高中数学必修一教案

第一章集合与函数概念

1.1集合

1.1.1集合的含义与表示

课标三维定向

K知识与技能11、了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。

2、掌握集合中元素的特性。

3、能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的

具体问题，感受集合语言的意义和作用。

K过程与方法》通过实例，从集合中的元素入手，正确表示集合，结合集

合中元素的特性，学会观察、比较、抽象、概括的思维方法，领悟分类讨论的

数学思想。

K情感、态度、价值观》在运用集合语言解决问题的过程中，逐步养成实

事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学思维方法解决问题。

教学重、难点

K重点》集合的含义与表示方法。

K难点X集合表示方法的恰当选择及应用。

教学过程设计

一、阅读课本：P2—6（10分钟）（学生课前预习）

二、核心内容整合

1、为什么要学习集合——现代数学的基础（数学分支）

2、集合的含义：把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

3、集合的特性

（1）确定性。问题：“高个子”能不能构成集合？我国的小河流呢？

K知识链接》模糊数学(”模糊数学简介”、“浅谈模糊数学”)

(2)互异性：集合中的元素不重复出现。如｛1,1,2｝不能构成集合

(3)无序性——相等集合，如｛1,2｝二｛2,1｝

4、元素与集合之间的“属于”关系：a^A,a^A

5、一些常用数集的记法：N(府,〃)，Z,0,R。如：〃表示什么？

6、集合的表示法：

(1)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号”｛｝“括起来。

例1、用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,

9｝

(2)方程的所有实数根组成的集合；(0,1)

(3)由1~20以内的所有质数组成的集合。(难点：质数的概念)

(2,3,5,7,11,13,17,19)

(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示。｛x|xeP｝

例2、试分别用列举法和描述法表示下列集合：

(1)方程2=0的所有实数根组成的集合；

列举法：｛近，-近);描述法：｛x\x2-2=0｝o

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。

列举法：｛11,12,13,14,15,16,17,18,19｝;描述法：｛x[10<x<20,xeZ｝。

K知识链接】代表元素：^｛x\y=x2｝(自变量的取值范围)，｛y\y=x2｝(函

数值的取值范围)，｛(x,y)|y=/｝(平面上在抛物线上的点)各代表的意义。

三、迁移应用

1、已知4G｛1,/,(._1)2｝,求实数a的值。

2、已知M={x|a/一2%+1=0}是单元素集合，求实数a的值。

思路探求：（1）对a讨论；（2）方程仅一根=A=0。

四、学习水平反馈：P6,练习；P13,习题11,A组，1、2o

五、三维体系构建

［集合的含义!元素与集合的关系

集合的含义与表胃［元素的特征.•确定性、互异性、无序性

集合的表示：列举法、描述法

六、课后作业：P13,习题11,A组，3、4o

补充：已知A={a+2,（a+l）2,a2+3a+3},若IGA,求实数a的值。

七、教学反思：

1.1.2集合间的基本关系

课标三维定向

K知识与技能11、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子

集。

2、在具体情景中，了解空集的含义。

K过程与方法》从类比两个实数之间的关系入手，联想两个集合之间的关

系，从中学会观察、类比、概括和思维方法。

K情感、态度、价值观》通过直观感知、类比联想和抽象概括，让学生体

会数学上的规定要讲逻辑顺序，培养学生有条理地思考的习惯和积极探索创新

的意识。

教学重、难点

K重点X理解子集、真子集、集合相等等。

K难点1]子集、空集、集合间的关系及应用。

教学过程设计

一、问题情境设疑——类比引入

问题：实数有相等关系、大小关系，可否拓展到集合之间的关系？

引例：观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？

(1)A={],2,3},B={1,2,3,4,5}；

(2)设彳为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合，8为这个班全体学

生组成的集合；

(3)设C={x|x是两条边相等的三角形},D=[x\x是等腰三角形}。

二、核心内容整合

1、子集的概念

集合/中任意一个元素都是集合8的元素，记作AqB或3卫A。图示如下

符号语言：任意xeA,都有xeB。

2、集合相等rU)

类比：实数：a>b^-a<b=>a=b

集合：4工3且8%=4=3

3、真子集的概念

集合AqB,但存在元素xeB,且x史A,记作AUJS或6z>A。(A*8)

说明：从自然语言、符号语言、图形语言三个方面加以描述。

4、空集的概念:

不含任何元素的集合，记作0

规定：空集是任何集合的子集：0qA

K知识链接]比较计算机“我的文档”的“文件夹”与子集的关系。如何

体现“集合相等”？

5、包含关系⑷工A与属于关系aeA有什么区别？

如0,{0},。。注意区分元素与集合，集合与集合之间的符号表示。

6、集合的性质

(1)反身性：AcA,0cA

(2)传递性：

课堂练习：判断集合彳是否为集合8的子集，若是打“J”，若不是打“X”。

(1)4=[1,3,5},B={y,2,3,4,5,6}(V)

(2)力二{1,3,5},B={1,3,6,9}(X)

(3)力={0},B={x|x2+l=0}(X)

(4)A-{a,b,c,d\,B-{d,b,c,a](J)

三、例题分析示例

例1、写出集合{a,6}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

0,la],{6},(a,t>\o

K探究拓展]练习：P8,练习1。

探究：集合4中有77个元素，请总结出它的子集、真子集的个数与〃的关

子集的个数：2〃，真子集的个数：2"-1。与杨辉三角形比较。

例2、设A={x,%2,肛},_g={l,x,y},且4=8,求实数x,的值。

例3、^'A={x|—3<x<4},B={x|2/77—1<x<m+\],当B=A时，求实数加的取

值范围。

四、学习水平反馈：P8,练习2,3;P14,1,20

五、三维体系构建

集合间的基本关系：子集，集合相等，真子集，空集。

六、课后作业

1、已知a,xCR,集合/-{2,4,x2-5x+9},夕={3,x2+ax

+a},

(1)若4={2,3,4},求x的值；

(2)若2e8,BuA,求a,x的值。

2、已知彳={x|x<-1或x>2},B=[x\4x+p<0},且

求实数0的取值范围。

七、教学反思:

1.1.3集合的基本运算

课标三维定向

R知识与技能》

1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

3、能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念

的作用。

K过程与方法1通过类比实数的运算，得到集合间的运算：并、交、补，

在正确理解并集、交集、补集概念的基础上学会求集合的并集、交集、补集的

方法，并体会数形结合思想的应用。

K情感、态度、价值观】在学习集合运算的过程中，培养类比的思想及由

特殊到一般的认知规律，同时在利用数轴和Venn图解题的过程中，学会用数形

结合思想解决数学问题。

教学重、难点

K重点》并集、交集、补集的概念及集合的运算。

K难点》补集的意义及集合的应用，符号之间的区别与联系。

教学过程设计

第一课时并集与交集

一、问题情境设疑

类比：实数有加法运算，集合是否也可以“相加”呢？

二、核心内容整合

1、并集

引例：考察下列各个集合，你能说出集合C与集合48之间的关系吗？

(1)4={1,3,5},8={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};

(2)A=[x\x是有理数},B={x\x是无理数},C=[x\x是实数}。

定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的多缸J已作AUBO

A\J8-{x|x£A或图示如右。)

性质：(1)AUA=A-,(2)AU0=A。

例1、设力二{4,5,6,8},B={3,5,7,8},求4U8。

AUB={3,4,5,6,7,8)

例2、设集合力={x|-1<x<2},集合B=[x\1<x<3},求4

AU8={x[T<x<3},强调用数轴表示从而写出答案。

2、交集

引例：考察下面的问题，集合48与集合C之间有什么关系？

(1)力二{2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};

(2)A=[x\x是新华中学2004年9月在校的女同学},B={x\x是

新华中学2004年9月在校的高一年级同学},C={x\x是新华中学2004年9

月在校的高一年级女同学}。

定义：由所有属于集合彳且属于集合8的元素组成的集合，记作408。

AHB={x|X£4且*£@,图示如右。

性质：⑴/4A/I-A-,(2)AA0=0o)

例3、新华中学开运动会，设力={x|x是新华中学高一年级参

加百米赛跑的同学},B={x\x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},

求力

A^B=[x]x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}

例4、设平面内直线，上的点的集合为直线。上点的集合为L2,试用

集合的运算表示/八。的位置关系。

例5、已知4={2,-1,尤2-x+l},B={2y,-4,x+4},C={-1,7},且AD8=C,求x,p

的值及AUB。

例6、已知集合A={x|-24x<4},3={x|x>a},

(1)若ADB。。，求实数a的取值范围；

(2)若ADBHA,求实数a的取值范围。

例7、设4={x|x2+4x=0},B={x\x2+2(a+1)x+a2-1=0},

(1)若彳U8=A,求实数a的值；

(2)若AD3=A,求实数a的值。

三、学习水平反馈——P12,练习1,2,30

四、三维体系构建

五、课后作业——P13,习题11,A组6,7,8；B组，2,30

六、教学反思：

第二课时全集与补集

一■、核心内容整合

1、全集的概念：含有我们所研究问题中涉及的所有元素，记作以

如。、/?（把给定的集合叫做全集）

2、补集：由全集〃中不属于集合1的所有元素组中的集合，耳作C4

CuA=[x\且xeA}（图示如右）

[[知识拓展』差集:A-B=[x\且工e8}3~

二、例题分析示例

例1、设〃={x|x是小于9的正整数},力二{1,2,3},B={3,4,5,

6},求CuA,CuBo

例2、设全集〃={x|x是三角形},A=[x\x是锐角三角形},B={x

Ix是钝角三角形},求an民G（AUB）。

三、知识迁移应用

1、已知集合4={*|7<%<1},5={%|》<-3},<AAB,（CJ?A）n（CRB）o

2、设全集U={2,4,〃一。一1},4={4+1,2},"={7},求实数a的值。

四、学习水平反馈：P12,练习4。

五、三给体系构建

基本运

定义图示性质

算

AUB={x|x£A或(1)AUA=A；

并集(

AUA

(2)AU0=A。

AHB=[x|x£A且((1)AHA=A；

交集30

(2)AQ0=0o

CuA=[x\〃且

补集;o

x^A}

六、课后作业：P14,习题11,A组9,10;B组4。

设全集U={2,3,Y+2X-3},A={|2X-1|,2},Q,A={5},求实数X的值。

七、教学反思：

集合习题课

教学要求：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些

简单的问题，掌握集合的有关术语和符号。

教学重点：交集、并集、补集的运算。

教学难点：集合知识的综合。

教学过程：

一、复习准备：

1、提问：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？

2、交、并、补有何综合性质？

3、集合问题的解答方法：Venn图示法、数轴分析法。

二、讲授新课:

例1:全集〃={x|x<10,xE/Vj,A^U,

B「U,(CuB)HA={1,9},ACiB={3},

n(g,㈤=(4,6,7},求4Bo

学生分析方法T填写图中各块的元素T

小结：列举法表示的数集问题用Venn图示法、

观察法。

解：因为(加3)04={1,9},所以1、

因为(GA)n(CuB)={4,6,7}

所以G/={1,4,6,7,9},从而8二{2,3,5,8};

又(C*)nA={1,9},408={3},所以4-{1,3,9}o

例2:已知A=[x\-2<x<-1或x>1},A\^B=[x\x+2>0},

A^\B={x|1<x33},求集合

AU3

解法：数轴上表示各>集合

-2-1

后，分析得出结果。

分析：因为

AnB={x|l<x<3},

所以{x|1<xW3}13,

因为AUB={x|x>—2},{x|-l<x<l}AA=0,

所以=所以8={x|-l〈xWl}U{x|l<x<3}={x|—14x43}。

例3:满足关系［1,2}勺念{1,2,3,4,5}的集合/共有个。

分析：满足条件的集合A可列举如下：

{1,2},{1,2,3},{1,2,4},(1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,

5｝,

｛1,2,3,4,5｝共8个。

观察以上的集合，都含有元素1、2,若把1、2去掉，则剩下的集合恰为集

合

(3,4,5｝的子集，也是8个，因此，解题时，可把公共的元素删去，求剩下的

集合的子集即可。

的集合为A,参加铅球测验及枚的同学组成的集合为B,则两项都及格的同学组

成集合AD8,两项都不及格的同学组成集合(CuA)n(G*),其中U表示全班同学

组成的集合。

设两项都及格的同学为x人，则有40+31-x+4=50,解得x=25。

说明：本题解出后，应代入验证：50名同学中，只有跳远及格人数为15人,

只有铅球及格人数为6人，4+15+25+6=50,符号题意。

思考题1:设S为集合｛1,2,3,…，100｝的具有下列性质的子集：S中任

意两个不同元素之和不被7整除，那么S中元素最多可能有多少个？

分析：对于两个不同的自然数与a,6如果要求(a+6)不被7整除，就

是要求它们的和被7除所得的余数不为0。我们把集合｛1,2,3,…，100｝按照

其中元素被7除所得的余数相同与否进行归类，余数相同的组成一个集合，这

样得到7个子集，然后从这7个子集中适当抽取满足题意的元素组成集合So

思考题2:设〃=[1,2,3,…，1995},4是"的子集且满足条件：

当xeA时，15x定A,则力中元素的个数最多是□

教学反思：

1.2函数及其表示

1.2.1函数的概念

第一课时函数的概念

三维目标定向

K知识与技能》理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，了解

构成函数的三要素。

K过程与方法11、通过丰富实例，建立函数概念的背景，体会函数是描述

变量之间的依赖关系的重要数学模型。

2、体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

K情感、态度、价值观》通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培

养学生的抽象思维能力。

教学重、难点

K重点U体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解

函数的概念。

K难点X函数概念及符号的理解。

教学过程设计

一、知识回顾

1、初中学习的函数概念是什么？

设在一个变化过程中有两个变量x与匕如果对于x的每一个值，V都有惟

一的值与它对应，则称x是自变量，V是x的函数；其中自变量x的取值的集合

叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的v的值叫做函数的值域。

2、思考：（1）y=1是函数吗？

2

（2）y=x与y=±-是同一个函数吗？

x

显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。因此，需要从新的高度认

识函数。

二、问题情境设疑

引例1、（炮弹发射）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标。炮弹

的射高为845m,且炮弹距地面的高度〃（单位：加随时间t（单位：s）变化的

规律是:3=130”5产（*）0

炮弹飞行时间右的变化范围是数集4={1|0WtW26},炮弹距地面的

高度〃的变化范围是数集8二{力|0W〃W845}o

从问题的实际意义可知，对于数集彳中的任意一个时间乙按照对应关系（*）,

在数集8中都有惟一的高度力和它对应。

引例2、（南极臭氧空洞）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出

现了臭氧层空洞问题，如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~

2001年的变化情况：

根据可图中的曲线可知，时间亡的

围是数集/={t|1979W亡W2001},

空洞面积S的变化范围是数集8={S|0

W26｝。并且，对于数集力中的每一个时刻七，按照图中的曲线，在数集8中都

有惟一确定的臭氧层空洞面积S和它对应。

引例3、（恩格尔系数变化表）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生

活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表中恩格尔系数随时间（年）

变化的情况表明，“八五计划”以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。

表1-1“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况

时间（年）1991199219931994199S19961997199819992000200]

城镇居民家庭

恩格尔系数53.852.95&149.949.948.64&4+1.54L939.237.9

8%）

请仿照（1）、（2）描述恩格尔系数和时间（年）的关系。

问题：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点？

不同点：

实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图象刻画

变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系；

共同点：

（1）都有两个非空数集；（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系。

三、核心内容整合

1、函数的概念

归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中变量之间的关系可以描述为：

对于数集彳中的每一个x,按照某种对应关系f,在数集8中都有惟一确定

的v和它对应，记作f:4TB。

定义：设4夕是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合

A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数“X）和它对应，那么就称

/:A->8为从集合>4到集合8的一■个函数，记作：y-/（%）,xeAo

2、函数的三要素

(1)定义域4自变量x的取值范围。

(2)对应法则f——变化规律；

(3)值域｛/(x)|xeA｝:函数值V的集合。

如：(1)一次函数/(x)=ox+Z?(a。0),定义域为R,值域为R;

(2)正比例函数/(x)=立k#0),定义域为凡值域为/?;

(3)反比例函数/(x)=4(ZwO),定义域为｛x|x#0｝,值域为｛y|yw0｝;

X

(4)二次函数/(x)=++/zx+c(〃w0)定义域为R,

a>0时，值域为｛)，|y2驯卫｝；a<0时，值域为｛>及《竺匕贵｝。

4a4a

说明：①定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是一个整体；

②值域由定义域、对应法则惟一确定；

③函数符号V=F(x)表示“V是X的函数”而不是表示“V等于尸与X的

乘积”。

练习1：判断正误

1、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应()

2、函数的定义域和值域一定是无限集合()

3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定()

4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素()

5、对于不同的x,y的值也不同()

6、f(a)表示当x-a时，函数f(x)的值，是一个常量()

归纳：如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？

①定义域和对应法则是否给出？

②根据所给对应法则，自变量X在其定义域中的每一个值，是否都有惟一

确定的一个函数值V和它对应。

练习2:判断下列对应能否表示v是x的函数：

222222

(1)y=|x|；(2)|y|=x;(3)y=x;(4)y=x(5)y+x=1;(6)y-x=1o

四、例题分析示例

例1、已知函数/(X)=y[x+3+—L,

x+2

(1)求函数的定义域；

⑵求/(-3),/($的值；

(3)当a>0时，求/(a)的值。

注意：①研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何

函数的前提②函数的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式时，定义

域就是使这个式子有意义的实数x的集合。

结论：(1)如果y=/(x)是整式，则定义域是实数集R;(2)如果y=/(x)是

分式，则定义域是使分母不等于。的实数的集合；(3)如果y=/(x)是二次根式,

则定义域是使根号内的式子大于或等于。的实数的集合；(4)如果y=/(x)是由

几个部分的式子构成，则定义域是使各部分都有意义的实数的集合(即各集合

的交集)；(5)如果是实际问题，则定义域是使实际问题有意义的实数的集合。

练习4:P19练习1、2O

四、三维体系构建

1、函数的概念：2、函数的三要素：定义域、值域、对应法则。

3、会求简单函数的定义域和函数值。

五、课后作业：P24,习题1.2,A组，1,3,4o

教学反思：

第二课时函数的定义域与值域

三维目标构建

K知识与技能》1、掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域,

并会求一些简单函数的定义域和值域。

2、了解区间的意义，并进行区间、不等式与数轴表示的相互转化。

K过程与方法U进一步体会集合与对应关系在刻画函数概念中的作用，明

确函数定义域在三要素中的地位与作用。

K情感、态度、价值观》培养学生分析、解决问题的能力，养成良好的学

习习惯。

教学重、难点

K重点H熟练掌握一次、二次函数与反比例函数的定义域和值域。

K难点』含字母参数与抽象函数的定义域的求解。

教学过程设计

一、复习引入

1、函数的概念：设48是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，

使对于集合力中的任意一个数x,在集合8中都有唯一确定的数/(x)和它对应,

那么就称了:4->3为从集合力到集合8的一个函数，记作：y=/(x),xe4。

练习1：已知/。)=/+1,求/(—1)J⑴,/1(a—l)J(2x+l)。

2、函数的三要素：定义域、对应法则、值域。

二、核心内容整合

1、区间的概念：

设a,6是两个实数，而且a<6,我们规定：

(1)满足不等式aWxW6的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,6］;

(2)满足不等式a<x<6的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b);

(3)满足不等式aSx〈b或a〈xS6的实数x的集合叫做半开半闭

区间，表示为［a,6)或(a,b\。

实数集/?可以用区间表示为(-8,+8),“8”读作“无穷大”。满足a,

x>a,xWb,x<。的实数的集合分别表示为［a,+8)、(a,+8)、(-8,

b］、(~°°,t))o

注意：①区间是一种表示连续性的数集；②定义域、值域经常用区间表

示；③用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端

点。

定义名称符号效轴衣示,-I

闭区间[«♦b]ab

<x|a<Cr<6)开区间(a.6)Hb

(arlaWrVb)半开半闭区间[a.b)gb

(jr|a<x^6)半开半闭区间(a*blg

练习2、试用区间表示下列实数集:

(1){x|5Wx<6}；(2){x|x29};

(3){x|xW-1}Cl{x|-5Wx<2}；(4){x\x<-9}U[x

|9<x<20}o

2、典型例题分析：

例2、下列函数中哪个与函数v=x相等？

2

(1)y=(Vx)2;(2)y=y[x^;(3)y=4x^;(4)y=—

x0

K知识提炼X两个函数相等当且仅当定义域与对应法则都相等。

练习3:P19练习30

例3、已知/(x+l)=f-3x+2。

(1)求/⑵和f(a)的值;

(2)求/(幻和/*-1)的值。

分析：比较/⑵与/(x+1),知当X=1时，得/(2)=F—3xl+2=l。

类彳以地，令x+l=a,则x=a—1,所以/(a)=(a—I)?—33—1)+2=/-5。+6。

用x替换a,得f(x)=x2-5x+6o

练习4:(1)已知/(2》+1)=/一x+i,求/(x)；

学生求解。

(2)已知f(XH-)=%2H--,求f(X)o

XX

分析：令r=x+L所以丁-a+1=0,此时要用X表示乙式子非常复杂，考

X

虑原式中右边的特点，可知把《平方即可：『=(x+_L)2=/+2+J7nf+二=r_2,

XXX

所以/⑺=/_2,得/(幻=/_2。

例4、(1)已知/*)的定义域为[1,4],求/(x+2)的定义域。

分析：令t=x+2,因为/⑺的定义域为[1。4],所以

1</<4=>1<X+2<4=>-1<X<2,所以的定义域为［-1,2］。

(2)已知/(4T1)的定义域为[0,3],求/⑴的定义域。

分析：令t=,因为0WxW3,所以1WY2,所以/⑺的定义域为[1,2],

从而f(x)的定义域的定义域为[1,2]o

三、归纳小结：

1、区间的概念：能进行区间、不等式与数轴表示的相互转化。

2、判断两个函数相等：两个函数相等当且仅当定义域与对应法则都相等。

3、求函数的解析式：换元法或整体代入(配凑法)。

4、已知了⑶的定义域，求复合函数人以刈的定义域。

四、布置作业：

课本P24,习题1.2,A组第2、3题。

补充：已知/(%)=；,

1+x

(1)求/(x)+/d)的值；

X

(2)求〃1)+/(2)+…+/(7)+f(l)+/g)+…+/§)的值。

教学反思

1.2.2函数的表示法

第一课时函数的表示法

三维目标构建

K知识与技能》理解并掌握函数的三种表示方法，并能进行简单应用。

K过程与方法1通过现实生活中丰富实例的探究过程，感受不同方法在具

体问题中的应用，渗透数形结合思想方法。

K情感、态度与价值观X提高利用函数观点分析和解决问题的能力，通过

数学活动，体验数学的应用意识，体会数学的价值。

重、难点

K重点X函数的三种表示方法。

K难点》利用列表、图象认识函数的意义，以及根据条件，利用恰当方法

表示函数及相互转化。

教学过程设计

一、核心内容整合

函数的表示法：

(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如实例1(炮

弹发射)。

(2)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系，如实例2(南极臭氧

空洞)。

(3)列表法：列出表格表示两个变量之间的对应关系，如实例3(恩格尔

系数)。

二、例题分析示例

例1、某种笔记本的单价是5元，买x(x£{1,2,3,4,5})个笔,

记本需要卜元，试用函数的三种表示方法表示函数y=/(x)。

分析：解析法：y=5x,xe{1,2,3,4,5};

三种表示方法的特点：

解析法的特点：简明、全面地概括了变量间的关系；可以通过用解析式求

出任意一个自变量所对应的函数值。

列表法的特点：不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

图像法的特点：直观形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究

函数的某些性质。

三种表示方法举例：

解析法：y="（女。O）,〃=gg产；

列表法：国内生产总值（单位：亿元）

年份1990199119921993

生产总

18598.421662.526651.934560.5

值

图象法：我国人口出生变化率曲线:

我国人口出生率变化Sia

例2、下表是某校高一(1)班的三名同学在高一学年度六次数学测试的成

绩及班级平均分数,

表1-2

第一次第二次第三次第四次第五次第六次|

王伟988791928895

张城907688758680

赵晶686573727582

班级平均分88,278.385.480.375.782.6

设测试序号为X,成绩为Y,

(1)每位同学的成绩Y与测试序号X之间的函数关系能用解析法表示吗？

(2)若要对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析，选用那

种方法比较恰当？

例3、北京市昌平区政府预想在2008年九龙游乐园建造一个直径为20m的

圆形喷水池，如图所示，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，

使喷出的水柱在离池中心4m处达到最高，高度为6m。另外还要在喷水池的中心

设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合。这个装饰物的高度应当如

何设计？

解：过水池的中心任意选取一个截面，如图所示。由物理学知识可知，喷

出的水柱轨迹是抛物线型。建立如图所示的直角坐标系，由已知条件易知，水

柱上任意一个点距中心的水平距离x(m)与此点的高度v(勿)之间的函数关系

«1(%+4)2+6(-1<%<0)

2

a2(x-4)+6(0<x<10)

图2-5

由x=-10,y-0,得4=一1；由x-10,y-0,得生=一,，于是，

66

一工(％+4)2+6(-1<x<0)

所求函数解析式是y=6，当x=0时，>=",所以装饰物

--(X-4)2+6(0<X<10)3

、6

的高度为Wm。

3

三、学习水平反馈(一'、

练习：1、周长为/的铁丝弯成下部为矩形，,1C上部

为半圆形的框架(如图所示)，若矩形底边长为2x,求此

2x

4B

框架围成图形的面积p关于x的函数，并求出定义域。(拓展：求V的最大值。)

2、在如图所示的直角坐标系中，一运动y物A体经过点

p

/(0,9),其方程为y=ax2+c(a<0),D=(6,7)*为x轴

上给定的区间。

(1)为使物体落在，内，求a的取值范围；

(2)若物体运动时，又经过点夕(2,8.1),3问它能

否落在。内？并说明理由。

3、课本P23练习1,20

四、三维体系构建

(1)理解函数的三种表示方法；

(2)在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数。

五、课后作业：P24,习题1.2,A组，8,9;B组，4。

教学反思

第二课时分段函数

三维目标定向

K知识与技能加、会利用图象的对称性画出含有绝对值符号的函数的图象。

2、通过实例体会分段函数的概念并了解分段函数在解决实际问题中的应

用。

K过程与方法》通过丰富实例的探究过程，体会分段函数在具体问题中的

应用。

K情感、态度与价值观》体验数学的应用意识以及数形结合的数学思想的

运用。

教学重难点

分段函数的理解以及分段函数在实际问题中的运用。

结论：函数y=|/(x)|的图象：把函数y=/(x)图象中X轴下方的图象对称到X

轴上方;

函数y=f(|x|)的图象：先画出函数y=/(x)在J/轴右方的图象，再关于卜轴

对称到左边。

二、分段函数

例2、(公交车票价)某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计

算)。

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函

数解析式，并画出函数的图象。

解：设票价为p元，里程为x公里，由题意可知，自变量的取值范围是(0,20］。

由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：

2,0<X<5y

5,15<x<20

分段函数：

所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部

分，有不同的对应法则的函数，对它应有以"ol―5―1—}―2—r下两点基

本认识：

(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

例3、某质点30秒内运动速度，是时间t的函数，它的图象如图，用解析

v(cm/s)

式法表示出这个函数，并求出9秒时质嫌盛递牛________.

分析：函数的解析式为：25_\：\

15:

10,

5

10+/,0</<5

3r,5<r<10

v(r)=<

30,10"<20

—3f+90,204r<30

当亡二9时，u(9)=3x9=27c，〃/s。

练习4、《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不

超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税

款按下表分段累计计算：

全月应纳税所得额税率(%)

不超过500元的部分5

超过500元至2000元的部分10

超过2000元至5000元的部

15

分

某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是

多少？

练习5、如图，在边长为1的正方形483的边上有一点P,沿着折线BCDA

由点8(起点)向点4(终点)运动，设点户运动的路程为x,△482的面积为y,

求：

(1)V关于x的函数关系式；

(2)画出二五(x)的图象。

AR

三、归纳小结

(1)图象与解析式是函数最重要的两种表示方法，两者相辅相成，互为补

充，要能够顺利地进行两者的互相转化。

(2)分段函数是一种特殊的函数，自变量在不同范围内取值时，对应的解

析式不同，但无论分段函数共有几段，它始终是一个函数，而不是多个函数。

四、布置作业

1、画出下列函数的图象：

22

(1)y=\x-2x-3\;(2)y=x-2\x\-3o

2、课本P25,习题1.2,B组，30

3、练习5。

教学反思：

第三课时映射

三维目标定向

K知识与技能11、了解映射的概念。

2、能解决一些简单的函数解析式问题。

K过程与方法》1、结合函数的概念理解映射的概念，明白函数是一种特殊

的映射。

2、通过丰富实例的探究过程，体会函数解析式在具体问题中的应用。

K情感、态度与价值观R体验数学的应用意识以及数形结合的数学思想的

运用。

教学重难点

映射概念的理解以及函数在实际问题中的运用。

教学过程设计

一、映射

问题1：函数是两个非空数集间是一种确定的对应关系。若将数集扩展到任

意的集合时，会得到什么结论？

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