答案：解：(1)由茎叶图可得，静息心率在［50,60)的人数为8人，

静息心率在［60,70)的人数为6人，静息心率在［70,80)的人数为8人，

•••此单位离、退休人员总数为：-^—=32.

U.UZ3UXJ.U

••・静息心率在［80,100)的人数为：32-8-6-8=10人，频率为券=工

3216

(2)静息心率在［80,90)的人数为6人，静息心率在［90,100)的人数为4人，

X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=f=l

P(X=1)=箸=3,

(——一-4_3

p(v2)-京-I。，

P(X=3)=普吗,

•••X的分布列为：

X0123

111

P3

621030

E(X)=0xi+lxi+2xA+3x±=|.

解析：(1)由茎叶图可得，静息心率在［50,60)的人数为8人，静息心率在［60,70)的人数为6人，静息

心率在［70,80)的人数为8人，由此能求出此单位离、退休人员总数为32.从而能求出静息心率在

［80,100)的人数及频率.

(2)静息心率在［80,90)的人数为6人，静息心率在［90,100)的人数为4人，X的可能取值为0,1,2,

3,求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.

本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查茎叶图、频率分布直

方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

5.答案：解：设“甲做对”为事件A,“乙做对”为事件B,“丙做对”为事件C,

由题意知，P(4)=±P(B)=m,P(C)=n.

(1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“§=0”是对立的，

所以至少有一位学生做对该题的概率是1-p(f=0)=1-;*

(2)由题意知P(f=0)=P(4BC)=1(l-m)(l-n)=i,

=3)=P(ABC)=.mn=),

整理得mn=2，m+n=

由m>n,解得血=二1，n=1".

34

(3)由题意知a=Pg=1)=P(4BC)+PG4BC)+P(力BC)=j(l-m)(l-n)+1m(l-n)+1(1-

=热

b=P(6=2)=1—=0)—P(f=1)-P(f=3)=%

.1.f的数学期望为Ef=0x：+lx登+2x：+3x5=W

42442412

解析：(1)利用“至少有一位学生做对该题”事件的对立事件的概率即可得出;

(2)利用P(f=0)与P(f=3)的概率即可得出m,〃；

(3)利用(2)及a=P任=1)=P(ABC)+P(4BC)+P(4BC)与b=P(f=2)=1—P6=0)-P(f=

1)-P(f=3)即可得出a,b.

本小题主要考查相互独立事件的概率、利用对立事件的概率求概率的方法、离散型随机变量的均值

等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识.

6.答案：解：设“乘火车去开会”为事件A,“乘轮船去开会”为事件8,“乘汽车去开会”为事件

C,“乘飞机去开会”为事件Q,并且根据题意可得：这四个事件是互斥事件，

(1)根据概率的基本性质公式可得：P(4+0)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7；

(2)根据对立事件的概率公式可得：他不乘飞机去的概率P=1-P(D)=1-0.4=0.6.

解析：设“乘火车去开会”为事件A,“乘轮船去开会”为事件8,“乘汽车去开会”为事件C,“乘

飞机去开会”为事件。，并且根据题意可得这四个事件是互斥事件：

(1)根据概率的基本性质公式可得：P(A+D)=P(4)+P(D)；

(2)根据对立事件的概率公式可得他不乘飞机去的概率P=1-P(D).

7.答案：解：(1)列出的2x2列联表为：

数学成绩物理成绩合计

优秀200120320

不优秀6006801280

合计8008001600

...(3分)

..^2=16。。(2。。*68。-6。。、12。)2=25.>10,828;

800x800x320x1280

故能在犯错概率不超过0。01的前提下认为该中学学生的数学成绩与物理成绩有关系.…(6分)

(2)随机抽取1名学生的成绩，数学、物理两科成绩恰有一科优秀的概率为p=罪=；“.(7分)

•.•X〜B(4,；),.•.X的分布列为

X01234

81272731

P

2566412864256

…（10分）

E（X）=np=4x；=1....（12分）

解析：(1)利用公式计算出K2,进而得出结论.

(2)随机抽取1名学生的成绩，数学、物理两科成绩恰有一科优秀的概率为p=^=；,利用由

80。4

X〜8(4,3,即可得出X的分布列及其数学期望.

本题考查了独立性检验思想、二项分布列及其数学期望，考查推理能力与计算能力，属于中档题.

8.答案：解：(1)设“恰好有1艘B型船”为事件A则P(4)=等=5

(2)由题意得：6的取值有20、25、30、35

p(f=20)=寻号,

p(f=25)=等=3

p(f=30)=管=靠

P(f=35)=等=表

•••f的分布列为

20253035

1131

P

621030

11Q1

.•.E^20x-+25x-+30x-+35x-=26.

解析：(1)设“恰好有1艘B型船”为事件A,利用古典概型概率的求法求解概率即可.

(2*的取值有20、25、30、35,求出概率，得到f的分布列，然后求解期望即可.

本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，考查计算能力.

9.答案：解：(1)以张超3胜1负而结束比赛，则张超第4局必胜而前3局必有1局败.

••・所求概率为P=弓(1一|)x(|)3=捺

(2)f的所有取值为3,4,5,

P(f=3)=废(|)3针+C纥)。©3=1,

P(f=4)=或(|)2。1(|)+仁(|)42白=弟

P&=5)=扇|)2铲=。

f的分布列为:

345

1108

P

32727

解析：（1）以张超3胜1负而结束比赛，则张超第4局必胜而前3局必有1局败.由此能求出比赛以

张超3胜1败而宣告结束的概率.

（2*的所有取值为3,4,5,分别求出相应的概率，由此能求出f的分布列和Ef.

本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，

是中档题.

10.答案：（1）5,

罂

（U）国的分布列为:

X1234

4991

P

84148484

期望为二.

侬

解析：试题分析：（I）从球的编号可看出取3个球，最多只有两个编号相同，因此“取3个球”这

个事件可分为“取出的3个球编号都不相同”和“取出的3个球中恰有两个球编号相同”这两个对

立事件，而“两个球的编号相同”这个事件的概率为堡^=3,因此所求概率为3-」=三；（E）取

螺察竽色

出的3个球中编号的最小值可能值为1,2,3,4,最小编号为1,可能有一个1,也可能有两个1,

最小编号为，2,可能有一个2,也可能有两个2,最小编号为3,可能有一个3,也可能有两个3,

最小编号为4,只有一种情况，依此可分别求出概率，列出概率分布表，再用期望公式求出期望值.

试题解析：（I）设“取出的3个球编号都不相同”为事件,感，“取出的3个球中恰有两个球编号相

同”这事件却则超期=写《4,••督您TT蜀=：.

（口）密的取值为1，2,3,4

级蝌辍笔

所以，密’的分布列为:

X1234

492591

P

84848484

面的油必ttn用WKr婚筮"雨哪一31»瘫

,＜的数学期望,魏蜀=滁一笄窈一样叙:一年4落一=—=一.

酗嬲的醐酎明

考点：（I）对立事件，古典概型；（n）随机事件的概率分布列与数学期望.

11.答案：解：（【）•.•盒中有大小相同的3个红球和，个白球,

从盒中一次性取出3个球，取到白球个数的期望为

•••取得红球个数的期望为久加起来是3）,

••・红球、白球比为3：2,

•••白球有2个;

(U)X的取值为0,1,2,3,贝U

P(X=0)=|=0.1,P(X=1)=|xxj+|x|x1=0.3

n八/r、3221.3221,2321”

P(X=2)=-x-x-x-+-x-x-x-+-x-x-x-=0.3

、J543254325432

p(x=3)=1—0.1-0.3-0.3=0.3

X的分布列为

X0123

P0.10.30.30.3

X的数学期望为：E（X）=1x0.3+2x0.3+3x0.3=1.8

解析：（I）确定红球、白球比为3：2,即可求白球的个数r；

（H）X的取值为0,1,2,3,求出相应的概率，即可求X的分布列以及数学期望.

本题考查概率的求法和离散型随机变量的数学期望的应用，是中档题.

12.答案：解：(1)£(%)=30x-+60xi+100xi+110x-+130x-+140x-=90；

1063301530

(2)所求概率P=P(X<50)+P(50<X<100)+；+：="

10635

解析：(1)利用结合期望公式得到.

(2)由于空气质量达到优或良的概率即为P=P(X<50)+P(50<X<100),代入计算即可.

本试题主要是考查了分布列的性质和分布列求解数学期望值的运用.

13.答案：解：(I)设该小组中有〃个女生，

由题意，得笔户=£，

解得n=6或n=4(舍)，

所以该小组有6名女生；

(H)由题意，X的取值为0,1,2,3,4

P(X=0)=C)2xC)2=击，

P(X=l)=^x|xlx(|)2+^x(l)2x|xi=^

2

P(X=2)=(|)x©)2+(废产x|x|xixi+©2x(|)2=2L,

P(X=3)=QX：X；X(|)2+GX(|)2X|X；/

P(X=4)=(|)2x(|)2=i.

所以X的分布列为:

X01234

15375i

/p>

所以EX=0X++1X/+2X^+3X^+4X；V

解析：(/)设出该小组中有〃个女生，根据古典概型的概率公式得到比值，等于恰为一男一女的概率,

解出关于〃的方程.

(H)由题意知X的取值为0,1,2,3,4,结合变量对应的事件，和独立重复试验的概率公式，得到

变量对应的概率，写出分布列，求出期望值.

本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查古典概型的概率公式，考查独立重复试验的概率公

式，考查利用概率与统计的知识解决实际问题.

14.答案：解：(1)①设''在一次游戏中摸出i个白球”为事件4a=,0,1,2,3),则

p(4)=丝."=三

13,C2C25

②设“在一次游戏中获奖”为事件8,则B=4U43,又2如)=,•言+等：且4、&互

c5C3C5C32

斥，所以P(B)=P(42)+P(A3)E+：=V

(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.

729,7721

P(X-0)—(1―――————,P(X—1)—Cix(1———)———,

'''101002101050

7249

m=2)=%=菽

所以X的分布列是

X012

9

P2149

10050100

X的数学期望E（X）=°x磊+"蔡+2><孤=3

解析：（1）①求出基本事件总数，计算摸出3个白球事件数，利用古典概型公式，代入数据得到结果；

②获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据①求出摸出2个白球的概率，再相加

即可求得结果；

（2）确定在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2,求出相应的概率，即可写出分布列，求出数学

期望.

本题考查古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事

件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.

15.答案：（1）爵=僦1;（2）分布列详见解析，邈=工

解析：试题分析：本题主要考查频率分步直方图和离散型随机变量的分布列和数学期望等数学知识，

考查学生的读图能力、分析问题和解决问题的能力、计算能力.第一问，利用频率分布直方图可知,

所有频率之和为1，所有可以求出成绩在|阳期知韵的频率；第二问，通过频率分布直方图分别求出

1.鹤懒图和|［里鹤胸螂内的学生人数，先列出式的可能取值，再分别求出每一种情况下的概率列出分

布列，利甩喀=颂迪颈靓子”T遹睇：、求数学期望.

试题解