高中数学-椭圆的简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思

椭圆的简单几何性质

课题课型新授课课时第1课时

授课人授课时间

学生学习过圆的知识并用代数方法研究过圆的一些性质，但真正系统地用

代数方法研究曲线性质在本节课是第一次，本小节课通过对椭圆标准方程的讨

论，一方面要使学生掌握椭圆的几个性质，掌握a,b,c的几何意义及其相互关

教材分析

系，另一方面要通过对椭圆标准方程的讨论来研究它的几何性质，体会用坐标

法研究曲线几何性质的基本思路和方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具

有的程序化，普适性特点。

一、素养目标（参考《课程标准》中“学科核心素养”）

1.直观想象：在直观认识椭圆的图形特点基础上，理解a,b,c的图像含义；

2.数学运算：用椭圆的标准方程推导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率

等简单几何性质，理解在解析几何中如何用代数方法研究几何问题；

4.逻辑推理：感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法，初步利用椭圆的

几何性质解决问题。

逐步形成：用数学的眼光、思维和语言观察、分析和描述世界！

二、模块单元目标（参考《课程标准》中“内容标准”）

教学目标

1.能在直观认识椭圆的图形特点基础上，用椭圆的标准方程推导出椭圆的范

围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质

2.会根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程

3.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法。

三、本节课知识技能目标（参考《课程标准》中“学业要求”）

1.通过具体的椭圆方程直观感受并椭圆的a,b,c,e的几何性质；

2.理解离心率e与a,b,c的关系；

3.通过直观感知、操作演示，理解椭圆的简单几何性质。

教学重点椭，圆的简单几何性质

教学难点椭圆的离心率

教学过程

【复习回顾】

1.判断（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.（）

（2）椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备02=62+02（）

72

2、若椭圆会+；=1上一点P到焦点B的距离为3,则点尸到另一焦点后的距离为（）

A.6B.7C.8D.9

1

3.（多选）己知P为椭圆。上一点，Fi，色为椭圆的焦点，且「典=2小，|PQ|与|PB|的和为

2|FIF2|,则椭圆。的标准方程为（）

C-48+45=1D-45+48=1

22

4.若工-匕=1表示椭圆，则Z的取值范围是

4k-----------------------

设计意图：通过习题使学生回顾上节课有关内容，进一步了解椭圆方程的定义及特征的应用

【弓I入】

学习强国视频观赏

问题1：观察直角坐标系中的椭圆，它有怎样的范围？你能利用方程（代数方法）确定出它

的具体边界吗？

一、范围

师生活动：教师提出问题，同学思考，并口答完成下面问题

22

练习1、椭圆|^+器=1中，X的范围是y的范围是

说明椭圆位于围成的矩形框里。

二、对称性

问题2：观察椭圆的形状，它有怎样的对称性？在直角坐标系中，要证明一个图形的对称性

本质是证明什么？

师生活动：教师提出问题，同学思考，得出结论填入后面表格

三'顶点

问题3：观察椭圆，你觉得有哪些比较特殊的点？为什么？如何得到这些点的坐标?

师生活动：学生独立探究结果填入后面表格

设计意图：通过由形到数过程探讨椭圆的几何性质

练习2、根据前面所学有关知识在同一坐标系中画出下列图形

“2„2/、,2

------1------二1—+—=1

169164

2

(1)(2)

设计意图：通过该练习让学生直观感受椭圆的扁圆程度与a.b有关，从而进一步引出离心率的定义和如何

影响椭圆的形状。

四、离心率

问题4:椭圆有些比较“扁”，有些比较“圆”，如何用一个适当的量刻画椭圆扁平的程度呢？

问题5：椭圆的离心率在什么范围内？

问题6：椭圆的离心率在范围内变化时椭圆形状如何变化？

结论：

问题7：你能运用三角函数的知识解释，为什么e=£越大，椭圆越扁平？越小越接近

a

设计意图：通过从a,b,c关系，以及geogebra演示，和三角函数三个方面研究离心率与椭圆扁圆程度的

关系，练习3中第3问进一步研究让学生思考有相同离心率的椭圆的方程特征。

22

练习3：:已知椭醺二+匕=1.

94

⑴与椭圆S具有相同焦点的椭圆莓少个？写出其中两椭圆的方程。

(2)与椭圆S具有相同离心率的椭底多少个？写出其中稀椭圆的方程

(3)求椭蛇具有相同离心率，且逾G,2)的椭圆的标准方程。

师生活动，教师提出问题，同学思考，先独立思考解决1.2问，并通过小组合作探究，讨论解决第3问的

两种做法。小组展示具有相同离心率的椭圆方程满足的条件，并整理学案内容。根据学生情况适当引导

【小结】

设计意图，通过填写表格学生自我检测对本节课内容掌握情况

焦点位置焦点在x轴焦点在y轴

3

标准.方程

图像

范围

对称性

顶点坐标

焦点坐标

半轴长

焦距

a,b,c关系

离心率

【应用巩固】

例L求椭圆16/+25/=400的长轴长和短轴长、焦距、离心率、焦点坐标一、顶点坐标.

例2.求适合下列条件的椭圆标准方程：

(1)焦点在x轴上，长轴长等于20,离心率等于三；

(2)中心在原点，焦点在坐标轴，上，,离心率为5-且过(2,0),求椭圆的标准方程.

【变式练习】

求符合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴经过点(-3,0)、(0,-2);(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6

设计意图：通过两道例题及变式练习进一步让学生巩固本节课所学内容，并进一步体会求椭圆方程时注意

对椭圆性质的灵活应用

4

【课堂小结】

椭圆的简单几何性质

【巩固练习】

1.曲线证+^=1与曲线7^：+占=1%<9）的（）

23V25—k9~~k

A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等

2.若椭圆的一个焦点与短轴的两端点构成一一个正三角形，则椭圆的离心率e=.

3.已知焦点在x轴上的椭圆：5+/=b过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于48两点，

且|/8|=1,则该椭圆的离心率为（）

A亚c皿D亚

【课后作业】

1.课本P115习题3.1第3、4、7、82.完成学案

【课后反思】

板书设计:

3.1.2椭圆的简单几何性质白板

1范.围

2对.称性

3顶.点

4离.心率

【教学反思】

学情分析：

学习解析几何以来，利用方程讨论和研究曲线的几何性质尚属

首次，学生有着强烈的求知欲望，迫切希望掌握利用方程研究曲线几

何性质的方法.

学生在学习了直线和圆的方程之后，对直线和圆方程的特点比较

5

熟悉，通过类比能够掌握椭圆标准方程的结构特征。同时，在函数和

不等式的学习过程中已经储备了利用等量关系寻找不等关系、图象的

对称性、顶点的概念等基本能力。学生的思维方式和思维层次有所积

累，因此，学生已经初步具备了一定的利用方程自主探究曲线性质的

能力。

学生整体素质较高，独立分析问题，解决问题的能力很强，他们

思维活跃，参与意识强烈，又具备了高一学习阶段的知识基础，因此

依据以上特点，在教学设计方面，我打算借助多媒体手段，创设问题

情境，结合图形启发引导，组织学生合作探究等形式，符合我班学生

的认知特点，为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。

效果分析：

本节课是《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第三

章第一节2课时的内容，它是在学完椭圆的标准方程的基础上，通过

研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质。利用曲线方程研究

曲线的性质，是解析几何的主要任务。通过本节课的学习，既让学

生了解了椭圆的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究

其性质的过程，同时也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺

垫。

通过本节课的学习，绝大多数的同学都能掌握椭圆的简单几何

性质：范围、对称性、顶点、离心率，特别是对于本节的重难点离心

率的讲解，我在设计时先通过直观的几何画板制作出椭圆的扁平程度

和离心率的大小关系，然后又定量分析了这一结论，最后又通过微课

6

把离心率的相关知识进行了汇总，加深了学生对这部分知识的理解，

另外课堂上大量的让学生参与小组合作探究和学生板书等形式，让学

生成为第一主人翁，参入到课堂，更好更快的掌握本节知识。

总体来看，学生本节课的掌握情况挺好。

教材分析：

解析几何是高中数学重要的分支之一，是在坐标系的基础上，

利用代数方法来研究几何问题的一门学科，这种方法是学习解析几何

的核心方法即解析法。平面解析几何主要研究两个问题：

①根据已知条件求出曲线的方程；

②通过方程，研究平面曲线的性质，并做出曲线的图形。

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第三

章第一节2课时：椭圆的简单几何性质。在此之前，学生已经掌握

了椭圆的定义及其标准方程，这只是单纯地通过曲线建立方程的探究。

而这节课是结合椭圆图形发现几何性质，再利用椭圆的方程探讨椭圆

的几何性质，是数与形的完美结合，让学生在了解如何用曲线的方程

研究曲线的性质的基础上，充分认识到''由数到形，由形到数”的转

化，体会了数与形的辨证统一，也从中体验了学数学的乐趣，受到了

数学文化熏陶，为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重

要基础。

椭圆的简单几何性质

7

【学科素养】

课程标准学科素养

1.能在直观认识椭圆的图形特点基础上，用椭圆的标准方程推直观想象

导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质数学运算

2.会根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程逻辑推理

3.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法

【学习重点】椭圆的简单几何性质

【学习难点】椭圆的离心率

【复习回顾】

1.判断（正确的打“，错误的打“X”）

（1）到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.（）

（2）椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备标=加+。2.（）

v-22

2、若椭圆黑+（v=1上一点P到焦点K的距离为3,则点P到另一焦点八的距

离为（）A.6B.7C.8D.9

3.（多选）已知P为椭圆C上一点，Fi,尸2为椭圆的焦点，且尸2|=2巾，|PFi|

与|P尸2|的和为21n尸2|,则椭圆C的标准方程为（）

A.料如1B看+4=1D..『l

22

4.若±-±=1表示椭圆，贝以的取值范围是

4k

【引入】

学习强国片段欣赏

【知识探究】

问题1:观察直角坐标系中的椭圆，它有怎样的范围？你能利用方程（代数方法）

确定出它的具体边界吗？

22

练习1、椭圆三+2=1中，x的范围是y的范围是

说明椭圆位于围成的矩形框里。

问题2：观察椭圆的形状，它有怎样的对称性？在直角坐标系中，要证明一个图

形的对称性本质是证明什么？

问题3：观察椭圆，你觉得有哪些比较特殊的点？为什么？如何得到这些点的坐

标？

练习2、根据前面所学有关知识在同一坐标系中画出下列图形

问题4：椭圆有些比较“扁二有些比较“圆”，如何用一个适当的量刻画椭圆扁

平的程度呢？

问题5：椭圆的离心率在什么范围内？

问题6：椭圆的离心率在范围内变化时椭圆形状如何变化?

结论:

问题7：你能运用三角函数的知识解释，为什么e=一越大，椭圆越扁平?

a

越小越接近于圆吗？

yt

0

FiF2

9

练习3：:已知椭圆C上+工=1.

94

(1)与椭圆C具有相同焦点的椭圆有多少个？写出其中两个帏圆的方程。

(2)与椭圆。具有相同离心率的椭圆有多少个？写出其中两个椭圆的方程。

(3)求椭圆。具有相同离心率，且过点(3,2)的椭圆的标准方程。

【小结】

焦点位置焦点在X轴焦点在y轴

标准.方程

图形

范围

对称性

顶点坐标

焦点坐标

半轴长

焦距

a,b,c关系

离心率

【应用巩固】

例L求椭圆16/+25y2=400的长轴长和短轴长、焦距、离心率、焦点坐标.、顶点坐

标.

10

例2.求适合下列条件的椭圆标准方程：

(1)焦点在x轴上，长轴长等于20,离心率等于13;

V3

(2)中心在原点，焦点在坐标轴.上，离心率为且过(2,0),求椭圆的标准方程.

【课堂练习】

求符合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)经过点(-3,0)、(0,-2);(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6

【巩固练习】

椭圆£,则人--------------

2.若椭圆的一个焦点与短轴的两端点构成一个正三角形，则椭圆的离心率e=.

【课堂小结】

【课后反思】

《椭圆的简单几何性质》教学反思

本节课是《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第三章

第一节2课时的内容，它是在学完椭圆的标准方程的基础上，通过研

究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质。这是学生第一次正式

学习使用代数方法研究圆锥曲线的几何性质，因此，上好本节课显得

尤为重要。

11

利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务。通过本

节课的学习，既让学生了解了椭圆的几何性质，又让学生初步体会了

利用曲线方程来研究其性质的过程，同时也为下一步学习双曲线和抛

物线的性质做好了铺垫。本节课是围绕着探究椭圆的简单几何性质进

行的。因此，我依教材的地位与作用及教学目标，将之确定为本节课

的重点；又因为学生第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单几

何性质，学生感到困难，且如何定义离心率，学生感到棘手，所以我

将之确定为本节课的难点。

本节课总体上是以椭圆为载体研究椭圆的几何性质，通过对椭圆

方程的研究，让学生自然得出相应的几何性质。因此，我在教学上采

22

用从特殊到一般的数学思想：先提出让学生画椭圆二+二=1的图象，

2516

在作图过程中引导学生发现椭圆的几何性质，并及时和图象进行联系,

体现了“数是形之源”的思想。学生在作图过程中发现：作图需要描

点，因此可以先求出椭圆与坐标轴的四个交点；椭圆是封闭图形，要

画图就得先确定范围；最后连线成图时必须考虑到图象的对称性等特

点。通过这个作图活动，学生能直观的了解椭圆的几何特点，并且在

这个过程中发现问题，提高了学习的积极性。然后，我趁热打铁，从

特殊到一般，归纳出椭圆的顶点、范围、长短轴等概念，并揭示了椭

圆方程中a,b,c的几何意义。本节课的重点是利用椭圆方程来研究几

何性质，所以在归纳一般概念时，应注重强调代数方法和坐标法。例

如，由方程可直接求得x的范围；利用对称点的坐标，可以检验曲线

的对称性；分别令x=0和产工可以求出四个顶点（即椭圆与对称轴交

点）的坐标。从教学情况来看，学生接受还是比较好的。

离心率是本节课的难点，课本直接提出利用a与c可以刻画椭圆

的圆扁程度，接着给出离心率的定义，学生接受起来是比较困难的。

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因此我在学生对椭圆的圆扁变化有了初步的感性认识之后，让学生合

作讨论，寻找一个合适的量来