初中数学实际问题与反比例函数练习题

初中数学实际问题与反比例函数练习题

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）

1.已知广州市的土地总面积约为7434km2,人均占有的土地面积S（单位：km2/A）

随全市人口n（单位：人）的变化而变化，贝IJS与n的函数关系式为（）

A.S=7434nC.n=7434SD.S

2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生

产x只（X取正整数），这个月的总成本为5000元，贝的与生之间满足的关系为（）

C5000〃5000

A-y=^By=-T—口7=急

J3xC.y=—

3.如图，矩形ABC。的边4B在x轴上，反比例函数y=：（kH0）的图象过。点和边BC的

中点E,连接DE,若ACDE的面积是1,则k的值是（）

C.2V5D.6

4.如图，心小8。的顶点4在双曲线丫=拗图象上，直角边BC在x轴上，NABC=90。,

44cB=30。，0C=4,连接04乙4OB=60。，则4的值是（）

A.4V3B.-4V3C.2V3D.-2V3

5.已知，一次函数yi=ax+b与反比例函数%=E的图象如图所示，当，1<丫2时，x

A.x<2B.0<x<2或x>5

C.2<r<5D.r>5

6.如图，一次函数为=kx+b(k40)的图象与反比例函数为=?(巾为常数且小消。)

的图象都经过4(-1,2),B(2,-1),结合图象，则不等式kx+b>?的解集是()

A.x<—1B.-l<x<0

C.x<-1或0<x<2D.-l<x<0或x>2

7.当三个非负实数x、y、z满足关系式％+3)/+22=3与3%+3)/+2=4时，M=

3x-2y+4z的最小值和最大值分别是()

A.一士1，6B.-±1,71C.-,8D15

7，6，5，8，

8.△ABC的面积是6(平方单位)AB=y,AB上的高CD=%,则y关于％的函数的图象

试卷第2页，总24页

9.已知某村今年的荔枝总产量是p吨（P是常数），设该村荔枝的人均产量为y（吨）,

人口总数为x（人），贝如与x之间的函数图象是0

D.

10.购买x斤水果需24元，购买一斤水果的单价y与x的关系式是（）

A.y=y（x>0）B.y=g（x为自然数）

C.y=§（x为整数）D.y=§（x为正整数）

二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分，）

11.一定质量的氧气，它的密度pkg/m3是它的体积/巾3的反比例函数当了=10m3时,

P=lA3kg/m3,则p与V的函数关系是________.

12.如图，直线y=2x+2与y轴交于4点，与反比例函数y=>0）的图象交于点M,

_____〃

过M作MH1x轴于点H,且tan乙4H。=2.点N（a,1）是反比例函数y=-（%>0）图象

上的点，若点P是在X轴上且使得PM+PN的长最小，则点P的坐标为

13.回4BCD在平面直角坐标系中的位置如图，其中4(-4,。)，B(2,0),C(3,m),反比

例函数y=：的图象经过点C.将I24BC。沿x轴翻折得到口4。£'夕，则点。'的坐标为

14.如图，正比例函数yi=x的图象与反比例函数为=£(kH0)的图象相交于人B两

点，点4的纵坐标为2.当y1＞丫2时，自变量x的取值范围是

15.当x满足条件时，丫=当一1|+设一2|+|%—3|+~+比一2010|会得到最

小值.

16.某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体,

当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积火加3)的反比例函数，其图象如

试卷第4页，总24页

图所示.当气球内的气压大于150KPa时，气球会将爆炸，为了安全起见，气体的体积

17.某电厂有5000吨电煤.

(1)求：这些电煤能够使用的天数X(单位：天)与该厂平均每天用煤吨数y(单位：吨)

之间的函数关系；

(2)若平均每天用煤200吨，则这批电煤能用多少天？

(3)若该电厂前10天每天用200吨，后因各地用电紧张，每天用电煤300吨，则这批

电煤共可用多少天？

18.你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成

拉面，面条的总长度y(zn)是面条的粗细(横截面积)x(mm2)的反比例函数，其图象

(2)求当面条粗总长度为400米时，面条的横截面积是多少nun??

(3)求当要求面条的横截面积不少于0.2mm2时，面条的总长度最多为多少米？

19.如图是一个光学仪器的曲面横截面，图中的曲线是一段双曲线，一个端点的坐标是

y(cm)£月(10,80)

80

60

40

20

204060807优刈

4(10,80)./S

(1)求这段图象的函数解析式及自变量的范围；

(2)求这段函数图象与直线y=x的交点C的坐标.

20.如图：直线y=ax+b分别与x轴，y轴相交于力、B两点，与双曲线丫=三Q>0)

相交于点P,PCJ_x轴于点C,点4的坐标为(一4,0),点B的坐标为(0,2),PC=

(1)求双曲线对应的函数关系式；

(2)若点Q在双曲线上，且QH_Lx轴于点H,AQCH与A/lOB相似，请求出点Q的坐

21.如图，一次函数yi=—?x+4的图象与反比例函数丫2=§的图象交于4Q,3),

B(6,n)两点

(1)观察图象当月>旷2时，》的取值范围是

(2)求反比例函数的解析式及B点坐标；

试卷第6页，总24页

(3)求404B的面积.

22.已知：实数x,y,z满足：x+y+z=O,xy+yz+zx=-3,求z的最大值.

23.如图，正比例函数y=的图象与反比例函数y=勺也不0)在第一象限的图象交于

(2)如果8为反比例函数在第一象限图象上的点，且B点的横坐标为1,在x轴上求一

点P,使PA+PB最小.(只需在图中作出点B,P,保留痕迹，不必写出理由)

24.某蓄水池的排水管每小时排水8立方米，6小时可将满面池水全部排空.

(1)蓄水池的容积是多少？

(2)如果每小时排水用Q表示，求排水时间t与Q的函数关系式.

(3)如果5小时把满池水排完，那么每小时排水量至少是多少？

(4)已知排水管最大排水量是每小时12立方米，那么最少要多少小时才能将满池水全

部排空？

参考答案与试题解析

初中数学实际问题与反比例函数练习题

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

1.

【答案】

B

【考点】

根据实际问题列反比例函数关系式

【解析】

根据土地总面积=人均占有的土地面积X全市人口可求解析式.

【解答】

解：根据题意可得：人均占有的土地面积=二土地总面积

全市人口

故答案为：B

2.

【答案】

C

【考点】

根据实际问题列反比例函数关系式

【解析】

根据等量关系“每只玩具熊猫的成本=总成本+数量”列出关系式即可.

【解答】

解：由题意得：y与x之间满足的关系为y=等.

故选c.

3.

【答案】

B

【考点】

反比例函数综合题

【解析】

本题考查了反比例函数的综合运用，反比例函数系数的几何意义及矩形的性质等知识,

解题关键是掌握反比例函数系数的几何意义.

【解答】

解：：四边形4BCD为矩形，

AB=CD,AD=BC,“=90°.

点E为BC边的中点，

1

・・・CE=BE=；BC,

试卷第8页，总24页

・•・CDCE=2.

CE=BE=：BC,

：.CD-BC=4=AD-AB.

设点。的坐标为（4,y）,则点E的坐标为（x+aB^y）,

反比例函数y=*也手0）的图象过。点和点已

x-y=（X+/4B）-^y,

AB—x.

・・•AD=y,AD-AB=4,

k=x-y=AD•AB=4.

故选B.

4.

【答案】

B

【考点】

反比例函数综合题

【解析】

根据三角形外角性质得4。4c=44。8-44cB=30°,易得。A=0C=4,然后再Rt△

AOB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB=1OA=2.AB=^OB=2B，

则可确定4点坐标为（-2,2V3）,最后把4点坐标代入反比例函数解析式y=:中即可得

到k的值.

【解答】

^LACB=30°,4力。8=60°,

NOAC=/.AOB~/.ACB=30°,

：.^OAC=^ACO,

：.。4=。。=4,

在AAOB中，乙4BC=90。，^AOB=60°,OA=4,

：.4048=30°,

OB=-OA^2,

：.AB=yf30B=273,

•1.A点坐标为（一2,2次），

把4（-2,2百）代入y=潦k=-2x2百=-473.

5.

【答案】

B

【考点】

反比例函数与一次函数的综合

【解析】

根据两函数的交点坐标和图象得出即可.

【解答】

解：•••从图象可知：一次函数月=ax+b与反比例函数%=k的交点坐标为

(2,5),(5,2)，当yi<y2时，x的取值范围是0<x<25或x>5

故选B.

6.

【答案】

C

【考点】

反比例函数与一次函数的综合

【解析】

根据一次函数图象在反比例函数图象上方的”的取值范围便是不等式依+匕盛的解集.

【解答】

解：由函数图象可知，当一次函数%=/^+〃卜#0)的图象在反比例函数丫2=千(小

为常数且m+0)的图象上方时，x的取值范围是：X<一1或0<x<2,

不等式+的解集是x<-l或0<x<2.

故选C

7.

【答案】

B

【考点】

函数最值问题

【解析】

根据关系式x+3y+2z=3与3x+3y+z=4求出y和z与x的关系式，又因X、y、z均

为非负实数，求出x的取值范围，于是可以求出M的最大值和最小值.

【解答】

解:鸵：得：

(3x+3y+z=4

卜=|(1-X)

Iz=2x-1

代入M的表达式中得，

M=3%-2y+4z=3%—y(1-%)4-4(2%-1)=y%—y,

又因％、y、z均为非负实数，

'%>0

所以，|(l-x)>o,

<2x—120

即群Xw1,

当x=：时，M有最小值为.

当x=l时，”有最大值为7.

故选B.

8.

试卷第10页，总24页

【答案】

D

【考点】

反比例函数的应用

【解析】

根据三角形的面积计算公式得到两个变量之间的函数关系，然后即可得到其函数图象.

【解答】

解：•••△ABC的面积是6（平方单位）AB=y,48上的高CD=x,

沁=6,

即：y=£

；•函数的图象经过点（6,2）

故选D.

9.

【答案】

D

【考点】

反比例函数的应用

【解析】

根据题意有：xy=P；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据xy实际意义》、y

应〉0,其图象在第一象限；故可以判断.

【解答】

解：：xy=p（p是常数）

y=（（x＞o,y＞。）

故选：D.

10.

【答案】

A

【考点】

根据实际问题列反比例函数关系式

【解析】

单价=总价+数量，把相关数值代入即可求解.

【解答】

解：；总价为24,数量为匕

•*"单价y=§（%＞。），

故选：A.

二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）

11.

【答案】

14.3

P=F

【考点】

根据实际问题列反比例函数关系式

【解析】

首先根据题意，一定质量的氧气，它的密度P(kg"i3)是它的体积大加3)的反比例函数,

将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案.

【解答】

解：设p=*当/=10巾3时p=1.43kg/m3,

所以1.43=2,即k=14.3,

所以P与S的函数关系式是p=平；

故答案为：P=詈.

12.

【答案】

【考点】

反比例函数综合题

【解析】

先由y=2x+2确定4点坐标为(0,2),再利用正切的定义由tan乙4H。=筹=2可计算

出。”=1,则可确定M点坐标为(1,4),接着利用待定系数法得到反比例函数解析式为

7=;,于是把N(a,4)代入y=:得a=1,则N点坐标为(4,1)；作时点关于x轴的对称

点M',则M'的坐标为(1，-4),由于点P是在x轴上且使得PM+PN的长最小，则点P为

直线NM'与x轴的交点，然后利用待定系数法确定直线NM'的解析式为y=|x-掾，最

后根据x轴上的坐标特点可确定P点坐标.

【解答】

解：把x=。代入y=2x+2得y=2,则4点坐标为(0,2),

在RtzM。“中，OA=2,tan乙4Ho=需=2,

OH=1,

把％=1代入y=2x+2得y=4,

・•・M点坐标为(L4),

把M(l,4)代入y=多融=1x4=4,

；・反比例函数解析式为y=

把N(a,4)代入y=:得4a=4,解得a=1,

N点坐标为(4,1),

作M点关于x轴的对称点M',如图，则M'的坐标为(1,—4),

点P是在x轴上且使得PM+PN的长最小，

•••点P为直线NM'与x轴的交点，

设直线NM'的解析式为y=mx+n,

试卷第12页，总24页

把4)、N(4,1)代入得｛黑二;

14*771十71—1

(5

m=-

解得〈：7，

n=-----

，直线NM'的解析式为y=|x-日，

把y=o代入得|%-9=0,解得出=装,

13.

【答案】

(-3,—3)

【考点】

反比例函数综合题

【解析】

先把C(3,m)代入y=：求出m,确定C点坐标为(3,3),再计算出AB=然后确定。点

坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求解.

【解答】

解：：反比例函数y=3的图象经过点c(3,m).

.9

.・m=-=Q3,

3，

c点坐标为(3,3),

V4(一4,。)，6(2,0),

AB=2-(-4)=6,

•••。点坐标为(一3,3),

；回4BCD沿尤轴翻折得到口4。'(7'8',即点。'和点。关于%轴对称，

•••点D'的坐标为(-3,-3).

故答案为(-3,-3).

14.

【答案】

—2<x<0或x>2

【考点】

反比例函数与一次函数的综合

【解析】

由点4的纵坐标为2结合正比例函数图象上点的坐标特征可得出点4的坐标，利用正反

比例函数的对称性可得出点B的坐标，观察函数图象，找出正比例函数图象在反比例函

数图象上方时x的取值范围，此题得解.

【解答】

；点4在正比例函数的图象上，且点4的纵坐标为2,

，点4的坐标为(2,2).

V正、反比例函数图象关于原点中心对称，

点B的坐标为(—2,—2).

观察函数图象，可知：当-2<x<0或x>2时，正比例函数图象在反比例函数图象上

方，

当yi>y2时，自变量x的取值范围是一2c久<0或x>2.

15.

【答案】

1005<%<1006

【考点】

函数最值问题

【解析】

本题需要运用绝对值的几何意义，要使点%到两定点的距离和最小，贝收在两点之间，

最小值为两定点为端点的线段长度，从而使第一个绝对值与最后一个绝对值结合，得

出取最小值的x的范围；第二个绝对值与倒数第二个绝对值结合，得出取最小值的工的

范围，依此类推，综合x的范围即可得出y取最小值的x的范围.

【解答】

解：数轴上，要使点X到两定点的距离和最小，贝收在两点之间，最小值为两定点为端

点的线段长度，

当1<x<2010时,|x-l|+|x-2010|有最小值2009；

当2<x<2009时,|x-2|+|x-2009|有最小值2007；

当3<x<2008时,|x-3|+|x-2008|有最小值2005；

当4sx<2007时,\x-4\+\x-2007|有最小值2003；

当1004<x<1007时，|x-1004|+|x-1006|有最小值3；

当1005<x<1006时，|x-1004|+|x-1006|有最小值1；

综上可知，当1005WxW1006时，|%-1|+比-2|+合一3|+一比-2010|会得到最

小值.

故答案为：1005WxW1006.

16.

【答案】

0.4

【考点】

反比例函数的应用

【解析】

根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积八m3)的反比例函数,

且过点(05120),故P•V=60；故当P<150,可判断U的取值范围.

【解答】

试卷第14页，总24页

解：设球内气体的气压P(kPa)和气体体积V(m3)的关系式为p.,

图象过点(05120)

/.k=60,

即「=,，在第一象限内，P随V的增大而减小，

...当P<150时，y<150,

解得：十20.4.

故答案为：04.

三、解答题(本题共计8小题，每题10分，共计80分)

17.

【答案】

解：y=警

解：把久=200代入y=等，

得y=25.

故这批电煤能用25天

解：前10天后还剩下5000-10x200=3000(吨)电煤，可以用翳=10(天)，故共可

用20天

【考点】

根据实际问题列反比例函数关系式

【解析】

本题主要考查反比例函数的应用，正确理解题意是解本题的关键.

【解答】

此题暂无解答

18.

【答案】

解：(1)由图象得，反比例函数图象经过点(4,32),

设y与x的函数关系式使y=§,

则与=32,

解得k=128,

故y与X的函数关系式是y=3；

(2)当y=400时，即：?=400

解得：x=0.32mm2,

故面条的粗细为0.32mm2;

(3)x=0.2mm2时，y=贵=640米；

则面条最长为640米.

【考点】

反比例函数的应用

【解析】

(1)根据反比例函数图象经过点(4,32),利用待定系数法进行解答；

(2)把y=400代入求得的解析式求得x的值即可.

(3)把x=0.2代入函数解析式，计算即可求出总长度丫的值.

【解答】

解：(1)由图象得，反比例函数图象经过点(4,32),

设y与x的函数关系式使y=3

则＞32,

解得k=128,

故y与X的函数关系式是丫=管；

(2)当y=400时，即：1=400

解得：x=0.32mm2,

故面条的粗细为0.32nun2；

(3)x=0.2mm2B^,y—翳=640米；

则面条最长为640米.

19.

【答案】

解：(1)设反比例函数的解析式为y=三

一个端点a的坐标为(10,80),

.・・fc=10x80=800,

・・・反比例函数的解析式为、=哼(104工工80)；

_800

{y=%

解得『=一；露或F=薰

[y=-20V2(y=20V2

•••点C在第一象限，

...c点的坐标为(20位,20&)

【考点】

反比例函数的应用

【解析】

(1)利用待定系数法设出反比例函数的解析式后代入点4的坐标即可求得反比例函数

的解析式；

(2)将两解析式联立组成方程组求解即可.

【解答】

解：(1)设反比例函数的解析式为y=*

v一个端点a的坐标为(io,80),

试卷第16页，总24页

，k=10x80=800,

反比例函数的解析式为y=^(io<%<80);

800

(2)由题意得：丁=丁

.y=x

x=-20应或卜=20>/2

解得：y=-20V2^(y=20V2

•・・点C在第一象限,

JC点的坐标为(20&,20鱼)

20.

【答案】

解:(1)V点4的坐标为(一4,0),点B的坐标为(0,2),

设yi=kx+b,

・J-4fc+b=0

…tb=2,

解得:仁

,/PClx轴，PC=3,

3=|x+2,

解得：%=2,

故P(2,3),

则3=p

解得k=6.

故双曲线的解析式为：y=]

(2)根据Q点在双曲线上，设Q点的坐标为(m,旨),

由4B点的坐标可得：8。=2,4。=4,CO=2,

当AQCHMB4。时，

QH_CH

BO-AO'

m_771-2

2一4，

解得：(不合题意舍去)，

mi=l+VH,m2=1-V13<0

则2=3=W

1+V132

故Q点的坐标为：（旧+1,更|二）；

当AQCH"△48。时,

CH_QH

BO-AO

24'

解得：m[=一1<0（不合题意舍去），m2=3,

则《十2.

故Q点的坐标为：（3,2）.

综上所述：Q点的坐标为：（g+1,当二）；

反比例函数综合题

【解析】

（1）根据两个函数的解析式及其与x轴的交点坐标和表示出P点的坐标根据三角形的

面积k值从而求出双曲线的函数解析式.

（2）利用（1）我们可以求出AAOB各边的长，然后利用三角形相似求出Q点的坐标就

可以.

【解答】

解：（1）；点4的坐标为（一4,0）,点B的坐标为（0,2）,

设为=kx+b,

.f—4k+b=0

"tb=2'

/c=|

解得：

b=2

试卷第18页，总24页

,/PClx轴，PC=3,

3=4+2,

2

解得：x=2,

故P（2,3）,

则3=?

解得k=6,

故双曲线的解析式为：y=$；

（2）根据Q点在双曲线上，设Q点的坐标为（犯3）,

由4B点的坐标可得：B0=2,4。=4,CO=2,

当AQCH时，

QH_CH

BO~~AO'

器=巴2

24'

解得•根1=1+V13,m2=1—V13<0（不合题意舍去）

则2=f=d

l+x/132'

故Q点的坐标为：（旧+1,粤3；

当AQCH-△48。时，

CH_QH

BO~A0'

6

空二=运

24'

解得：mi=-l<0（不合题意舍去），m2=3,

故Q点的坐标为：（3,2）.

21.

【答案】

x<0或2V]V6

把4(2,3)代入丫2吟得m=2x3=6,

A反比例函数的解析式为丫2=|；

将B(6,九)代入为=-|x+4,

得M=-：x6+4=1,

•••B点坐标为(6,1)；

由直线%=+4可知与x轴的交点为(8,0),

又：4(2,3),B(6,1),

S4AOB=|x8x3-|x8xl=8.

【考点】

反比例函数与一次函数的综合

【解析】

(1)观察函数图象得到当x<0或2<%<6时，一次函数图象在反比例函数图象的上

方；

(2)把4(2,3)代入=1，利用待定系数法求反比例函数的解析式；将8(6,n)代入

乃=一^X+4可求出71的值，即可求出B点坐标；

(3)求得直线与x轴的交点坐标，根据三角形面积公式即可求得.

试卷第20页，总24页

【解答】

根据图象可知，当月>丫2时，x的取值范围是x<0或2cx<6.

故答案为x<0或2<x<6；

把4(2,3)代入方=录得m=2x3=6,

反比例函数的解析式为y2=I；

将B(6,n)代入y1=-1x+4,

得M=-]x6+4=1,

•••B点坐标为(6,1)；

由直线yi=+4可知与x轴的交点为(8,0),

又；4(2,3),B(6,1),

S^AOB=gx8x3-gx8xl=8.

22.

【答案】

解一;%+y+z=0,

%+y=-z,①

xy+yz+zx=—3,

/.xy=—3—(yz+zx)=—3—z(x+y)=—3—z(—z),

即%y=-3+z2,②

由①②及韦达定理知：xy是一元二次方程u/2+zw+(-3+z2)=。的两实根，

则判别式4=z2-4(-3+z2)>0,

化简得：z2<4,

，-2<z<2,

•••z的最大值是2.

【考点】

函数最值问题

【解析】

首先将原式变形：x+y=-z,xy=-3+z2,又由韦达定理知：xy是一元二次方程

w2+zw+(-3+z2)=0的两实根，利用判别式求解即可得到答案.

【解答】

解：；x+y+z=0,

x+y=-z,①

xy+yz+zx=—3,

/.xy=—3—(yz+zx)=—3-z(x+y)=-3—z(—z),

即xy=-3+z2,②

由①②及韦达定理知：孙是一元二次方程w2+zw+(-3+z2)=0的两实根,

则判别式4=z2-4(-3+z2)>0,

化简得：z2<4,

二-2<z<2,

•••z的最大值是2.

23.

【答案】

解：(1)设Z点的坐标为(a,b),则由］ab=l,得ab=2=k,

v

Iy=