安徽省亳州市重点中学2023-2024学年高二上学期全市统考第一次模拟考试数学试卷(含答案)

亳州重点中学2023~2024学年高二第一学期全市统考第一次模拟考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则（

）A．10 B．8 C．6 D．42．已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（

）A． B． C． D．3．某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率为（

）A． B． C． D．4．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体．其直观图如图所示，，，、、、分别是棱、、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）

A． B． C． D．5．已知圆：与圆：相内切，则（

）A．11 B． C．9 D．6．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（

）A．B．C． D．7．双曲线C：（）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的渐近线方程为（

）A．B．C． D．8．阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面．过点且一个法向量为的平面的方程可表示为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（

）A．所有奇数项的二项式系数和为 B．二项式系数最大的项为第7项C．所有项的系数和为 D．有理项共5项10．下列四个命题中正确的是（

）A．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底B．是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则C．已知向量，，则在方向上的投影向量为D．为空间中任意一点，若，且，则，，，四点共面11．已知直线和圆，则（

）A．直线过定点B．直线与圆有两个交点C．存在直线与直线垂直D．直线被圆截得的最短弦长为12．设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（

）A．直线AB与OM垂直B．若点M坐标为，则直线方程为C．若直线方程为，则点M坐标为D．若直线方程为，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，且与平行，则．14．已知点，圆的半径为1，圆心是直线和直线的交点.若过点的直线与圆有公共点，则直线斜率的取值范围为．15．现有，，，，五人排成一列，其中与相邻，不排在两边，则共有种不同的排法（用具体数字作答）．16．在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为．解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（本小题满分10分）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点．(1)点到直线的距离；(2)求点到平面的距离．（本小题满分12分）已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的点M(1,m)(1)求C的方程；(2)若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程．（本小题满分12分）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；(2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；(3)计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数．（本小题满分12分）(1)求除以15的余数；(2)若，求的值；(3)求展开式中系数最大的项．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，，平面，为线段上的一点．(1)证明：平面平面；(2)当与平面所成的角的正弦值最大时，求平面与平面夹角的余弦值．（本小题满分12分）已知椭圆，直线，过右焦点的直线(不与轴重合)与椭圆交于两点，过点作，垂足为．(1)求证：直线过定点，并求出定点的坐标；(2)点为坐标原点，求面积的最大值．数学参考答案一、单选题1．【答案】A【详解】因为点关于平面的对称点为，所以，则.2．【答案】C【详解】.3．【答案】B【详解】先在5名同学中选出2名同学分配到一个社区，有种分配方法，再将另外3人分配到3个社区且每个社区各1人，则共有（种）分配方法，其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有（种），则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率为.4．【答案】B【详解】在正方体中，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

因为，，则、、、，所以，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值是.5．【答案】B【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，显然点在圆外，由圆与圆相内切，得，于是，解得，所以.6.【答案】D【详解】由直线，变形可得，由，解得，可得直线恒过定点，则，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为，直线倾斜角的取值范围为.7．【答案】C【详解】依题意，点，设点，则，显然，即，由直线AP，AQ的斜率之积为，得，解得，所以双曲线C的渐近线方程为.，所以异面直线与所成角的余弦值是.8．【答案】A【详解】平面的方程为，∴平面的法向量可取，平面的法向量为，平面的法向量为，设两平面的交线的方向向量为，由，令，则，，所以，设直线与平面所成角的大小为，则.二、多选题9．【答案】ABD【详解】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故A正确；由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故B正确；令，得所有项的系数和为，故C错误；因为展开式通项为，当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确．10．【答案】AD【详解】对于A，假设共面，则存在，使得，则，因为是空间的一组基底，即不共面，与矛盾，所以不共面，则也是空间的一组基底，故A正确；对于B，当时，满足，但直线不平行于平面，故B错误；对于C，因为，，则在方向上的投影向量为，故C错误；对于D，由空间向量基本定理的推论可知：若，且，则，，，四点共面，故D正确.11．【答案】ABC【详解】对A，由可得，，令，即，此时，所以直线l恒过定点，A正确；对B，因为定点到圆心的距离为，所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，B正确；对C，因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，即，此时直线l与直线垂直，满足题意，C正确；对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为，此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误．12．【答案】ACD【详解】对于A：设,则，相减可得，所以，故A错误；对于B：根据，，所以，所以直线方程为，即，故B正确；对于C：若直线方程为，点，则，所以C错误；对于D：若直线方程为，与椭圆方程联立，得到，整理得：，解得，所以，故D错误．三、填空题13．【答案】【详解】，，因为与平行，所以当时，，解得；当时，，.14．【答案】【详解】由题得圆心在直线和直线上.则联立，解得，即圆心的坐标为.故圆的方程为.故设过点的直线方程为：，即,由直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足，解得.15．【答案】24【详解】将捆绑，则除以外其他四人的排序有种，又不排在两边，所以可选的位置有两种，所以共种排法.16．【答案】或【详解】建立空间直角坐标系如图所示，

设棱长为1，则，，设平面，平面的一个法向量分别为，所以，，即，，分别令，则，故，设二面角的平面角为，则，故，故由，解得或.四、解答题17．【详解】（1）由题设四边形为菱形，都为等边三角形，连接，所以为等边三角形，若为中点，连接，则，又面面，面面，面，所以面，2分又因为，所以两两垂直3分故可构建空间直角坐标系，如下图示，则，所以，4分5分所以点到直线的距离为.6分（2）由（1）知，若是面的一个法向量，则，取，则，8分所以点到平面的距离.10分【详解】（1）由题意得：，1分解得，2分所以抛物线的方程为4分（2）当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，当时，，此时，不合题意，舍去；5分则直线l的斜率存在，设直线方程为，，与抛物线方程联立，消去得，6分因为焦点在抛物线内部，且直线斜率存在，并且不为0，则该直线与抛物线必有两交点，由韦达定理得，所以弦长：，8分解得，即，10分所以直线l的方程为：12分19．【详解】（1）解：第一步，先将另外四门课排好，有种情况；第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况；所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种；4分（2）解：第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况；第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况；第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；因此，所有选课种数为.8分（3）解：①当A只任教1科时：先排A任教科目，有种；再从剩下5科中排B的任教科目，有种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；所以当A只任教1科时，共有种；②当A任教2科时：先选A任教的2科有中，这样6科分为4组共有种，所以，当A任教2科时，共有种，综上，A不任教“围棋”的课程安排方案有1140种．12分20．【详解】（1）（1），除以15的余数为4.4分（2）由已知得，令，得，①5分令，得，②6分联立①②得，.7分令，得，所以8分（3）的展开式通项为，9分由不等式组，解得.10分因为，所以，，11分因此，展开式中系数最大的项为.12分21．【详解】（1）证明：由底面是菱形可知，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，由于平面，可得平面平面；5分（2）连结，过点作的垂线，垂足为，连结，由（1）可得，又，且平面，所以平面；易知为与平面所成的角，，因为为定值，且，所以当点为的中点时，取得最小值，此时取得最大值；8分以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：又底面是菱形，，所以，则，点为的中点，所以，，设平面的一个法向量为，