第26章 二次函数（压轴题）-2021-2022学年九年级数学期中考试满分全攻略（沪教版）教师版

第26章二次函数压轴题专练

能力提升

一、填空题

1.(2019•上海市嘉定区唐行九年制学校九年级二模)如图，曲线AB是顶点为B,与y轴交于

点A的抛物线y=-x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y=4的一部分，由点C开始不断重复

X

“A-B-C”的过程，形成一组波浪线.点P(2017,m)与Q(2020,n)均在该波浪线上，机

【答案】15

【详解］解：Vy=-x2+4x+2=-(x-2)2+6,

.,.当x=0时，y=2,

.•.点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(2,6),

•.•点B(2,6)在丫=幺的图象上，

X

：.k=12,

•.•点C在yk=2的图象上，点C的横坐标为6,

X

.•.点C的纵坐标是2,

...点C的坐标为(6,2),

V2017-？6=336-1,

Z.P(2017,m)在抛物线y=-x、4x+2的图象上，

m=-l2+4X1+2=5,

；2020+6=336…4,

12

・••点Q(2020,n)在反比例函数y二一上，

*.mn=5X3=15,

故答案为15.

2.(2018•上海普陀•)二次函数尸(x-2m)当Xx(研1时，遍x的增大而减小，则如

的取值范围是.

【答案】m>l

【详解】由条件可知二次函数对称轴为x=2m,且开口向上，由二次函数的性质可知在对称轴

的左侧时y随x的增大而减小，可求得即m>L

故答案为m>l.

点睛：本题主要考查二次函数的性质，掌握当抛物线开口向卜时，在对称轴右侧y随x的增大

而减小是解题的关键.

3.(2021•上海)已知函数/(力=丁-2(a+2)x+/,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.

设q(x)=max{f(x),g(x)},4(x)=min{/(x),g(x)},max{p,q}表示p,q中的较大值，min{p,q}

表示p,q中的较小值，回(x)记得最小值A,q(x)得最大值为B,贝以-B=________.

【答案】-16

【详解】因为/(》)=x2-2(a+2)x+a2-(x-a-2y-4a-4,

g(x)=-x2+2(a-2)x-i?2+8=-(x-«+2)2-4«+12.

所以当x=a+2时，f(x)=g(x)=-4a-4；当*=2-2时，f(x)=g(x)=-4a+12,

而g««=g(a-2)=-4a+12,所以H?(x)Wg(x)又f1d产f(a+2)=-4a-4,所以Hi(x)(x)Nfm®,

所以A=-4a-4,B=-4a+12,则A-B=T6,故答案为T6.

4.(2016•上海中考模拟)不等式(x+1乂V-4x+3)>0有多种解法，其中有一种方法如下，

在同一直角坐标系中做出X=x+1和%=f-4x+3的图像然后进行求解，请类比求解以下问

题：设a,6为整数，若对任意xWO,都有3+2心2+吻40成立，贝必+。=.

【答案】-1

【分析】若对任意yWO,都有(ax+2)(x2+2b)W0成立，则ymax+2应为增函数，y2=x、2b的

图象顶点应在x轴下方，且函数与x轴负半轴交于同一点，结合a,b为整数，可得答案.

【详解】观察图象可知：然aWO,由于x的负半轴上ax+2与x?+2b不同号=ax+2与x「+2b在x负半

轴上交点相同，推出-K=-J万，

a

Va,b为整数,

a=l,b二一2,

/.a+b--l.

故答案为T.

5.(2021•上海九年级专题练习)在平面直角坐标系中，抛物线y=x?+x+2上有一动点P,直线

y=-x-2上有一动线段AB,当P点坐标为时，4PAB的面积最小.

【答案】(-1,2)

【分析】因为线段AB是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，平移直线与

抛物线的切点即为P点，然后求得平移后的直线，联立方程，解方程即可.

【详解】因为线段AB是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，

若直线向上平移与抛物线相切，切点即为P点，

设平移后的直线为y=-x-2+b,

直线y=-x-2+b与抛物线y=x'+x+2相切，

/.x2+x+2=-x-2+b,即x2+2x+4-b=0,

则4=4-4(4-b)=0,

；.b=3,

.♦.平移后的直线为y=-x+l,

解lfz+—x++12得xry=2,

.•.P点坐标为(-1,2),

故答案为(-1,2).

【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及解方程等，理解

直线向上平移与抛物线相切，切点即为P点是解题的关键.

6.(2021•上海九年级专题练习)若关于x的函数y=(a-2)f-(4a-5)x+4a的图象与坐标轴

有两个交点，则a的值为

【答案】2,0,—

O

【分析】根据函数这一条件分两种情况讨论：一次函数和二次函数，又因为与纵轴必有一个

交点，再根据与坐标轴有两个交点分情况讨论，即可得出结论.

【详解】解：①当a=2时，原函数解析式为

y=-3x+8

此时b=8W0

故一次函数图象不过原点，则该函数与坐标轴有两个交点

②当ar2时，原函数为二次函数

故该函数一定与y轴有个交点，且仅有一个交点，其坐标为(0,4a)

当该交点是原点时，a=0,此时函数解析式为

y--2x2+5x

方程一2x?+5x=O的判别式△=25>0

故此时函数图象与x轴有两个交点，其中一个点是原点，即与坐标轴有两个交点

当该交点不是原点时，aWO

因为该函数图象与坐标轴有两个交点

所以该函数与x轴有且仅有一个交点

则方程(a-2)x2-(4a-5)x+4a=0有两个相等的实数根，可得

△=(4”5)2-4〃-)在？

整理，得

8a-25=0

解，得

25

25

综上可知a=2,0,

8

25

故答案为：2,0,

O

【点睛】本题考查•次函数和二次函数的性质，分类讨论的思想解决本题，需要注意两个词:

①函数，②与坐标轴的交点.

二、解答题

7.(2020•上海市建平中学西校九年级月考)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线

y=«?+2x+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴相交于点C(0,3),抛物线的对称轴

为直线/.

(1)求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；

(2)如果直线丫=1«+1)经过C、M两点，且与x轴交于点D,点C关于直线/的对称点为N,试证明

四边形CDAN是平行四边形；

(3)点P在直线/上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标.

【答案】(1)y=-x2+2x+3,对称轴为直线x=l,顶点M(1,4)；(2)证明见解析；(3)P.

(11-4+2底),P(1,-4-2\/6).

【分析】(1)相力、C两点坐标代入解析式即可求出。，。，将解析式配成顶点式即可得到对称

轴方程和顶点坐标；

(2)先由a/两点坐标求出直线c嫌用析式，进而求出，点坐标，由于a八两点关于抛物线对

称轴对称，则av〃/1。，同时可求出力点坐标，然后得出◎为〃，结论显然；

(3)设出。点纵坐标，表示出〃的长度，过点H乍PHLDM于从表示出7%的长度，在I*△加打

中中用勾股定理列出方程，解之即得答案.

【详解】解：(1)：抛物线丫=/+2》+，经过点4(-1,0)和点。(0,3),

Ja-2+c=0[a=-\

[c=3,[c=3,

/.y=-x2+2x4-3=-(x-I)2+4

对称轴为直线产1,顶点加1,4)；

图1

•.•点C关于直线/的对称点为N,

AM2,3),

•.•直线产在户推过G，俩点,

.""=3

*'\k+b=4,

，4[=k3=,\

.’.尸户3,

尸A+3与游由交于点D,

."(■3,0),

：.AD-2=CN

又,：AD/1CN,

...物A是平行四边形；

(3)设2(1,a),过点雁”〃_〃仔〃，连接应、PB,如图2,

贝力―，

又NMWP=45；

口△/心中，AP2=AE2+PE2,

：.枢1,-4+2屈,鸟（1,Y-2厢

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式、求

抛物线的对称轴及顶点坐标、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆的切线

性质、勾股定理、解一元二次方程等知识点，综合性较强，难度适中.第（3）间的直线与圆

相切问题往往转化为点到直线的距离与半径相等来解决.

8.（2021•上海浦东新区•九年级其他模拟）在平面直角坐标系中，我们把以抛物线y=f

上的动点4为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”.如图，已知某条“子抛物线”的

3

二次项系数为5,且与辟由交于点C设点4的横坐标为加（力＞0）,过点掰乍y轴的垂线交辟由于

点B.

(1)当〃=1时，求这条“子抛物线”的解析式;

(2)用含点J代数式表示//行的余切值；

(3)如果/力。=135°,求旅J值.

【答案】(1)y=-U-D2+l；(2)cotZACfi=-;n；(3)0的值为2

【分析】(1)先求出m=1时点A的坐标，进而可得到这条“子抛物线”的解析式；

(2)先根据A点坐标求出“子抛物线”的解析式和AB,OB的长度，然后令x=0求出y值即可得

到C点坐标，进而可求出BC的长度，最后利用cot4c8=空即可求解；

(3)过。点作如工。的延长线于点〃，过点加乍削的平行线分别交朋的延长线于点区交*轴于

点久首先证明△/£7以则有4£物；DE=OF,设AE=n,那么"'=〃，BE=m+n=OF=ED,

通过如协得到>=机+2〃，然后再通过cotZADE=器得到竺±="，将两个关于m,n的方程联

AEn2

立即可求出m的值.

【详解】

解：(1),••点A在y=/上，点/的横坐标为处

.\A(/Z7,/),

当0=1时，疗=1,

：.A(1,1),

这条“子抛物线”的解析式为y=|(x-1>+L

(2)由力(加，/),且481谕，可得力定〃/,0B=nr.

•••“子抛物线”的解析式为尸*X-,")2+病.

令x=0,y=-/n2,

，点的坐标（0,|病），oc=g/,

3

JBC=OC-OB=-m2.

2

在RI△45件，

32

cotZ.ACB==——=—m'

ABm2

（3）如图，过，点作血勿的延长线于点〃过点加乍谕的平行线分别交物的延长线于点£,

交制于点尸.

：.ZOAD=45°.

又•:0D1CA,

/.ADO=90°

：.ZAOD=ZOAD-45°,

:.AD=0D,

•/ZEAD+ZADE=90。,NODF+ZADE=90°,

...NEAD=NODF.

-ZDEA=ZDFO=90°,

,△/I反贬△研2,

：.AE=DF.DE=0F.

设力£=〃，那么DF=n,BE=m+n=0F=ED.

又・：OB=EF,

•**nr=m+2n.

又EF//OC,

・・・/BCA二NADE,

DEm+n3

cotZADE==­m

n2

nr=m+2n

解方程组〈m+n3，得叫=2,?«,=--(舍去)

----——mJ

n2

工卬的值为2.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的应用，子抛物线的定义，

掌握全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义是解题的关键.

9.(2020•上海九年级专题练习)如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两

点,与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)，过点D作DF，x轴于点F,交

直线BC于点E,连接BD、CD.设点D的横坐标为m,aBCD的面积为S.求S关于m的函数解析式及

自变量m的取值范围，并求出S的最大值；

(3)已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点

M的坐标.

(1,4)

【分析】(1)抛物线解析式为y=a(x+1)(x3)=a(x'NxT),将点C坐标代入即可求

解；

(2)先求出直线BC的解析式，设D(m,-m-+2m+3),E(m,-m+3),得到DE=(-m2+2m+3)

-(-m+3)=-m2+3m,再利用S,即可求解；

2

(3)分MC是斜边、MB是斜边两种情况，分别求解即可.

【详解】解：(1)抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x^),

将点C坐标代入，得

-3a=3,解得：a=T,

抛物线解析式为丫=-x2+2x+3；

(2)设直线BC的函数解析式为丫=1«+k

二直线BC过点B(3,0),C(0,3),

0=3)1+/?k=-T

,解得

3=bb=3

/.y=-x+3,

设D(m,-nr+2m+3),E(m,-m+3),

・・・DE=(-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m,

22V7222l2)8

...当m=：3时，S有最大值，最大值S=2?7；

2o

(3)抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=l

设点M(1,m),

22

则Mfi2=m2+4,MC=1+(m-3)%BC=18；

①当MC是斜边时，

1+(in-3)2=m'+4+18；

解得：m=-2；

②当MB是斜边时，

同理可得：m=4,

故点M的坐标为：(1,-2),(1,4).

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、面

积的计算等，其中(3),要注意分类求解，避免遗漏.

10.(2021•上海九年级专题练习)某企业接到了一批零件加工任务，要求在20天内完成，

这批零件的出厂价为每个6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人.6天的培训期内，新

工人小李第x天能加工80x个零件；培训后小李第x天加工的零件数量为(50X+200)个.

(1)小李第几天加工零件数量为650个？

(2)如图，设第x天每个零件的加工成本是p元，尸与x之间的关系可用图中的函数图象来

刻画.若小李第x天创造的利润为w元，求w与x的函数表达式，并求出第几天的利润最大,

最大利润是多少？(利润=出厂价一成本价)

【答案】（1）小李第9天加工零件数量为650个；（2）04x46时，w=64x；6<x412时,

w=40x+160；12<x<20ff,f,w=-5x?+80x+400；第12天的利润最大，最大利润是640兀.

【分析】（1）设小李第〃天加工零件数量为650个，根据题意列方程，解方程即可求得；

（2）先根据图象求得成本P与x之间的关系式，再根据利润等于出厂价减去成本价，整理即可

得到w与x之间的函数表达式；再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性分别求出w的最

大值，比较即可.

【详解】解：（1）设小李第〃天加工零件数量为650个,

由题意可知：50/7+200-650,解得"=9.

答：小李第9天加工零件数量为650个.

（2）由图象得，当04x412时，P=5.2；

当12<x420时，设P=h+6,

把点（12,5.2）,（20,6）代入得,

12k+匕=5.2k=0A

,解得

20Z+b=6b=4

所以P=0.1x+4.

①04x46时，w=(6-5.2)x80x=64x；

当x=6时，％大=384(元)；

②6<xV12时，w=(6-5.2)x(50x+200)=40x+160；

当x=12时,卬以火=640(元)；

③12<x420时，W=(6-0.1J:-4)X(50x+200)=-5x2+80A:+400=-5(x-8)2+720,

a=—5<0,x是整数，

...当X=13时，/大=599（元）

综上，当x=12时，w有最大值，最大值为640.

答：第12天的利润最大，最大利润是640元.

【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一次函数的应用，二次函数在实际生活中的应

用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读

懂题目信息，列出相关的函数关系式.

11.（2017•上海九年级期中）如图，在平面直角坐标系X。冲，已知抛物线〉=/+法+。的

对称轴是直线x=3,且抛物线与直线/竣于力、力两点，其中1（1,3）,B（6,加.

（1）求抛物线的表达式和点虎勺坐标；

（2）设抛物线与旌由交于点4在抛物线上是否存在一点也满足S配,“=2SMBC，若存在，请

求出点脱勺坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=x2-6x+S,B(6,8)；(2)存在，M(3+M，18)或1/(3-晒，18).

试题分析：(1)由对称轴为3,可求出6的值，把力的坐标代入，即可得到c的值，从而得到抛

物线的解析式；

(2)联结恕、BC,过掰乍垂足为点。，过力作侬L3C,垂足为点反

由5(6,8)、C(0,8),得到1%〃斓M由“BCM=2SMBC，得到ME=2A£)=10,从而得到”

的纵坐标为18或-2设"(x,18)或V(x,-2),把佣坐标代入抛物线解析式，即可求出x

的值，从而得到结论.

试题解析：解：(1)•.•抛物线y=/+6x+c的对称轴是：直线x=3,

b=-6.

又・・♦抛物线经过点力(1,3),

；・1—6+c=3,c=8.

二,抛物线表达式为：y=x2—6x+8.

又,：B(6,〃)在抛物线上，代入得

77=36—36+8.

〃=8.

：.B(6,8).

(2)存在.

联结力。、BC,过4作垂足为点〃，过M乍观工况；

垂足为点反

,:B(6,8)、C(0,8),

：.BC//x^A.

又,/2ABe与△加，侗底，Sga=2s4ABe，ADLBC,MELBC,

./.ME=2AD.

又（1,3）,

AD=5,

：.ME=10.

."峭纵坐标为18或-2.

解法一：设材（x,18）或材（必-2）

：J疫抛物线y=f—6x+8的图像上，

.•.令y=18,解得x=3土M，

令'=-2,方程无解，

点也的坐标是（3+炳，18）或（3-M，18）.

解法二：；抛物线y=x2-6x+8的顶点坐标为（3,-1）

刚纵坐标等于-2这种情况舍去.

.疮抛物线y=/-6x+8的图像上，

，代入y=18,解得x=3土M，

，点,麻J坐标是（3+M，18）或（3-J历，18）.

12.（2018•上海虹口区•九年级期末）如图，在平面直角坐标系x如中，抛物线与蚌由相交于

点4（-2,0）、B（4,0）,与碎由交于点C（0,-4）,比与抛物线的对称轴相交于点〃.

（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点曲）坐标；

（2）过点4作力EL4茂抛物线于点£,求点珊坐标；

（3）在（2）的条件下，点碓射线4区匕若/XADFs^ABC,求点尸的坐标.

(3)F岭3或尸(1亍4二12).

【详解】分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4）,将C（0,-4）代入求解即可；记抛

物线的对称轴与x轴交点坐标为F,先求得抛物线的对称轴，则可得到FB的长，然后再证明△

BFD为等腰直角三角形，从而可得到FD寸B=3,故此可得到点D的坐标；⑵过点E作EUAB,

垂为II.先证tan/EAH=tanNACO=T，设EH=t,则AH=2t,从而可得到E(-2+2t,t)，最后，将点E

的坐标代入抛物线的解析式求解即可；(3)记AE与抛物线的对称轴的交点为F,记对称轴与x

轴的交点为G.由相似三角形的性质可得到NADF=NABC=45°,然后再证明NADF=45°,然后

证明△AFGS/\AEH,最后，依据相似三角形的性质可求得FG的.

本题解析：解：设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4),C(0,-4)代入得：-8a=-4,

解：a='.•.抛物线的解析式为y=3x>x-4.

如下图所示：记抛物线的对称轴与x轴交点坐标为F.

:抛物线的对称轴为x=-?=l,.,.BF=OB-OF=3>VBO=OC=4(/B0C=90。，AZ

2a

0BC=45..•.△BFD为等腰直角三角形，，FD=FB=3,.,.D(l,-3)

(2)如下图：过点E作EH_LAB,垂为如

VZEAB+ZBAC=90°,ZBAC+ZAC0=90°,AZEAH=ZACO,AtanZEAH=tanZACO=

，设EH=t,则AH=2t,...点E的坐标为(-2+2t,t),将02+2t,t)代入抛物线的解析式

为：3(-2+2tM-(-2+2t)-4=t,解得：t=g或t=0(舍去)，

7

AE(5,-).

2

(3)如下图所示:

VAADF^AABC,二NADF=NABC=45°，由(2)知/BDF=45°,,点A与点B关于DF对

称，NADF=NABC,.•.点F在抛物线的对称轴上，VFG^EH,.,.AAFG^AAEH.二

FG3

笥=祭，即〒=7解得：FG=|,.・.F(1,1).

匕HAn2ZZ

13.(2021•上海)如图，在直角坐标系中，已知直线y=-gx+4与y轴交于A点，与x轴交于B点,

C点坐标为(-2,0).

(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式；

(2)如果M为抛物线的顶点,联结AM、BM,求四边形AOBM的面积.

13

【答案】(1)y=—xH—x+4(2)31

42

【详解】分析：(1)先利用一次函数解析式确定A(0,4),B(8,0),再设交点式

y=a(x+2)(x-8),然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；

(2)先利用配方法得到y=\(x-3)2+y,则M(3,9),作MD，x轴于D,如图，

然后根据梯形面积公式和三角形面积公式，利用四边形A0BM的面积=Sw+S"进行计

算即可.

详解：

(1)当x=0时，y=-1x+4=4,贝IJA(0,4),

当y=0时，x+4=0,解得x=8,则B(8,0),

设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8),

把A（。，4）代入得a・2・（-8）=4,解得x=1

...抛物线解析式为尸］（x+2）（x-8）,

1

(2)・「y=-丁(x-3)2+2一5，

44

25

・・・M(3,—),

4

作MD_Lx轴于D,如图，

四边形AOBM的面积二S梯形AODM+SMDM

二X(4+§)X3+1x5X^

2424

=31.

点睛：考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要

根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛

物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶

点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与X轴有两个交点时，可选择设

其解析式为交点式来求解.

14.（2018•上海奉贤•九年级二模）平面直角坐标系xOy（如图），抛物线y=-x2+2mx+3m-（m

>0）与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C,顶点为D,对称轴为直线1,过点C作直

线1的垂线，垂足为点E,联结DC、BC.

（1）当点C（0,3）时，

①求这条抛物线的表达式和顶点坐标：

②求证：ZDCE=ZBCE；

（2）当CB平分NDCO时，求m的值.

【答案】⑴y=-x2+2x+3；D(1,4)；(2)证明见解析；(3)m=3；

(分析］(1)①把C点坐标代入y=-x"+2mx+3m可求出m的值，从而得到抛物线解析式，

然后把一般式配成顶点式得到D点坐标；

②如图1,先解方程-x，2x+3=0得B(3,0),则可判断△OCB为等腰直角三角形得到/

0BC=45°,再证明aCDE为等腰直角三角形得到/DCE=45°,从而得到/DCE=/BCE；

(2)抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2,把一般式配成顶点式得

到抛物线的对称轴为直线x=m,顶点D的坐标为(m,4nr'),通过解方程-x，2mx+3m三0

得B(3m,0),同时确定C(0,3m2),再利用相似比表示出GF=2n『，则DG=2m'，接着证

明NDCG=NDGC得到DODG,所以n?+(4m?-3m?)Mm1,然后解方程可求出m.

【详解】

(1)①把C(0,3)代入广-x，2mx+3m2得3m2=3,解得m1=1,m2=-1(舍去)，

・•・抛物线解析式为y=-x?+2x+3；

y=—f+2x+3=—(x—l)~+4,

・・・顶点D为(1,4)；

②证明：如图1,当尸0时，-x2+2x+3=0,解得前二-1,X2=3,贝IJB(3,0),

V0C=0B,

•♦.△OCB为等腰直角三角形，

AZ0BC=45°,

・・七£_1直线杆1,

ZBCE=45°,

VDE=1,CE=1,

•••△CDE为等腰直角三角形，

AZDCE=45°,

AZDCE=ZBCE；

(2)解：抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2,

y=-x2+2inx+3w2=一(%一机)~+

・•・抛物线的对称轴为直线x二m,顶点D的坐标为(m,4m2),

2

当y=0时,-x+2mx+3m=0,解得Xi=-m,x2=3m,则B(3m,0),

当x=0时，y=-x2+2mx+3m2=3m2,则C(0,3m2),

VGF//0C,

.GFBFGF2m立力"〜八

'•元=而’n即n彳=藐'解得GF=2m;

.,.DG=4m2-2m2=2m2,

YCB平分NDCO,

/.ZDCB=ZOCB,

ZOCB=ZDGC,

AZDCG=ZDGC,

ADC=DG,

即m二+(4m2-3m2)J4m’,

【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数

的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活应用等腰直角三角形的

性质进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式.

15.（2018•上海宝山•九年级期末）如图，已知，二次函数、=/+"的图像交x轴正半轴

于点A,顶点为P,一次函数丁=（工-3的图像交x轴于点凡交y轴于点C,NOC4的正切值

为|.

（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；

（2）将二次函数图像向下平移用个单位，设平移后抛物线顶点为P,若兀的，=S'w，求，"的

值.

【答案】（1）二次函数解析式为y=x"-2x,顶点P的坐标是（1,一1）；（2）

O

【分析】（1）先根据题中所给条件求出A点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，将求

出的函数解析式化为顶点式，即可得到顶点P的坐标；（2）用含m的代数式表示出P'的坐标,

用含m的代数式表示S/XABP，和SZJKP,根据SA®=SABCP,求出m的值即可.

【详解】（1）..•一次函数解析式为y=gx—3,

，0C=3,

・・・tanN0CA=g=；,

OC3

・・・0A=2,

・・・A点坐标为（2,0）,将A点坐标代入函数解析式得4+2b=0,

解得b=-2,

•••二次函数解析式为y=x'—2x,

将二次函数解析式化为顶点式，得丫=（x-l）-1,

••・顶点P的坐标为（1,-1）.

（2）如图所示，其中1为抛物线的对称轴，D为1与x轴的交点，

当y=0时，yx—3=0.解得x=6,

r.B点坐标为（6,0）,

，AB=6—2=4,

在RtZXBOC中，BC=yloB2+OC2=存存=3百，

VP,是将二次函数图像向下平移用个单位后得到的抛物线的顶点，

...P'的坐标为(1,-1-m),...DP'=l+m

1

ASAABPXABXDP=7X4X(1+m)=2+2m,

当P'在直线y=gx-3的左侧时，

1119

SABCP*=SABOC—(S种例犷C+S「)--X6?[—+$+m=7—3m,

2222

•SAABP'=SABCP7,

9,1

.\2+2m=——3m,解得111=5,

当P'在直线y=gx—3的右侧时，

1〜1,19

SABCF-=(S^owC+SABDP)—S△眦=%?+加@初5?6?+m--=--+3m,

=

•SaABP'SABCEZ，

913

；・2+2m=--+m,解得m=万，

综上，m=g或

【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质、图像的平移、三角

形面积公式，解题的关键是：（1）求出二次函数解析式；（2）用含m的代数式表示S△所和S

△BCP.,

16.（2020•上海九年级专题练习）已知抛物线丫=乂^^+。经过点人（0,6）,点8（1,3）,直线

L:y=kx（kW0）,直线L:y=-x-2,直线L经过抛物线y=x、bx+c的顶点P,且L与L相交于点C,

直线k与x轴、y轴分别交于点D、E.若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线k上（此时

抛物线的顶点记为M）,再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线L上（此时抛物线的顶

点记为N）.

（1）求抛物y=x'+bx+c线的解析式.

（2）判断以点N为圆心，半径长为4的圆与直线L的位置关系，并说明理由.

（3）设点F、H在直线L上（点H在点F的下方），当△MHF与AOAB相似时，求点F、H的坐标（直

接写出结果）.

【答案】（1）y=V-4x+6；（2）以点N为圆心，半径长为4的圆与直线《相离；理由见解析:

⑶点H、尸的坐标分别为尸（8,8）、H（—10,—10）或尸（8,8）、4（3,3）或尸（-5,-5）、//（-10-10）.

【分析】（1）分别把A,B点坐标带入函数解析式可求得b,c即可得到二次函数解析式

（2）先求出顶点户的坐标，得到直线4解析式，再分别求得MN的坐标，再求L1NC比较其与4的

大小可得圆与直线4的位置关系.

（3）由题得出tanNBAO=g,分情况讨论求得F,H坐标.

6=c

【详解】（1）把点4（0,6）、8（1,3）代入卜=/+瓜+,得

3=l+b+c'

b=-4

解得,

c=6

：.抛物线的解析式为y=*2_4x+6.

（2）由丫=/一©+6得y=（x-2y+2,，顶点P的坐标为P（2,2）,

把尸（2,2）代入乙得2=2左解得&=1,.•.直线4解析式为丫=》，

设点M（2,m）,代入？得m=-4,.•.得M（2,-4）,

设点N（〃,T）,代入4得〃=Y,・•.得N（Y,-4）,

由于直线4与*轴、y轴分别交于点。、E

易得。(-2,0)、£(0.-2),

22

/.OC=+(-1-0)2=近，CE=>/(-1-0)+(-1+2)=应

OC=CE,*.•点c在直线y=x上，

NCOE=45。，

/.NOEC=45。，NOCE=180-45。-45。=9。即NC_L乙，

•/NC=卜1+4)。(7+4)2=3垃>4,

：.以点N为圆心，半径长为4的圆与直线4相离.

(3)点H、尸的坐标分别为尸(8,8)、”(TO,—10)或尸(8,8)、”(3,3)或尸(—5,-5)、//(-10,-10).

C(-l,-l)IA(0)6),B(l,3)

可得tanNBAO二g,

CMi「

情况1：tan/CFM=•e-CF尸90,

"13

MF尸6石，.・・HE=5亚，，F.(8,8),H.(3,3);

情况2：Fz(-5,-5),%(-10,-10)(与情况1关于Lz对称于

情况3：F3(8,8),H3(-10,-10)(此时F3与FI重合,乩与乩重合).

【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数综合题.

17.(2019•上海徐汇区•中考模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=-：/+法+。

与直线y=；x-3分别交于x轴、y轴上的反c两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为点A,

顶点为点D,联结CZ)交X轴于点E.

(1)求该抛物线的表达式及点D的坐标；

(2)求NOCB的正切值；

(3)如果点尸在了轴上，且NFBC=NDBA+NDCB,求点尸的坐标.

【答案】(1)y=-；x%2x-3,。(4,1)；(2)(3)①尸(0,2)：②玛(0,-18)

【分析】(1)y=：x-3,令y=0,则x=6,令x=0,贝Uy=-3,求则点B、C的坐标，将点B、C坐

标代入抛物线y=-4(+bx+c,即可求解；

(3)分点F在y轴负半轴和在y轴正半轴两种情况，分别求解即可.

【详解】(1)y=-x-3,令y=0,则x=6,令x=0,贝！］y=-3,

则点B、C的坐标分别为(6,0)、(0,-3)-3,

将点B坐标代入抛物线丫=-!x2+bx-3得：0=-!X36-6b-3,

44

解得：b=2,

故抛物线的表达式为：y=-；x?+2x-3,

4

令y=0,则x=6或-2,

即点A(2,0),

y=--xJ+2x-3z：-—(x-4)2+1

44

则点D(4,1)；

(2)过点E作EHJ_BC交于点H,

\

C、D的坐标分别为：(0,-3)、(4,1),

直线CD的表达式为:y=x-3,则点E(3,0),

八2OC31

tanZ0BC-——=7=—，

OB62

则sin/OBC=H，

贝IJEH=EB・sinN0BC=R

CE=3啦，贝IJCH=H，

FH1

则tanNDCB=Ry=g；

Co3

(3)点A、B、C、D、E的坐标分别为(2,0)、(6,0)、(0,-3)、(4,1)、(3,0),

贝i」BC=3逐，

V0E=0C,

AZAEC=45°，

tanZDBE=

6-42

故：ZDBE=Z0BC,

则NFBONDBA+NDCB=NAEO45。，

①当点F在y轴负半轴时，

过点F作FG_LBG交BC的延长线与点G,

则/GFC=NOBC=a,

设：GF=2m,则CG=CGtan。=m,

VZCBF=45°,

ABG=GF,

即：36+m二2nb解得：m-3逐,

CF=7GF2+CG2=V5m=15,

故点F(0,-18)；

②当点F在y轴正半轴时，

同理可得：点F(0,2)；

故：点F坐标为(0,2)或(0,-18).

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其

中(3),确定NFBC=/DBA+NDCB=NAEC=45°,是本题的突破口.

18.(2017•上海徐汇•九年级二模)如图，已知抛物线y=af+4(aWO)与游由交于点/和点

B(2,0),与封山交于点C,点〃是抛物线在第一象限的点.

(1)当劭的面积为4时，

①求点〃的坐标；

②联结如，点,力是抛物线上的点，旦ZMDO=NBOD,求点,物的坐标;

(2)直线加、4〃分别与苗由交于点£F,那么循例的值是否变化，请说明理由.

【答案】⑴①。(夜,2)；②〃(-也2)；(2)不变化，值为8,理由见解析

【分析】(1)先将已知点B坐标代入解析式求出a,再根据aABD的面积，求出D的纵坐标，将

其代入抛物线求出D点坐标，根据/MDO=/BOD分两种情况讨论，并求出M坐标

(2)设出点D的坐标，利用平行线分线段成比例定理表示出OE、OF求和即可得出结论

【详解】(1)I•抛物线丫=2乂2+4(a#0)与x轴交于点A和点B(2,0),

AA(-2,0),4a+4=0,

Aa=-1,AB=4,

抛物线的解析式为y=-x2+4,

①设D(m,-m"+4),

Z\ABD的面积为4,

4=4(w2+4)

m=+5/2,

•.•点D在第一象限，

力(夜,2),

②如图I,点M在0D上方时，

,/NMD0=ZBOD,；.DM〃AB,

M（-72,2）,当M在OD下方时,

设DM交x轴于G,设G（n,0）,

.\0G=n,

・・・。（立2）,

/.DG=J（〃-&j+4,

VZMDO=ZBOD,

.\OG=DG,

**•-a)+4=n,

・・・”逑，

2

；•G翳'噂,

•；力(&,2),

直线DG的解析式为y=-2&x+6①，

•..抛物线的解析式为y=-x?+4②，

联立①②得，x=近,y=2,此时交点刚好是D点,

所以在0D下方不存在点.M.

(2)OE+OF的值不发生变化,

理由：如图2,过点D作DH_LAB于H,

...OF〃DH,

.OF_OA

*-DH-AH'

设D(b,-b2+4),

；.AH=b+2,DH=-b2+4,

V0A=2,

.OF_2

,2(-从+4)

­•DF=-------------=2(2-b)，

b+2

同理：0E=2(2+b),

AOE+OF=2(2-b)+2(2+b)=8.

【点睛】本题(1)的关键是求出抛物线解析式，难点是分情况求出点M的坐标，(2)的关键

是做出辅助线

19.(2018•上海金山•)平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线+云+c经过点

A(1,O)和3(3,0),与屏由相交于点c,顶点为a

(1)求这条抛物线的表达式和顶点/的坐标；

(2)点£在抛物线的对称轴上，且E4=EC,求点解I坐标；

(3)在(2)的条件下，记抛物线的对称轴为直线膨V,点临直线腑,右侧的抛物线上，

NMEQ^NNEB,求点施勺坐标.

【答案】(1)y=l-4x+3,顶点邢J坐标为(2,-1)；(2)£点坐标为(2,2)；(3)。点的坐标

为6,8).

【分析】(1)利用交点式写出抛物线解析式，把一般式配成顶点式得到顶点P的坐标；

(2)设E(2,D,根据两点间的距离公式,利用E4=EC得到(2-据+产=22+6-3)2,然后解方

程求出t即可得到E点坐标；

(3)直线厂立交x轴于尸，作MH1直线-2于H,如图，利用tanANEB=1得到g,

设a〃2，m2一4m+3),则"七=疗-4〃?+1,QH=in-2,再在RMQ”石中利用正切的定义得到

tanN"EQ=g-1，即病一4帆+1=2(疗2),然后解方程求出m即可得到Q点坐标.

HE2

【详解】解：(1)抛物线解析式为尸(尸1)(£3),

即y=x2-4x+3,

y=(x-2)2-l,

顶点P的坐标为(2,-1)；

(2)抛物线的对称轴为直线

设E(2,t),

•••EA=EC,

二(2-1>+产=2?+53>,解得f=2,

；.E点坐标为(2,2)；

(3)直线后交x轴于F,作MNJ_直线x=2于H,如图，

1.•ZMEQ=ZNEB,

BF1

而tan/NE3=—=-,

EF2

/.tanZ.MEQ=；,

设QCm,m2-4m+3）,则HE=m2-^m+3-2=TW2-4/T?+1,QH=tn-2,

在RfaQHE中,tanZHEQ=^=-,

HE2

m2-4m+l—2C/n-2），

整理得nr-6m+5=0,解得叫=1（舍去），吗=5,

，Q点的坐标为6,8）.

【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数

的性质和锐角三角函数的定义；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记

住两点间的距离公式.

20.(2019•上海市天山初级中学九年级期中)已知一次函数＞=丘+2的图像经过点r1,|),

与X轴相交于点A,与y轴相交于点8,二次函数了="2+加(。＞0)的图像经过点A和点P,

顶点为"，对称轴与一次函数的图像相交于点N.

(1)求一次函数的解析式以及A点，B点的坐标；

(2)求顶点M的坐标；

(3)在丁轴上求一点Q,使得APMW和A/WQ相似.

【答案】（1）y=：x+2,4（Y,0）,8（0,2）；（2）”（-2,-2）；（3）2（0,1）

【分析】（1）将P点坐标代入一次函数解析式求出k,得到次函数解析式，再求交点坐标；

（2）把A、P代入二次函数求出a,b的值，得到二次函数解析式，再配成顶点式得到顶点坐标;

（3）因为相似三角形对应角不明确，所以分两种情况讨论①=②

ZPBQ=ZPMN.

【详解】（1）把夕［1，外，代入一次函数得：k+24k=；,所以y=；x+2,当

y=0,x=-4,A（-4,0）,x=0,y=2,B（0,2）.

（2）把A（<0）和代入二次函数得

16«-4Z?=0

<；5,

a+b=一

［2

解得］=5,

b=2

所以加（-2,-2）.

（3）由题得:N（-2,l）；设。（0,y）.

因为MN〃），轴，NP=NP

设丫=米+以将2（1尚）加（一2,-2）代入得y=|x+l,

①若NPBQ=NPNM

所以MN〃BQ,Q点为PM与y轴的交点，所以。（0,1）

②若NPBQ=NPMN

因为Q点在y轴上，所以BQ始终平行于MN,不存在NP3Q=NPMV这种情况，舍去.综上Q点坐

标为（0,1）

【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，抛物线中的相似二角形，难

度不大，掌握基本知识即可解决.

21.（2018•上海民办兰生复旦中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一条

抛物线、=加¥--（,">1）,和x轴交于。和A两点.直线《：y=x,4：y=-x分别和抛物线交于

除了原点以外的8和C两点.已知：A04B和AOAC相似.

(1)试求抛物线的解析式.

(2)在x轴上是否存在点P,使得AO8P和AABC相似.如果存在，请直接写出点P的坐标;

如果不存在，请证明你的结论.

【答案】