广西2020-2021学年高二年级上册段考试卷数学理科试题

2020-2021学年上学期梧州高级中学段考试题2020.11

高二数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，满分150分.第1-12小

题答案用25填涂在答题卷选择题方框内，第13-22小题用0.5mm黑色签字笔写在

答题卷上各题的答题区域内.考试时间120分钟.在试题卷上作答无效.

第I卷（选择题）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.）

22

1.已知椭圆乙+2T=1（w>o）的左焦点为耳（T,O）,则〃?=（）

25m~

A.9B.4C.3D.2

【答案】c

【解析】

试题分析：根据焦点坐标可知焦点在x轴，所以/=25，『=疝，c2=16.又因为

=b'=a~—c'=9,解得叨=3，故选C.

考点：椭圆的基本性质

2,命题"三毛€（0,+8）,皿*0=/-1”的否定是（）

A.3x0e（0,+oo）,Inx0*x0-1B.3x0g（0,+oo）,lnx0=x0-l

C.V%e（0,+oo）,InxHx—lD.Vxg（0,+oo）,lnx=x-l

【答案】c

【解析】

试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为:

Vxe（0,+oo）,lnx^x-1

考点：全称命题与特称命题

3.设复数z满足（z-2z）（2一。=5,则z=（)

A.2+3iB.2—3iC.3+2iD.3-2z

【答案】A

【解析】

试题分析：(z—2i)(2—i)=5，z—2i=/-=2+〃.z=2+3i

2-z

考点：复数的运算

4.已知"为正偶数，用数学归纳法证明

1一:+:—!+—+^~;=2（^-^+^^+—+4]时，若已假设〃=氏（无22为偶数）时命

234〃+1[〃+2〃+4In）

题为真，则还需要用归纳假设再证〃=（）时等式成立（）

A.n=k+\B.n=k+2C.n=2k+2D.

n-2（k+2）

【答案】B

【解析】

【分析】

由数学归纳法的概念直接求解

【详解】若已假设片&（Q2,A为偶数）时命题为真，因为〃只能取偶数，所以还需要证明〃=A+2

成立.、

故选B.

【点睛】此题主要考查数学归纳法的概念问题，对学生的理解概念并灵活应用的能力有一定

的要求，属于基础题目.

x+y>l

5.若变量％，y满足约束条件｛>—,则z=2x-y的最小值为（）

x<l

A-1B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，目标函数z=2x-y的最优

x+y=1

解为点A,联立g“解得A”,所以z=2一的最小值为“7

考点：线性规划.

6.直线丁=依+1与椭圆工+乙=1总有公共点，则用的取值范围是（）

5m

A.m>\B.或0<〃？<1

C.0<HI<5或m。1D.m2/且/篦。5

【答案】D

【解析】

【分析】

求出直线恒过的定点，根据题意，该定点必在椭圆内或椭圆上，根据点与椭圆的位置关系,

代入点的坐标，即可求得结果.

【详解】由于直线丫=履+1恒过定点（0,1）,且直线y=H+l与椭圆工+汇=1总有公共点,

5m

所以点（0,1）必在椭圆内或椭圆上，则0<，41且〃/5,解得论1且〃印5.

m

故选：D.

【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于直线恒过的点在椭圆上或桶圆的内部，

属于中档题.

7.已知定点A（2,0）,它与抛物线丁二工上的动点p连线的中点/的轨迹方程为（）

A./=2（x-l）B./=4（x-l）C.y2=x-lD.

V=*T）

【答案】D

【解析】

【分析】

x+2

x---0----

=2x-2,

2xn

设。(鹏,％),M(x,y),则《，即《c，又4=尤0,代入即可求得轨迹

l〉'o=2y

-2

方程.

【详解】设p(%”外),M(x,y),己知定点4(2,0),

X。+2

x=

2=2x-2

利用中点坐标公式知<则《

%Jo=2y

)=

2

又动点P在抛物线上，所以巾=不，即(2»=2%一2,即y2=；(x—i).

故选：D.

【点睛】方法点睛：本题考查求轨迹方程，求轨迹方程一般是问谁设谁的坐标为(x,y),然后

根据题目已知条件建立关于(乂)，)的等式即可，考查学生的转化与划归能力及运算求解能力,

属于基础题.

8.若/(x)=V—ar2+4在(o,2)内单调递减，则实数〃的取值范围是()

A.a>3B.a=3C.a<3D.0<a<3

【答案】A

【解析】

【分析】

由(0,2)单调递减，所以xe(O,2)时/'(x)<0恒成立列出不等式组求解可得答案.

【详解】f'(x)^3x2-2ax,由/(x)在(0,2)单调递减，

J./',⑼40,/0<0.

故选：A

【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，还考查了恒成立问题解决方法，考查转

化能力，属于中档题.

9.函数/(x)的定义域为R,〃T)=2,对任意xeR,/'(x)>2,则〃x)>2x+4的

解集为()

A.(—1，1)B.(-l,+oo)C.(—oo,—1)D.(—oo,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

构造函数g(x)=/(x)-2x-4,利用导数判断出函数y=g(x)在R上的单调性，将不等式

/(%)>2x+4转化为g(x)>g(-1),利用函数y=g(x)的单调性即可求解.

【详解】依题意可设g(x)=/(x)—2x—4,所以g，(x)=_T(x)-2>0.

所以函数y=g(x)在R上单调递增，又因为g(-1)=/(-1)+2-4=0.

所以要使g(x)=/(x)—2%—4>0,即g(x)>g(-l),只需要》>一1,故选B.

【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造

新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

10.

己知A,B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，AABM为等腰三角形，且顶角为120。，则E

的离心率为()

A.垂)B.2C.百D.72

【答案】D

【解析】

22

设双曲线方程为鼻•—点=1(。>0力>0),如图所示，卜忸M，乙18”=120°，过点

M作Wx轴，垂足为N,在R1WMN中，忸N|=a,=故点M的坐标为

MQa,岛),代入双曲线方程得/=/=。2一。2,即02=2。2,所以e=J5,故选D.

考点：双曲线的标准方程和简单几何性质.

11.已知直线/：y=Mx-2）（左＞0）与抛物线C：y2=8x交于A5两点，/为抛物线C的

焦点,若|AF|=2网,则好勺值是（）

1272r-V2

A.-B.-25-C.2V2D.J

334

【答案】C

【解析】

分析】

设4（石,%）,3（9,%），则石+2=2（赴+2）,联立直线方程和抛物线方程，消去＞利用韦

达定理可求A:的值.

【详解】由抛物线。：y=8》,知产（2,0）,设4&,丁）,5（孙％），

因为直线/过（2,0）且其斜率大于零，故A8在x轴两侧.

又|AF|=2|网,知石＞z，且不+2=2（电+2）,即％=2彳2+2.

y=攵（尤_2）

由可得炉f一（8+4炉）％+442=0,

/=8x

x1=4

X,+=-+4

由韦达定理得।2k2代入王=2x2+2,可得＜戈2=1

x}x2=4k-=8

又女＞0,故攵=2及

故选：C.

【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，此类问题一般需要联立直线方程和

抛物线的方程，消元后借助韦达定理构建未知变量的方程，注意所消变量的合理选择，考查

学生的运算能力，属于一般题.

12.已知函数八幻的定义域为［-1,5］,部分对应值如下表:

X-1045

f(x)1221

/(x)的导函数y=/'(x)的图象如图所示,

则下列关于函数“X)的命题：

①函数y=/(x)是周期函数；

②函数/(幻在［0,2］是减函数；

③如果当1刁时，/(x)的最大值是2,那么f的最大值为4；

④当l<a<2时，函数y=/(x)-a有4个零点.

其中真命题的个数是()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】D

【解析】

【详解】①显然错误；③容易造成错觉，tmax=5;④错误，f(2)的不确定影响了正确性；②正

确，可由F(x)<0得到.

第n卷(非选择题)

二、填空题

4

13.函数y=2—x—1(x>0)的最大值为.

【答案】-2

【解析】

【分析】

先把函数整理成y=2-+利用基本不等式求解最小值即可.

【详解】当x>0时，y=2-（x+3）W2—2/14=—2.当且仅当x=3,x=2时取等号.

故答案为：-2.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值,

则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这

个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

14.点P（8,l）平分双曲线4y2=4的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般式为

【答案】2x-y-15=0

【解析】

【分析】

设弦的两端点分别为A（xi,yi）,5（x2,”），由A8的中点是尸（8,1）,知M+X2=16,yi+”

=2,利用点差法能求出这条弦所在的直线方程.

【详解】设弦的两个端点分别为4（%,X）,/看,%），则x：-4y；=4,员=4,

两式相减得（石+々）（芭-%2）-4（X+%）（y-%）=。,

因为线段AB的中点为P（8,l）,所以％+々=16,%+必=2,所以

y一%=%+,二？

玉一々4（y+%）'

所以直线A8的方程为y-l=2（x-8）代入x2-4y2=4满足△>0,即直线方程为

2x—y—15=0.

故答案为：2x-y-15=0.

【点睛】本题考查弦的中点问题及直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点

差法的合理运用.

Ji57r

15.直线x=一，x=—与曲线y=sinx,y=cosx围成平面图形的面积为________.

44

【答案】2c

【解析】

57t

457r

画出图像如下图所示，由图可知，面积为J（sinx-cosx）〃x=—（sinx+cosx）|：=2，5.

n4

4

；（其中。〉0）上存在最大值，则实数。的取

27

值范围是.

【答案】-<a<\

2

【解析】

【分析】

利用导数求出函数的单调性，判断出极值点后可得关于。的不等式组，从而可得所求的范围.

【详解】因为/（力="詈，x>0,所以/'（0=一营.

当0cx<1时-，/'（x）>0；当x>l时，r（x）<0.

所以/（X）在区间（0,1）上单调递增，在区间（1,包）上单调递减,

所以函数“X）在x=l处取得极大值.

因为函数/（x）在区间+（其中a〉0）上存在最大值,

a<\

1,,解得?<a<L

所以《

a+—>12

2

故答案为：一＜。＜1.

2

【点睛】关键点点睛：函数在开区间内有最值，则最值点（极值点）必在此开区间内，这是

解决此题的关关键.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤.）

17.解下列不等式：

(2)9'-4-3v-12<0.

【答案】⑴（-oo,3）U[4,+oo）；（2）（-＜»,log36）

【解析】

【分析】

（1）化简分式不等式，等价成一元二次不等式进行求解即可;

（2）先换元将含指数的不等式转化成一元二次不等式进行求解，再解指数不等式即得结果.

黑汩即黑—x-4(x-4)(x+3)>0

【详解】解：（1）N0,等价于,故xN4

x+3x+3H0

或x<3,.♦.不等式的解集为(F,3)U[4,+O>)；

(2)(3')-4•3"-12<0令f=3"，t>0—4f—12<0>解得0<t<6,

即0<3*<6=3陶6,故x<log36,.•.不等式的解集为(T»,log36).

18.A8C的内角力，B,C的对边分别为a,b,c.已知2cosc(acosB+6cosA)=c.

(1)求角C；(2)若c=J7，S.„=—>求AABC的周长.

A/lorC2

【答案】(1)C=1(2)5+V7

【解析】

【详解】试题分析：(1)根据正弦定理把2cosc(acos8+bcos4)=c化成

2coG(或in度:osBsi4c<,利用和角公式可得cosC=L,从而求得角C；(2)

2

根据三角形的面积和角C的值求得ab=6,由余弦定理求得边a得到MBC的周长.

试题解析：(1)由已知可得2cosc(sinAcosiS+sin3cosA)=sinC

,,171

2cosCsin(A+B)=sinC=^>cosC=—=>C=—

23

(2)=gabsinC=>==ab=6

又/+-2abeosC=c2

:.a2+Z?2=13，.•・(〃+人y=25=>〃+/?=5

・・・AA3C的周长为5+J7

考点：正余弦定理解三角形.

19.已知函数/(幻="(公+加一/一4工，曲线y=/(x)在点(0J(0))处切线方程为

y=4x+4.

(1)求。力的值；

(2)讨论/(%)的单调性，并求/(%)的极大值.

【答案】(1)a=b=A-,(2)见解析.

【解析】

【详解】试题分析：(1)求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=/(x)在点(o,/(o))处

切线方程为y=4x+4,建立方程，即可求得。，〃的值；(2)利用导数的正负，可得/(x)

的单调性，从而可求/(x)的极大值.

试题解析：(1)/'(x)=e"(czx+a+b)—2x—4.

由已知得/(O)=4,/'(O)=4.

故。=4,a+b=8.

从而。=4,h=4.

(2)由(1)知，/(x)=4e"(x+1)—f—4x,

r(x)=4e'(x+2)_2x_4=4(x+2)(e，_；).

令/，(x)=。得,x=-ln2或x=-2.

从而当xe(-oo,-2)(-】n2,+oo)时，/'(x)>0；

当xw(—2,—ln2"^fr(x)<0.

故/(x)在(-8,-2),(Tn2,+8)上单调递增，在(-2,-ln2)上单调递减.

当x=-2时，函数/(%)取得极大值，极大值为"—2)=40—e-2).

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数

的极值.

【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；

利用导数研究函数的极值.求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数/'(》)：(3)解

方程/''0)=0,求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验/'(力在7''(%)=0的根％左右两

侧值的符号，如果左正右负，那么/(x)在/处取极大值，如果左负右正，那么/(x)在/处

取极小值.

20.已知抛物线丁=4%截直线丁=2%+根所得弦长|4?|=36.

(1)求，"的值；

(2)设P是x轴上的点，且八48尸的面积为9,求点尸的坐标.

【答案】(1)-4；(2)(5,0)或(-1,0).

【解析】

【分析】

(1)设4(玉,y),BQ2,%).由抛物线方程和直线方程联立，根据|A8|=3近，利用弦长公

式结合韦达定理由|AB|=川+合小(,+9)2_4中2=3后求解.

(2)由(1)知直线AB的方程为y=2x—4,设P(a,O),求得点P到直线AB的距离

|2a-0-4|2|n-2|

区+Ji?=6，再ZXABP的面积为9,由S=求解.

【详解】⑴设4(口乂),3(孙％)•

[y=2x+my,-0

由《2，得4工2+4(加-1)工+加~=0,

y=4x

1

A=16(m-1)29-16m~9=16(1-2m)>0,m<—,

由根与系数的关系得尤।=1一九X]工2=£-.

•••I叫=J1+&2卜西+々)2_44%2

=>/1+22^(1-m)2-4X?=J5(l-2加)，

V|ABh375,；.J5(l-2加)=玷,

解得机=-4.

(2)由(1)知直线A3的方程为y=2x—4.

设尸(。,0)，点P到直线AB的距离为d,

|2a-0-4|2|«-2|

则。=

V22+(-D2

I2V

又S®=g|A8H/，则4=鬲

.2\a-2\2x9

**石-3亚,

・，・|〃-21=3,

，a=5或。=—1.

故点P坐标为(5,0)或(—1,0).

【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，弦长公式，三角形面积问题，还考查了运

算求解的能力，属于中档题.

21.已知函数/(x)=xcosx-sinx,xe0,g.

(1)求证：/(x)<0；

(2)若对xe[O,g]恒成立，求”的最大值与。的最小值.

XL2_

【答案】(1)证明见解析；(2)。的最大值为2,。的最小值为1.

7T

【解析】

【分析】

(1)求出函数的导数，判断函数的单调性，然后证明即可；

(2)构造函数利用函数的导数求解函数的单调性以及函数的最值，然后求解”的最大值与。的

最小值.

【详解】(1)证明：由/'(x)=xcosx-sinx得/'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.

因为在区间(0，£|上ra)=-xsinx<0,所以在区间0谭上单调递减.从而

/(x)</(0)=0.

sinxsinx

(2)当x>0时，“---->。”等价于'飞皿1一侬>0''；"----<人”等价于“sinx—法vO”.

XX

令g(x)=sinx-cx,则g'(x)=cosx—c,

当cW0时，8(X)>0对任意》€。仁恒成立.

当cZl时，因为对任意xe。弓，g'(x)=cosx-c<0,所以g(x)在区间0,|上单调递

减，从而对g(x)Wg(())=O对任意xe0仁恒成立.

当0<c<l时，存在唯一的xe0尚使得g'GJneos/-c=().

g(x)与g'(x)在区间"上的情况如下：

兀

X0(。,小)X。

2

g'(x)1-c+0—-C

单调递单调递

171

g(x)0极大值1——C

增减2

因为g(x)在区间［0,%］上是增函数，所以g(%)2g(0)=0,进一步，“g(x)N0对任意

恒成立，，当且仅当g曰=1-［cNO,即0＜cM.

.2」2兀

2「冗-

综上所述，当且仅当cW—时，g(x)»O对任意xe0,-恒成立；

71L2_

当且仅当cNl时，8(》)《0对任意工€0仁恒成立.

所以，若。＜咏＜。对任意xe恒成立，则。的最大值为冬，人的最小值为1

XL2」兀

【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的综合题，构造函数利用导数研究不等式恒成

立求参数的最值是解题的关键，考查学生的推理能力，计算能力.

22.已知椭圆C的中心在原点，焦点在X轴上，离心率等于它的一个顶点恰好在抛物线

2

x2=8y的准线上.

(1)求椭圆C的标准方程;

⑵点P(2,百)，QQ-百)在椭圆上，A8是椭圆上位于直线PQ