分式知识点讲解汇123

分式知识点汇总赏识

一、分式的概念

形如（A、B是整式，且B中含有字母，BWO）的式子，叫做分式其中A叫做分式的分子,B叫

做分式的分母.

二、分式的意义

①分式有意义：分母不为0（BwO）

②分式无意义：分母为0（B=O）

A=0

③分式值为0：分子为0且分母不为0（一）

5Ho

\4>0f4<0

④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）

B>0[B<0

A>n（A<Cl

⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）

5<0[B>0

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=O）

例1.（1）（2006年南平市）当x_______时，分式」一有意义.

X+1

（2）（2006年浙江省义乌市）已知分式口的值是零，那么x的值是（）

X+1

A.-1B.0C.1D.±1

三、分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.

r2—4

约分：（1）my；(2)~—

20xy4x-4x+4

通分：（1）—9=7；(2)—,—；

abah"x-yx+y

四、分式的变形

例2.（2006年山西省）下列各式与土二上相等的是（）

x+y

（A）（”一>）+（c））（）4^4

5（B）D

（x+y）+52x+yx2-y2-x2+y2

五、分式的化简

x-11

例3.（2006年临安市）化简：—4-U--）.

XX

六、分式的求值

x-12x£,然后选取一个使原式有意义

例4.（2006年常德市）先化简代数式:x+l+x2-l

的X的值代入求值.

七、解分式方程

0Y4

例5.（2006年陕西省）解分式方程：————=2

x+2x-2

八、分式的计算

1、分式的乘除

一、a12b2a2a

(1)T->;(2)

/3a

2、分式的乘方

3

（1）（上）2(2)(N)

-2xc

3、分式的加减

,*、b223

（1）—I—;(2)4--

aab

九、易错点剖析

1.符号错误

例1.不改变分式的值，使分式上?的分子、分母第一项的符号为正.

-a-b

-a+ba+b

错解:

诊断:此题错误的原因是把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号.

-a+b_a-b

正解:

-a-b—(〃+/?)a+b

2.运算顺序错误

2。一4Q—2

例2.计算:•(。+3)

/+4。+3。+3

2(a—2)+(a-2)=—~|——-

错解:原式=

a2+4a+3。~+4a+3

诊断:分式的乘除混合运算是同一级运算，运算顺序应从左至右.

2a—4a+32(a+3)

正解:原式=•(。+3)=------

ci~+4a+3a-2a-1

3.错用分式基本性质

c3,

2。—b

例3.不改变分式的值,把分式丁二的分子、分母各项系数都化为整数.

—a+b

3

3、

（2。-0）x2QI

错解：原式=-^——=誓A当.

（|a+勿x32a+3b

诊断：应用分式的基本性质时，分式的分子、分母必须同乘以同一个不为0的整式，分式的值

不变，而此题分子乘以2,分母乘以3,分式的值改变了.

3

(2。-0)x6

正解：原式——=1noa-9b.

(|a+加x64。+6b

4.约分中的错误

例£约分：占*

1+12

错解：原式=

1+2+匕23+匕2

诊断：约分的根据是分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去，若分子、分母是多项式,

须先分解因式，再约去公因式.

a{a+〃)a

正解：原式=

(a+/7)2a+b

5.结果不是最简分式

x+3yx+2y+2x-3y

例5.计算:J?2222

x-y

(x+3y)(x+2y)+(2x-3y)_2x-2y

错解：原式=

/_y2x2-y2

诊断：分式运算的结果必须化为最简分式，而上面所得结果中分子、分母还有公因式，必须进

一步约分化简.

(x+3y)-(x+2y)+(2x-3y)_2x-2y_2(x-y)2

正解：原式=

9222

X一〉x-y(x+y)(x-y)x+y

6.误用分配律

例6.计算：利+2-丝土2).

2m-4m-2

m+2m+2m+2113-m

错解：原式=+(m+2)-

2(m-2)2(m-2)m-22(m-2)22(m-2)

诊断：乘法对加法有分配律，而除法对加法没有分配律.

m+2m2-m-6/%+2m-21

正解：原式=

2(m-2)m-22(m-2)(〃2+2)(〃2-3)2(m-3)

7.忽略分数线的括号作用

例7.计算：----X2-x-\.

X—1

ra?_ix/%2—Xx3(x-l)(x2-x-1)2x2-1

错解:原式二--------------

x-11x—1X-1X-1

诊断：此题错误在于添加分数线时，忽略了分数线的括号作用.

正解：原式=』-'+x+l(X—1)(X~+X+1)尤？]J

x-11x—\x-1x—\x-1X—1

练习感悟

一、分式概念

1.各式中，#；y,（1.x二分式的个数有（）

777"xy，7

7T

A、1个B、2个C、3个D、4个

c*a-bx+35+xa+b31+日八“g七/、

2.在「二,——,——,一-»2+-中，是分式的有（）

2x7Ta-ba

A、1个B、2个C、3个D、4个

x+3山，坐廿+1）,史女，，（x—y）中，是分式的共有（

3、下列各式:)

x714a-bm

A、1个B、2个C、3个D、4个

二、分式有意义

（1）当挣一时，分式上2匚V有意义；

——x+2

（2）分式生I中，当》=_时，分式没有意义，当》=—时，分式的值为零;

2-x

（4）,能使分式专三的值为零的所有x的值是（）

X-1

Ax=0Bx=lCx=O或x=lDx=O或尤=±1

（5）已知当x=-2时，分式上无意义，x=4时，此分式的值为0,则。+力的值等于（

)

x-a

A.—6B.-2C.6D.2

三、分式的基本性质

1.如果把二^中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（）

2%—3）

A扩大5倍B不变C缩小5倍D扩大4倍

2、填空：现=——6x(y+z)_

aaby3(y+z)2y+z

3a()a+21

——=-----(a丰0n)———=---------7

5xylOaxy«2-47()

-v2->,2--y-y2x_()

(x+y)2()x+3X2+3X'

4.不改变分式空金的值，使分式的分子分母各项系数都化为整数，结果是

0.3y+l

四、约分

12砂

1、⑵⑶(4)

9x2b-a4a~^+a;b

2、约分

2x+4

⑴含(2)2x?+8x+8-

加化简片的结果是＜m

)A、B、-一—C、D、言

m+3+3m-3

五、最简公分母

x-1用的过程中‘去分母时,

1.在解分式方程:+2=需方程两边都乘以最简公分母是

x2-4

人分式♦步「上的最简公分母为

六、通分

工+-!-+上等于（1B、：AD、u

1.已知XHO,)A、C、

x2x3x2x6x6x

12

2.化简+」的结果是()

m2-9加+3

622"?+9

A、B、二一C、D、

m2-9m-3m+3m2-9

七、分式的混合运算

x~+2x+1x‘其中T

1.先化简，再求值:

x2-1x-1

X

2、（先化简，再求值:1+击，其中：x=-2。

x2-1

八、分式方程

1.若上上三=0无解，则m的值是()

x-4-4一x

A.—2B.2C.3D.—3

2.解方程：

3x—216上三1

(1)-^―=■(2)(3)-3

2x+3x-1x+2x~—42-xx—2

九、分式方程应用题

1、甲打字员打9000个字所用的时间与乙打字员打7200个字所用的时间相同，已知甲、乙两人

每小时共打5400个字，问甲、乙两个打字员每小时各打多少个字？

2、一名同学计划步行30千米参观博物馆，因情况变化改骑自行车，且骑车的速度是步行速度的

L5倍，才能按要求提前2小时到达，求这位同学骑自行车的速度。

3、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B乘车从甲地出

发，结果同时到达。已知B乘车速度是A骑车速度的3倍，求两车的速度。

图形相似与相似三角形知识点解读

知识点1..相似图形的含义

把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）

解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.

（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.

（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.

例1.放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？

分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变.

解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同.

例2.下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80。的两个

等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形

的是（填序号）

解析：根据相似图形的定义知,相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩

形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状

不唯一，它们都相似.答案：②⑤⑥.

知识点2.比例线段

对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即

-=-（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.

ba

解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作3=£（或a:b=c:d）,不能写成其他形式，即比

ba

例线段有顺序性.

（2）在比例式g=上（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d,其中a,d为比例外项，b,c为比

bd

例内项，d是第四比例项.

（3）如果比例内项是相同的线段，即0=2或a:b=b:c,那么线段b叫做线段和的比例中项。

bc

（4）通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d

统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等.

例3.已知线段a=2cm,b=6mm,求@・

b

分析：求/即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比.

h

例4.已知a,b,c,d成比例，且a=6cll1,b=3dm,d二一dm,求c的长度.

2

分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d,再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c.

知识点3.相似多边形的性质

相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.

解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.

（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.

例5.若四边形ABCD的四边长分别是4,6,8,10,与四边形ABCD相似的四边形ABCD的最

大边长为30,则四边形ABCD的最小边长是多少？

分析：四边形ABCD与四边形ABCD相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为1,再

3

根据相似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长.

知识点4.相似三角形的概念

对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.

解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；

（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；

（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；

（4）相似用“s”表示，读作“相似于”；

（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比.

注意：①相似比是有顺序的，比如△ABCSAABG,相似比为k,若△ABGSAABC,则相似

比为②若两个三角形的相似比为1,则这两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊

情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全

等.

例6.如图，已知△ADESAABC,DE=2,BC=4,则和的相似比是多少？点D,E分别是AB,

AC的中点吗？

注意：解决此类问题应注意两方面：（1）相似比的顺序性,

形的识别.

解：因为△ADES/XABC,所以匹=42=空，因为匹=

BCABACBC

所以9=空=』，所以D,E分别是AB,AC的中点.

ABAC2

知识点5.相似三角的判定方法

（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；

（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形

相似.

（3）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

（4）如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三

角形相似.

（5）如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.

（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.

经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型：

①平行线型

常见的有如下两种，DE/7BC,则△ADES^ABC

②相交线型

常见的有如下四种情形，如图，已知N1=NB,则由公共

角NA得，△ADESZ^ABC

如下左图，已知/1=NB,则由公共角NA得，

AADC^AACB

如下右图，已知NB=ND,则由对顶角N1=N2得，△ADEsaABC

③旋转型

已知NBAD=NCAE,ZB=ZD,则△ADEs/\ABC,下图为常见的基本图

④母子型

已知NACB=90°,AB±CD,则△CBDs^AB