2024届天津市南开区数学高一下期末质量检测试题含解析

2024届天津市南开区数学高一下期末质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（）A．3立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．12立方丈3．等比数列中，，则等于是（）A． B．4 C． D．4．等比数列的各项均为正数，且，则（）A．3 B．6 C．9 D．815．在区间上随机选取一个实数，则事件“”发生的概率是（）A． B． C． D．6．在△ABC中角ABC的对边分别为A．B．c，cosC＝，且acosB+bcosA＝2，则△ABC面积的最大值为（）A． B． C． D．7．方程的解所在区间是（）A． B．C． D．8．经过原点且倾斜角为的直线被圆C:截得的弦长是，则圆在轴下方部分与轴围成的图形的面积等于（）A． B． C． D．9．在中，内角所对的边分别是．已知，，，则A． B． C． D．10．若是异面直线，直线，则与的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若满足约束条件，的最小值为，则________．12．若函数的图象与直线恰有两个不同交点，则m的取值范围是________.13．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()＝________.14．如图，在水平放置的边长为1的正方形中随机撤1000粒豆子，有400粒落到心形阴影部分上，据此估计心形阴影部分的面积为_________.15．已知数列，若对任意正整数都有，则正整数______；16．函数的最小正周期为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，.（1）求；（2）求.18．的内角的对边分别为，.（1）求；（2）若，的面积为，求.19．计算：（1）（2）（3）20．如图是某地某公司名员工的月收入后的直方图．根据直方图估计：（1）该公司月收入在元到元之间的人数；（2）该公司员工的月平均收入.21．已知数列是等差数列，，．（1）从第几项开始；（2）求数列前n项和的最大值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

当平面ACD垂直于平面BCD时体积最大，得到答案.【题目详解】取中点，连接当平面ACD垂直于平面BCD时等号成立.此时二面角为90°故答案选D【题目点拨】本题考查了三棱锥体积的最大值，确定高的值是解题的关键.2、B【解题分析】几何体如图：体积为，选B.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．3、B【解题分析】

利用等比数列通项公式直接求解即可.【题目详解】因为是等比数列，所以.故选：B【题目点拨】本题考查了等比数列通项公式的应用，属于基础题.4、A【解题分析】

利用等比数列性质可求得，将所求式子利用对数运算法则和等比数列性质可化为，代入求得结果.【题目详解】且本题正确选项：【题目点拨】本题考查等比数列性质的应用，关键是灵活利用等比中项的性质，属于基础题.5、B【解题分析】

根据求出的范围，再由区间长度比即可得出结果.【题目详解】区间的长度为；由，解得，即，区间长度为，事件“”发生的概率是.故选B.【题目点拨】本题主要考查与长度有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.6、D【解题分析】

首先利用同角三角函数的关系式求出sinC的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用求出结果．【题目详解】△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cosC，利用同角三角函数的关系式sin1C+cos1C＝1，解得sinC，由于acosB+bcosA＝1，利用余弦定理，解得c＝1．所以c1＝a1+b1﹣1abcosC，整理得4，由于a1+b1≥1ab，故，所以．则，△ABC面积的最大值为，故选D．【题目点拨】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．7、D【解题分析】

令，则，所以零点在区间.方程的解所在区间是，故选D.8、A【解题分析】

由已知利用垂径定理求得，得到圆的半径，画出图形，由扇形面积减去三角形面积求解．【题目详解】解：直线方程为，圆的圆心坐标为，半径为．圆心到直线的距离．则，解得．圆的圆心坐标为，半径为1．如图，，则，．，，圆在轴下方部分与轴围成的图形的面积等于．故选：．【题目点拨】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查扇形面积的求法，考查计算能力，属于中档题．9、B【解题分析】

由已知三边，利用余弦定理可得，结合，为锐角，可得，利用三角形内角和定理即可求的值．【题目详解】在中，，，，由余弦定理可得：，，故为锐角，可得，，故选．【题目点拨】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．10、D【解题分析】

若为异面直线，且直线，则与可能相交，也可能异面，但是与不能平行，若，则，与已知矛盾，选项、、不正确故选．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4【解题分析】

由约束条件得到可行域，取最小值时在轴截距最小，通过直线平移可知过时，取最小值；求出点坐标，代入构造出方程求得结果.【题目详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：取最小值时，即在轴截距最小平移直线可知，当过点时，在轴截距最小由得：，解得：本题正确结果：【题目点拨】本题考查现行规划中根据最值求解参数的问题，关键是能够明确最值取得的点，属于常考题型.12、【解题分析】

化简函数解析式为，做出函数的图象，数形结合可得的取值范围．【题目详解】解：因为所以，，由，可得，则函数，的图象与直线恰有两个不同交点，即方程在上有两个不同的解，画出的图象如下所示：依题意可得时，函数的图象与直线恰有两个不同交点，故答案为：【题目点拨】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．13、3【解题分析】

根据图象看出周期、特殊点的函数值，解出待定系数即可解得.【题目详解】由图可知：解得又因：所以又因：即所以又所以又因：所以即所以所以所以故得解.【题目点拨】本题考查由图象求正切函数的解析式，属于中档题。14、0.4【解题分析】

根据几何概型的计算，反求阴影部分的面积即可.【题目详解】设阴影部分的面积为，根据几何概型的概率计算公式：，解得.故答案为：.【题目点拨】本题考查几何概型的概率计算公式，属基础题.15、9【解题分析】

分析数列的单调性，以及数列各项的取值正负，得到数列中的最大项，由此即可求解出的值.【题目详解】因为，所以时，，时，，又因为在上递增，在也是递增的，所以，又因为对任意正整数都有，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查数列的单调性以及数列中项的正负判断，难度一般.处理数列单调性或者最值的问题时，可以采取函数的思想来解决问题，但是要注意到数列对应的函数的定义域为.16、【解题分析】

先将转化为余弦的二倍角公式,再用最小正周期公式求解.【题目详解】解：最小正周期为.故答案为【题目点拨】本题考查二倍角的余弦公式,和最小正周期公式.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解题分析】

（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得和的值，可得的值（2）由题意利用二倍角公式，求得原式子的值．【题目详解】（1）∵已知，，，∴则（2）【题目点拨】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．18、（1）；（2）8.【解题分析】

(1)首先利用正弦定理边化角，再利用余弦定理可得结果；（2）利用面积公式和余弦定理可得结果.【题目详解】（1）因为，所以，则，因为，所以.（2）因为的面积为，所以，即，因为，所以，所以.【题目点拨】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.19、（1）；（2）；（3）.【解题分析】

利用诱导公式，对每一道题目进行化简求值.【题目详解】（1）原式.（2）原式.（3）原式.【题目点拨】在使用诱导公式时，注意“奇变偶不变，符号看象限”法则的应用，即辅助角为的奇数倍，函数名要改变；若为的偶数倍，函数名不改变.20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据频率分布直方图得出该公司月收入在元到元的员工所占的频率，再乘以可得出所求结果；（2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得的积全部相加可得出该公司员工月收入的平均数.【题目详解】（1）根据频率分布直方图知，该公司月收入在元到元的员工所占的频率为：，因此，该公司月收入在元到元之间的人数为；（2）据题意该公