第八章立体几何一初步8.4.1平面

第八章立体几何一初步

班级：姓名：

一、基础巩固

1.下列命题的符号语言中，不是公理的是（）

A.a.La,b工a=a.〃b

B.Pea,且Pe4nap|#=/,且Pw/

C.Ael,Bwl,且Aea,Bea=/ua

D.a//b、a//c=b//c

【答案】A

【详解】

A不是公理，

在3中，由公理三知：如果两个不重合的平面有•个公共点，那么它们有且只有…条过该点的公共直线,

故3是公理.

在C中，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故C是公理；

在。中，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故。是公理；

2.如图所示，用符号语言可表达为（）

A.n<za,Aum,Au”B.a-m,nea,Aem,Aen

C.ncza,m[}n-AD.a[\p-m,nea,m[}n-A

【答案】C

【详解】

结合图形可以得出平面a,耳相交于一条直线小,直线〃在平面a内，直线机〃相交于点A,

结合选项可得C正确；

3.如图所示，正方体ABC。—AgGA中，分别为棱A8,C£的中点，则在平面AORA内与平面

REF平行的直线（）

A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条

【答案】D

【详解】

平面AOAA与平面AE尸有公共点A，

由公理3知平面ADD^与平面D.EF必有过D,的交线I,

在平面AOQA内与/平行的直线有无数条，

且它们都不在平面〃石尸内，

山线面平行的判定定理可知它们都与平面JEF平行.

4.下列说法正确的是（）

A.任意三点确定一个平面

B.梯形一定是平面图形

C.平面。和，有不同在一条直线上的三个交点

D.一条直线和一个点确定一个平面

【答案】B

【解析】

A选项，不共线的三点确定一个平面，A错.

C选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，C错.

D选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面.

B选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，故B对，

5.如图，四棱锥尸―ABC。，ACC\BD^O,M是PC的中点，直线AM交平面尸8。于点N,则

下列结论正确的是（）

A.O,N,P,M四点不共面B.四点共面

C.O,N,M三点共线D.P,N,。三点共线

【答案】D

【详解】

内线AC与直线P0交于点0,所以平面PCA与平面PBD交于点0,所以必相交于H线PO,直线AM在

平面PAC内，点NeAM故Ne面PAC，故O,N,P,M四点共面，所以A错.

点D若与M,N共面，则直线BD在平面PAC内，与题目矛盾，故B错.

O,M为中点，所以OM//PA,ONcPA=P,故ONcOM=O,故C错.

6.下列图形中不一定是平面图形的是（）

A.三角形B.平行四边形

C.梯形D.四边相等的四边形

【答案】D

【详解】

利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形，

而四边相等的四边形可能是空间四边形不一定是平面图形.

7.在空间四边形A8CD的各边AB、BC、CD、上的依次取点£、F、G、H,若EH、FG所在直

线相交于点P，则（）

D

A.点p必在直线AC上B.点p必在直线BD上

C.点。必在平面。外D.点P必在平面ABC内

【答案】B

【详解】

如图：连接E”、FG、BD,

,:EH、FG所在直线相交于点P,

:.PGEH且PGFG,

•.'E”u平面ABD,尸Gu平面BCD,

.♦./隹平面48。，且昨平面BCO,

由•平面A8OD平面BCD=BD,

:.PRBD,

故选艮

8.平面a上有不共线的三点到平面£的距离相等，则a与£的位置关系为（）

A.平行B.相交C.平行或相交D.垂直

【答案】C

【详解】

由题意，若•:点分布在平面夕的同侧，此时平面a//平面用；

若三点分布于平面夕的两侧时，此时平面a与平面厂相交，

综上可知，平面a与平面/平行或相交，故选C.

9.如图，在正方体A8CD-A向中，E为棱的中点，用过点A,E，G的平面截去该正方体的上

半部分，则剩余几何体的侧视图为（）

【答案】c

【详解】

取。A中点/，连接AEGE平面AEGE为截面.如下图:

10.在正方体ABC。—A4aA中，p＞。，R分别是AB，AD，GA的中点，那么正方体过p,Q,

R的截面图是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】D

【详解】

解：延长PQ交CD的延长线与E,连£7?交于T厕T为。口的中点,

延长77?交CG的延长线与F，延长QP交CB的延长线与G.

连接FG交BB］于M，交4G于S，则易得M.S分别为明,B.C,的中点,

连接QrRS,PM，则截面为正六边形PQTRSM为所求截面.

如图所示：

11.如图所示，ABCQ—4B/C/D/是长方体，。是B/D的中点，直线4c交平面A8/。/于点M,则下列结

论正确是（）

BA

A.A,M,。三点共线B.A,M,O,A/不共面

C.A,M,C,。不共面D.B,Bi,O,例共面

【答案】A

【详解】

连接4。，AC,则4/C/〃AC,

'.Ai,Ci,A,C四点共面，

，A/Cu平面ACC/4,

'：M&AiC,平面ACC/A/,又Md平面AB/。/,

在平面ACC/4与平面的交线上，

同理O在平面ACC/Ai与平面AB/Di的交线上.

.♦.A,M,。三点共线.

12.下列说法中正确的个数是（）

①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；

②平行四边形可以确定一个平面；

③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；

④若A挝%A（3,且则A在/上.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】

对于①，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故①不正确;

时于②，平行四边形两组对边分别平行，则平行四边形是平面图形，故②正确：

对于③，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故③不正确;

对于④，由公理可得，若Awa,AG/3,ac/3=l,则Ae/,故④正确.

二、拓展提升

13.如图所示，在空间四面体A3CO中，民尸分别是AB，AD的中点，G,“分别是3C,CO上的点,

(1)E,EG,H四点共面;

（2）直线FH,EG,AC共点.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】

（1）连接班'，GH,;E,f分别是ABA£＞的中点，.•.£/〃如.

又,；CG=LBC,CH=LDC,;.GH〃BD,..EFIIGH,;.E,F,G,H四点共面.

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（2）易知F"与直线AC不平行，但共面，，设"7cAC=M，则MG平面EFHG,Me平面ABC.

•.•平面EFHGc平面ABC=EG，r.MwEG，.•.直线FH,EG,AC共点.

14.已知A是4BCD平面外的一点，E,F分别是BC,AD的中点.

A

(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若ACJ_BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.

【答案】(1)证明见解析；(2)45。.

【详解】

(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以

A、B、C、D在同一平面内，这与A是4BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.

(2)解：取CD的中点G,连结EG、FG,则EG〃BD,所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线

EF与BD所成的角.在RtZ\EGF中，由EG=FG=上AC,求得NFEG=45。，即异面直线EF与BD所成

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的角为45。.

15.如图所示，在正方体ABC。—A4G。中，E