高考考点解析-圆锥

圆锥曲线的定义及其性质考点精析

文/陈连于

对圆锥曲线的定义的考查

1.运用定义求解基本量

22

例1（2009年高考北京卷）椭圆土+匕=1的焦点为々，居，点产在椭圆上，若

92

IPFJ=4,贝小尸工1=,匀的小大为.

解a2-9,b2-31/.c-yja2—b~=,9-2=g.|\用=2币.

'：\PFi\=4,\PFl\+\PF2\=2a=6,：.\PF2\=2.

22+4?-（2⑺*i

在\F\PF,中，由余弦定理得cosZF.PF,=--------——一一.

12122x2x42

/与2工=120°.

小结本题主要考查了椭圆的标准方程及其定义.对于圆锥曲线中的有关基本量的求解

问题，“回归定义”是一种重要的解题策略.根据方程研究性质，我们可把圆锥曲线方程化为

标准方程，然后讨论曲线的顶点、焦点、焦距、渐进线和离心率等问题.

2.运用定义求解焦点三角形问题

22

例2（2009年高考上海卷）已知耳、①是椭圆C：与+%=1（。＞匕＞0）的两个焦

点，P为椭圆C上一点，且丽_L丽.若APFJz的面积为9,则6=.

IPF,I+1PF21=2a

解依题意有“P61・1尸入1=18.整理得4c?+36=41,即a2—c?=9.解得b=3.

222

IPFtI+\PF2I=4C

小结椭圆或双曲线上的点与两个焦点片,与所构成的三角形，称为焦点三角形.在解

焦点三角形有关的计算或证明问题时，我们通常采用正弦定理、余弦定理回归到定义来求解.

在解题的过程中，通过变形得到归用+|?用=2。或俨片|-归引=24,这样便于运用曲

线的定义，得到a,c的关系，从而顺利打开解题的思路.

3.运用定义求抗迹方程

例3（2008年高考辽宁卷）在平面直角坐标系X。），中，点一到两点（0,-/），（0,73）

的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.

（I）写出。的方程；

(II)设直线y=H+l与，交于46两点.在为何值时，(万工。豆？此时|而|的值是

多少？

解(I)设P点的坐标为(x,y),由椭圆的定义，可知点。的轨迹。是以(0,-6),(0,6)

为焦点，2为长半轴长的椭圆.它的短半轴匕=后乙府=1.故曲线C的方程为

%2+—=1.

4

(II)略.

小结用定义法求解轨迹方程时，应先充分挖掘图形的几何性质，看其是否符合某种曲

线的定义，“定义法”求动点的轨迹方程是解析几何中解决点的轨迹问题常用且重要的方法.

巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减少，从而提高解题的速度与准确率.

4.运用定义求解最值与定值问题

22

例4(2009年高考辽宁卷)已知F是双曲线±一上=1的左焦点，A(1,4),P是双曲线

412

右支上的动点，则|PE|+|P川的最小值为.

解注意到P点在双曲线的两支之间，且双曲线的右焦点为尸'(4,0),于是由双曲线的

定义可得|PF|-|PF|=2a=4,而|H4|+|PF|N|4F1=5,上述两式对应相加得

|产盟+|尸川29.当且仅当人、P、/三点共线时等号成立.故|「尸|+|PA|的最小值为9.

小结本题若用常规方法解答，设动点P的坐标为(x,y),左焦点F(-4,0),则有

|尸目+|尸川=J(X+4产+/+J。_J?+(y_/,而要对这个式子求最小值，是比较困

难的，即使点P的坐标能用双曲线方程表示出来，求最小值时也是困难重重，因此如能用双

曲线的定义，则问题可迎刃而解.

对圆锥曲线的性质的考查

1.对椭圆和双曲线中参数范围的考查

22

例5(2005年高考上海卷)点A、B分别是椭圆二+匕=1长轴的左、右端点，点F

3620

是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴的上方，PAVPF.

(1)求点P的坐标；

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于IMBI,求椭圆上的点到点M

的距离d的最小值.

解(1)由已知可得点A的坐标为(-6,0),点F的坐标为(0,4).设点P的坐标为(x,

y),则AP=(x+6,y),"=(x—4,y).

|22

_x__I-—y—=]i3

由巴知可得<3620.整理得2_?+9%-18=0.解得x=—或x=-6.

,2

(x+6)(x-4)+y-=0

由于y>。,所以x二|’于是可知”学•故点P的坐标是（1'岁）.

（2）直线AP的方程是x—百y+6=0.设点M的坐标为（加,0）,则点M到直线AP

_Im+6|Im+6..…,一，、

的距离是^~~--L于是有_^二帆一6|.又一6W〃zW6,解得m=2.椭圆上的点（x,y）

549

到点M的距离d满足I?=。-2>+/=/-4》+4+20-§》2=§（%-］）2+15.由于

—6WxW6,所以当x=2时，d取得最小值JF.

2

小结求圆锥曲线上的动点到某一点（线）距离的最值问题,常可设出动点的坐标（x,y）,

用距离公式建立目标函数，然后根据曲线方程消元后进行求解.本题在转化为二次函数后，

要注意其横坐标的隐含条件，即-。4x《。，从而利用此条件求得最值.

2.对椭圆和双曲线"a,b,c”关系的考查

22

例6（2008年春季高考上海卷）已知椭圆一—+”一=1,长轴在y轴上.若焦距

IO-?7:m-2

为4,则m等于

A.4B.5C.7D.8

解山题意得〃z-2>10-m且10—机>0,于是有6<m<10.由/=〃+。2,有

（m-2）-（10-/?z）--22.解得团=8.

小结在圆锥曲线中，双曲线中的"a、b、c、e”与椭圆中的"a、b、c、e”既相

似又有区别，其中椭圆中有/=/+c2,而双曲线中有/=/+/.同学们一定要注意区

分，千万不要弄混淆了.

3.对圆锥曲线离心率及其范围的考查

22

例7（2009年高考山东卷）设双曲线二-「=1的•条渐近线与抛物线y=x2+1只

a~b~

有一个公共点，则双曲线的离心率为

A.-B.5C.—D.75

42

b

y=­x

解据题意可知，双曲线/-R=l的一条渐近线为y=由方程组.a

y=x2+l

rbhbo

消去y,得x?--x+l=0.由于fn——x+l=0有唯•解，所以△=(—>—4=0.于是有

2=2,即e，a~+b后.选D.

小结双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如a、b、c、e等，树立基本

量思想对于确定曲线方程和认识几何性质有很大帮助.

4.对双曲线渐近线的考查

x2丫

例8（2009年高考天津卷）设双曲线2y—'2n1（。>0/>0）的虚轴长为2,焦距为

273,则双曲线的渐近线方程为

K.y=