广东省2022届高三数学二模试卷解析版

高三数学二模试卷【解析】【解答】由已知P(〃-lWXW〃)=P(〃WXW〃+l)=0.2,

一、单选题所以P(XN〃-1)=P(〃-1WX工〃)+P(X之〃)=0.2+0.5=0.7,

1.已知集合M={x\x(x-2)<0},N={x\x-1V0},则MnN=()故答案为：A.

A.(-8,2)B.(-co,1)C.(0,1)D.(1,2)

【分析】根据正态分布的概率特征，求出正态曲线的对称轴，由对称性求解即可得答案.

【答案】C

4.某校安排高一年级(1)〜(5)班共5个班去A,B,C,D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一

【知识点】交集及其运算

个基地，每个基地至少安排•个班，则高一(1)班被安排到A基地的排法总数为()

【解析】【解答】集合M={x\x(x-2)<0}={x|0<x<2］,N={x\x<1},

A.24B.36C.60D.240

则MnN={x\Q<x<1)=(0,1),【答案】C

故答案为：C【知识点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】5个班去A,B,C,D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去•个基地，每个基地至少

【分析】运用二次不等式和一次不等式的解法，化简集合M,N,再由交集的定义，即可得答案.安排一个班，

2,定义在［-2,2］上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是()如果是只有高一(1)班被安排到A基地，那么总的排法是以国=36种，

如果是还有一个班和高一(1)班一起被安排到A基地，那么总的排法是C；相=24种，

A.y=sinxB.y=­2xC.y=D.y=2x3

故高一(1)班被安排到A基地的排法总数为36+24=60种，

【答案】D

故答案为：C

【知识点】函数单调性的判断与证明：函数奇偶性的判断

【解析】【解答】A.2>会由正弦函数的性质可知、=sinx在［一2,2］上不为增函数，故排除；

【分析】两种情况分类计算，一种是只有高一(1)班被安排到A基地，另一种是还有一个班和高一(1)班

B.y=-2x在［-2,2］上单调递减,故排除;•起被安排到A基地，两类排法数相加可得答案。

CyfeF故函数在［-2,2］上为偶函数,故排除；5.若函数y=esiriMt与y=遍cossx图象的任意连续三个交点构成边长为4的等边三角形，则正实数3=

()

D.y=2x3,2(-X)3=-2X3,故函数在［一2,2］上为奇函数，且由辕函数的性质知y二/在2］上单调递

A.1B.1C.D.n

增，则y=2炉在［一2,2］上单调递增，满足题意：

【答案】C

故答案为：D

【知识点】三角函数的周期性及其求法

【解析】【解答】由题意知，

【分析】利用函数的奇偶性、单调性逐项进行分析判断，可得答案。

作出函数y=和y=VScoscox的图象，

2

3.已知随机变量X〜N(〃，ct),若P&WXW〃+l)=0.2,则P(X2〃-1)=()设两图象相邻的3个交点分别为A、B、C,如图所示，

A.0.7B.0.4C.0.3D.0.2则48=4,A/I8C为等边三角形，

【答案】A由图可知，函数y=V^sinsr的最小正周期7==4,

【知识点】互斥事件的概率加法公式又7="

3

所以3=寿=竿=去A.4B.5C.6D.7

【答案】B

故答案为：C.

【知识点】抛物线的定义

【分析】根据题意由正弦函数和余弦函数的图象分别作出函数的图象，然后由数形结合法即可求出周期的取【解析】【解答】由题意知：抛物线焦点(1,0)恰为圆心F,抛物线准线/：x=-l，圆半径为2,可得圆F与，

值，结合周期公式计算出3的值即可“相切，设直线1：,二£与准线/交于。，

6.赵爽弦图(如图1)中的大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角

形的两条直角边长为a,b,斜边长为C,由大正方形面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之

和可得勾股定理02+房=c2.仿照赵爽弦图构造如图2所示的菱形，它是由两对全等的直角三角形和中间的

矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角形含有锐角心另一对直角三角形含有锐角

P(位置如图2所示).借鉴勾股定理的推导思路可以得到结论()

A.sin(a一3)=sinacos^-cosasin^

B.sin(a+£)=sinacos。+cosasin。

C.cos(a—P)=cosacos/?+sinasin^

D.cos(a+£)=cosacosp—sinasin0

【答案】B

【知识点】两角和与差的正弦公式由抛物线定义知：AF=AD,又FB=2,故△FAB的周长为凡4+A8+F8=AD+48+2=DB+2,

【解析】【解答】由图形可知：含锐角a的直角三角形两直角边长为sina,cosa，由图知2<08V4,故DB+2€(4,6).结合选项知：AFAB的周长可能为5.

含锐角/?的直角三角形两直角边长为sin/?,cos0,故答案为：B.

故菱形的面积为2xgx1x1xsin(a+0)=sin(a+3)，

【分析】先判断出抛物线焦点和圆心重合，由抛物线定义得力F=4。，又FB=2,可得△FAB的周长为F4+

不妨假设。>夕，

A8+FB=08+2,又知2V08V4,即可求解出△FAB的周长0

中间长方形的面枳为(sina-sin^)(cos/?-cosa),

8.存在函数/1%)使得对于VxwR都有/(g(%))=M，则函数g(x)可能为()

故sin(a+0)=2x；xsinaxcosa+2xxsin0xcos。+(sina-sin/?)(cos/?-cosa)，

A.g(%)=sinxB.g(x)=x2+2x

即sin(a+0)=sinacos/?+cosasin/?,C.g(x)=x3—xD.g(x)=ex+e(T

故答案为：B【答案】D

【知识点】函数奇偶性的判断

【分析】表示出直角三角形的边长，进而表示出面积，求得中间矩形的面积，根据菱形面积等于四个直角三【解析】【解答】因为对于vxeR都有/(g(x))=|x|，且y=|x|为偶函数，

角形面积加上中间矩形面积，化简可得答案。所以g(x)必为偶函数.

7.已知抛物线E：y2=4x,圆F：(%-l)2+y2=%直线1：y=t(I为实数)与抛物线E交于点A,与圆对于A：g(x)=sinx为奇函数.A不符合题意：

F交于B,C两点，且点B位于点C的右侧，则AFAB的周长可能为()对于B：g(x)=/+2%为非奇非偶函数.B不符合题意：

对于C：对于g(x)=x3-%.定义域为R.因为g(-%)=(-x)3-(-x)=(-x3-x)=-g(x),所以g(x)=x3-D.存在%e(%,%)，使得r'(%)=组冬群

工为奇函数.C不符合题意；

【答案】B,D

对于D：对于g(x)=ex+e(~*).定义域为R.因为g(-x)=e~x+ex=ex+e(-*)=g(x)，所以g(%)=ex+

【知识点】导数的几何意义

e(T)为偶函数.D符合题意：

1解析】【解答】解：A：设tana=r(0),tan9=吟誓，由图得a>0,所以tana>tan6,所以

(丁i—二uz—1

故答案为：D

r(V-n((>)>r(2j~i(1)>所以该选项错误；

1—U4-JL

【分析】先判断出g(x)必为偶函数，对四个选项中的函数的奇偶性••判断，即可得出答案。B：由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得r'(l)>r'(2),所以该选项正确；

二、多选题

C：设V］=o,匕=3,式与%二丁(务，业等3=竽，因为崎一“o)>r(3)一rg),所以

9.已知复数z的共规复数是2,—=l+i是虚数单位，则下列结论正确的是()

r(务〉零，所以该选项错误；

A.z2022=4

B.z3的虚部是。

D：二)，1)表示省匕，丁(匕))，8(/，«%))两点之间的斜率，r'(Vo)表示C(%,丁(%))处切线的斜率，由

C.|z-z+2z|=\/5

于乙€(匕，匕)，所以可以平移直线4B使之和曲线相切，切点就是点C,所以该选项正确.

D.z/+2z在复平面内对应的点在第四象限

故答案为：BD

【答案】B,C

【知识点】复数的代数表示法及其几何意义：复数代数形式的乘除运算：复数求模

2【分析】设tana=誓辔，tan。=吟誓，由图得a>6,可判断A正误；根据图像和导数的几何意

［解析］【解答】由题意z=若=(£；(?+i)=苧=i，2=-L1-U4—1

义得r'⑴>r'(2),可判断B正误；设匕=0,匕=3,谒)>竽，可判断C正误；结合图像和导数的几何

z2022=i2022=-bA不符合题意;

zz=l,虚部是0：B符合题意意义可以判断D的正误。

\z-z+2z\=\1+2i\=Vl24-22=V5;C符合题意11.在所有棱长都相等的正三极柱中，点A是三棱柱的顶点，M,N、Q是所在校的中点，则下列选项中直线

zz+2z=l+2i,对应点为(1,2)，在第一象限，D不符合题意；AQ与直线MN垂直的是()

故答案为：BC.

【分析】由复数乘除运算求得z,得共轨复数Z,然后再由复数的运算，复数的定义，几何意义逐项进行判

断，可得答案。

10.吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V),r'(Q为r(V)的导函数.己知r(V)在

0<V<3上的图象如图所示，若04%〈收工3,则下列结论正确的是()

A*1)—(0)vr(2)-r⑴

A，1-0<2-1

B.r\l)>/(2)

c.r(华)<«丁2)

AA

【答案】A,C【解析】【解答】以。为原点建立如图所示的直角坐标系,

【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系所以8(0,1),4(1,0)，

【解析】【解答】所有校长都相等的正三极柱中，点A是三棱柱的顶点，M,N、Q是所在楼的中点，故可设

设/EOA=8,则E(cos。，sin®)(06[0,刍)，OF=(cos0,sin。)，

棱长为2,在正三棱柱中建立如图所示的空间直角坐标系：

AB=(-1,1)»所以荏•屈=sin。一cos。=V7sin(8-9,

对于A,4(75,0,0),0(0,0,0),M(0,1,1),N(0,0,2)，

因为0W[0,刍，所以。一[—今，勺，所以sin(8—今)E[—孝，孝],

故前=(一代，0,0),MN=(0,-1,1)»

所以荏•岳€[-1,1]，赤•通的最小值为-I，A不符合题意；

则而•丽=(一8，0,0)・(0,-1,1)=0，故而J.而，即AQ1MN,A符合题意；

对于B,4(0,1,0),(2(-^t-*，2),M»—4，0),N4,0),Ei?=(1—cos0,—sin0)»=(-cos0,1—sin0)»

所以瓦?•EB=-cos。+cos20-sind+sin20=1-V2sin(0+第,

故而=(孚,-1,2),MA?=(0,1,0)，

因为。W[0,刍，所以6+苧€耳,第，所以sin(J+»£俘，1],

则而而=(苧，-1,2).(0,1,0)=-£故AQ，MN不垂直，B不正确：

所以1一四sin(0+9€[l—VL0],E4-E5G[1-V2,0]»

对于CA(y/3f0,0),Q(0,1,1),M(0,-1,1),N除-1,2)，

瓦？•丽的最小值为1-VI，B符合题意：

故而=(一遍,1,1),而=律，4，1),

设C(3O)(te[O,1])»又|CD|=1,所以|00=6中，可得。(0,V=笆)，

则而•祈河=(一百，1,1).(苧，4,1)=0,故而1丽GIMQJLMN,C符合题意；

EC=(t-cos仇—sin0)»而=(—cos。，｛I-F—sin。)，

对于D,4(0,1,0),Q除2),M除-1,0),N(0,-1,1)，

所以阮•£D=tcosd+cos20—V1—C2sin0+sin20=1—(tcos0+-t2sin0)

故而=(空,-1,2),而=(一孚，-1,1)，

=1—sin(0+(p),其中cos*=V1—t2,sin(p=t,

则而.而=除-1,2)(-空,1)=2,故AQ，MN不垂直,D不正确；

又tW[0,1]，所以cost/?,sincpG[0,1],所以尹£[0,刍，+0G[0,TT]>

故答案为：AC

sin(<p+0)6[0,1],-sin((p+0)G[-1,0],所以瓦•前e[0,1].

【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，从而求得荒，加的坐标，计算前.疝V，即可得出答前•前的最小值为0,CD符合题意.

故答案为：BCD.

案。

12.如图，已知扇形OAB的半径为1,乙408=*,点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且CD=1,点

【分析】以。为原点建立如图所示的直角坐标系，得3(0,1).4(1,0),设乙EOA=8,则

E为初上的任意一点，则下列结论正确的是(〉

E(cose,Sin0)(e6[0,初，求出n.后=V5sin(e-»利用。的范围可判断A；求出最，EB的坐标，由

A.丽•丽的最小值为0B.瓦＜•丽的最小值为1-V5

C.丽•丽的最大值为1D.前•乔的最小值为0

EAEB=1-^sin(0+^)»利用6的范围可判断B：设C(t,0)(£W[0,1])，可得D(0，一d)求出ECf

【答案】B.C,D

而=1一sin(8+尹)，利用3(P，。的范围可判断C，Do

【知识点】平面向量数量积的运算

三、填空题

13.已知双曲线=l(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±6x,则它的离心率为.x=2kn+€Z)时，y=cos(x+(p)=cos(2kn+]+*)=—sin*也取至l]1,

【答案】2•••(p=2mn—^(mGZ),

【知识点】双曲线的简单性质

不妨取e=一看

【解析】【解答】由题意，得e=标=Ji+(务2=VTT3=2.

此时/'(x)=sinx-cos(x—^)=sin2x=1号‘2%的最大值为i,符合题意，

【分析】由双曲线的简单性质结合离心率公式代入数值计算出结果即可。

故常数*的一个取值为一名

14.若直线y=%+Q和直线y=x+b将圆(x-I)?+(y-1)2=1的周长四等分，则佃一b|=.

【答案】2故答案为：一提(不唯一).

【知识点】直线和圆的方程的应用

【解析】【解答】设直线y=x+a和圆(％-I)2+(y-I)2=1相交与点A,8，直线y=x+b与圆I)2+

【分析】依题意可知y=sinxVy=cosQr+@)同时取到最大值I,进而可得可得a=2nur-EZ),令

相交于点圆心为

(y-l)2=1M,N,C,m=0可得符合题意的3的一个取值。

因为直线y=x+a和直线y=x+b将圆(％-l)2+(y-l)2=1的周长四等分，16.十字贯穿体(如图1)是美术素描学习中•种常见的教具.如图2,该十字贯穿体由两个全等的正四极柱

所以圆心位于两直线之间，且乙4cB=乙MCN=小组合而成，且两个四棱柱的侧棱互相垂直，若底面正方形边长为2,则这两个正四棱柱公共部分所构成的几何

体的内切球的体积为.

所以A4cB为等腰直角三角形，所以圆心为C到直线y=x+a的距离为冬，

【答案琦兀

同理可得圆心为C到直线y=x+b的距离为孚，

【知识点】球的体积和表面积

故直线y=x+a和直线y=x+b间的距离为我，

【解析】【解答】该几何体的直观图如图所示，这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体为两个全等的四楂锥

所以嗜1=所以|a-b|=2,

S-718CD和P-力BCD组成；

故答案为：2.由题意，这两个直四棱柱的中心既是外接球的球心，也是内切球的球心，设内切球的半径为R,设4C的中点

为H,连接BH,SH,可知SH即为四棱锥的高，

【分析】由条件可得直线^=、+。和直线y=x+b间的距离为鱼，利用平行线间的距离公式可求得\a-b\在RtA/IBH中，BH=7AB2-W=二I=2,

的值。又4c=SB=2V2»

15.若函数/'(》)=sin%•cos(x+租)的最大值为I，则常数3的一个取值**^ABCD=2x2XQ.y/^2.X2=4,V2»

为.

又8H=SH,

【答案】奇(答案不唯一，>取一左+2"，kGZ均可)

,,Vs-ABCD=gS」.SABCD=gX2X4V2=

【知识点】三角函数中的恒等变换应用

由八个侧面的面积均为2vL

【解析】【解答】，.,函数f(%)=sinx・cos(%+*)的最大值为1,

•'.|RX2V2X8=2X5^,得R=l,故几何体的内切球的体积为萼.

二可取y=sinx与y=cos(x+3)同时取到最大值1,

故答案为：等.

乂*=2kn+*(kWZ)时，y=sinx=1,

【分析】分析该几何体的结构特征，作出该几何体的草图，该几何体可以看成两个全等的四棱锥或八个全等=2X(1+2+3+4+5)+(21+22+234-24+25)

的三棱锥组成，利用等体积法求出其内接球的半径，代入球的体积公式，即可求出几何体的内切球的体积。=2X(1±5)2S5+2X£1^)=92.

-

四、解答题LIZ

所以数列｛%｝的前15项和为92.

17.已知递增等比数列｛a’J的前n项和为Sn,且满足4a2=的的，S3=14.

【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和

(I)求数列｛a力｝的通项公式.

【解析】【分析】(1)设｛册｝的公比为q,由等比数列的通项公式进行基本量的运算即可求出数列｛册｝的通项

(2)若数列｛砥｝满足瓦=[ak，n=3k，(ke*),求数列｛既｝的前15项和.

公式；

(A,3(k—1)<n<3k

(2)(方法一)利用已知条件列举出数列各项，然后分组求和即可；

【答案】(1)解：设｛an｝的公比为q,则由4a2=%。3，得4%q=%,a1q2.

(方法二)写出数列｛九｝的通项，然后分组求和即可。

整理得a1q=4.

18.小李下班后驾车回家的路线有两条.路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是专路线

又S3=14,得Q1(1+q+q2)=14.

联立得[消去由,得2q2-5q+2=0.2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是去第二个路口遇到红灯的概率是多假设两条路线全程

解得q=2或q=1.绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立.

(1)若小李下班后选择路线I驾车回家，求至少遇到•个红灯的概率.

又因为｛Qn｝为递增等比数列，

(2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加Imin,为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间

所以q=2,a1=2.

(单位：min)的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由.

1n

所以0n=a^-=2.

【答案】(1)解：设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X,则万~8(3,全，

(2)解：(方法一)当攵=1时，bn=j01'"3,(neN*),则瓦=力2=1，匕3=。1=2，同理，列举得

(1,0<n<3所以至少遇到一个红灯的事件为P(X>1),

=加=2,尻=Q-2=22，by=hg=3，b<)=CI3=2^»力10=d1=4，仇？==2,，力13=814=5，由对立事件概率公式，

瓦5=。5=25-得P(X>1)=1-P(X=O)=1-。酷)崎3=1一捺=畀

记(如｝的前n项和为7,则

n所以若小李下班后选择