2024届广东省河源市龙川县隆师中学高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

2024届广东省河源市龙川县隆师中学高一数学第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．直线与直线平行，则（）A． B．或 C． D．或2．在中，，，，则B等于（）A．或 B． C． D．以上答案都不对3．设非零向量，满足，则（）A． B． C．// D．4．点、、、在同一个球的球面上，，.若四面体的体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．5．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．6．若向量，，则在方向上的投影为（）A．-2 B．2 C． D．7．若三点共线，则（）A．13 B． C．9 D．8．定义在上的函数若关于的方程(其中)有个不同的实根,,…,,则（）A． B． C． D．9．下列结论：①；②；③，；④，，其中正确结论的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．410．已知直线yx+2，则其倾斜角为（）A．60° B．120° C．60°或120° D．150°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，对于下列说法：①要得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度即可；②的图象关于直线对称：③在内的单调递减区间为；④为奇函数.则上述说法正确的是________（填入所有正确说法的序号）.12．若复数z满足z⋅2i=z2+1（其中i13．用数学归纳法证明时，从“到”，左边需增乘的代数式是___________.14．数列定义为，则_______.15．已知为等差数列,,前n项和取得最大值时n的值为___________.16．空间一点到坐标原点的距离是_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角的对边分别为.已知（1）若，，求的面积；（2）若的面积为，且，求的值.18．在三棱锥中，平面平面，，，分别是棱，上的点（1）为的中点，求证：平面平面.（2）若，平面，求的值.19．△ABC的内角A，B，C所对边分别为，已知△ABC面积为.（1）求角C；（2）若D为AB中点，且c=2，求CD的最大值.20．若数列满足：存在正整数，对任意的，使得成立，则称为阶稳增数列.（1）若由正整数构成的数列为阶稳增数列，且对任意，数列中恰有个，求的值；（2）设等比数列为阶稳增数列且首项大于，试求该数列公比的取值范围；（3）在（1）的条件下，令数列（其中，常数为正实数），设为数列的前项和.若已知数列极限存在，试求实数的取值范围，并求出该极限值.21．请解决下列问题：（1）已知，求的值；（2）计算.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

两直线平行，斜率相等；按，和三类求解.【题目详解】当即时，两直线为，，两直线不平行，不符合题意；当时，两直线为，两直线不平行，不符合题意；当即时，直线的斜率为，直线的斜率为，因为两直线平行，所以，解得或，故选B.【题目点拨】本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.2、C【解题分析】试题分析：由正弦定理得，得，结合得，故选C．考点：正弦定理.3、A【解题分析】

根据与的几何意义可以判断.【题目详解】由的几何意义知，以向量，为邻边的平行四边形为矩形，所以.故选：A.【题目点拨】本题考查向量的加减法的几何意义,同时，本题也可以两边平方，根据数量积的运算推出结论.4、D【解题分析】

根据几何体的特征，小圆的圆心为，若四面体的体积取最大值，由于底面积不变，高最大时体积最大，可得与面垂直时体积最大，从而求出球的半径，即可求出球的表面积．【题目详解】根据题意知，、、三点均在球心的表面上，且，，，则的外接圆半径为，的面积为，小圆的圆心为，若四面体的体积取最大值，由于底面积不变，高最大时体积最大，所以，当与面垂直时体积最大，最大值为，，设球的半径为，则在直角中，，即，解得，因此，球的表面积为.故选：D.【题目点拨】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体体积取最大值，是解答的关键．5、A【解题分析】

连结，由，可知异面直线与所成角是，分别求出，然后利用余弦定理可求出答案.【题目详解】连结，因为，所以异面直线与所成角是，在中，，，，所以.故选A.【题目点拨】本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题.6、A【解题分析】向量，，所以，||=5，所以在方向上的投影为=-2故选A7、D【解题分析】

根据三点共线，有成立，解方程即可.【题目详解】因为三点共线，所以有成立，因此，故本题选D.【题目点拨】本题考查了斜率公式的应用，考查了三点共线的性质，考查了数学运算能力.8、C【解题分析】画出函数的图象，如图，由图可知函数的图象关于对称，解方程方程，得或,时有三个根，，时有两个根，所以关于的方程共有五个根，，,故选C.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．9、A【解题分析】

根据不等式性质，结合特殊值法即可判断各选项.【题目详解】对于①，若，满足，但不成立，所以A错误；对于②，若，满足，但不成立，所以B错误；对于③，，而，由不等式性质可得，所以③正确；对于④，若满足，但不成立，所以④错误；综上可知，正确的为③，有1个正确；故选：A.【题目点拨】本题考查了不等式性质应用，根据不等式关系比较大小，属于基础题.10、B【解题分析】

根据直线方程求出斜率，根据斜率和倾斜角之间的关系即可求出倾斜角．【题目详解】由已知得直线的斜率，则倾斜角为120°，故选：B．【题目点拨】本题考查斜率和倾斜角的关系，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、②④【解题分析】

结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案.【题目详解】①要得到的图象，应将的图象向左平移个单位长度，所以①错误；②令，，解得，，所以直线是的一条对称轴，故②正确；③令，，解得，，因为，所以在定义域内的单调递减区间为和，所以③错误；④是奇函数，所以该说法正确.【题目点拨】本题考查了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换，考查了学生对的图象与性质的掌握，属于中档题.12、1【解题分析】设z=a+bi,a,b∈R，则由z⋅2则-2b=a2+b2+12a=013、.【解题分析】

从到时左边需增乘的代数式是，化简即可得出．【题目详解】假设时命题成立，则，当时，从到时左边需增乘的代数式是．故答案为：.【题目点拨】本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．14、【解题分析】

由已知得两式，相减可发现原数列的奇数项和偶数项均为等差数列，分类讨论分别算出奇数项的和和偶数项的和，再相加得原数列前的和【题目详解】两式相减得数列的奇数项，偶数项分别成等差数列，，，，数列的前2n项中所有奇数项的和为：，数列的前2n项中所有偶数项的和为：【题目点拨】对于递推式为，其特点是隔项相减为常数，这种数列要分类讨论，分偶数项和奇数项来研究，特别注意偶数项的首项为，而奇数项的首项为.15、20【解题分析】

先由条件求出，算出，然后利用二次函数的知识求出即可【题目详解】设的公差为，由题意得即，①即，②由①②联立得所以故当时，取得最大值400故答案为：20【题目点拨】等差数列的是关于的二次函数，但要注意只能取正整数.16、【解题分析】

直接运用空间两点间距离公式求解即可.【题目详解】由空间两点距离公式可得：.【题目点拨】本题考查了空间两点间距离公式，考查了数学运算能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）．【解题分析】

（1）先根据计算出与，再利用余弦定理求出b边，最后利用求出答案；（2）利用正弦定理将等式化为变得关系，再利用余弦定理化为与的关系式，再结合面积求出c的值．【题目详解】解：（1）因为，所以．又，所以．因为，，且，所以，解得，所以．（2）因为，由正弦定理，得．又，所以．又，得，所以，所以．【题目点拨】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题．18、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

（1）根据等腰三角形的性质，证得，由面面垂直的性质定理，证得平面，进而证得平面平面.（2）根据线面平行的性质定理，证得，平行线分线段成比例，由此求得的值.【题目详解】（1），为的中点，所以.又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）∵平面，面，面面∴，∴.【题目点拨】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查线面平行的性质定理，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19、（1）（2）【解题分析】

（1）根据，由正弦定理化角为边，得，再根据余弦定理即可求出角C；（2）由余弦定理可得，又，结合基本不等式可求得．由中点公式的向量式得，再利用数量积的运算，即可求出的最大值．【题目详解】（1）依题意得，，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，又因为，所以.（2）∵，，∴，即．∵为中点，所以，∴当且仅当时，等号成立.所以的最大值为．【题目点拨】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形，以及利用中点公式的向量式结合基本不等式解决中线的最值问题，意在考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于中档题．20、（1）；（2）；（3）.【解题分析】

（1）设，由题意得出，求出正整数的值即可；（2）根据定义可知等比数列中的奇数项构成的等比数列为阶稳增数列，偶数项构成的等比数列也为阶稳增数列，分和两种情况讨论，列出关于的不等式，解出即可；（3）求出，然后分、和三种情况讨论，求出，结合数列的极限存在，求出实数的取值范围.【题目详解】（1）设，由于数列为阶稳增数列，则，对任意，数列中恰有个，则数列中的项依次为：、、、、、、、、、、、、、、、、，设数列中值为的最大项数为，则，由题意可得，即，，解得，因此，；（2）由于等比数列为阶稳增数列，即对任意的，，且.所以，等比数列中的奇数项构成的等比数列为阶稳增数列，偶数项构成的等比数列也为阶稳增数列.①当时，则等比数列中每项都为正数，由可得，整理得，解得；②当时，（i）若为正奇数，可设，则，由，得，即，整理得，解得；（ii）若为正偶数时，可设，则，由，得，即，整理得，解得.所以，当时，等比数列为阶稳增数列.综上所述，实数的取值范围是；（3），由（1）知，则.①当时，，，则，此时，数列的极限不存在；②当时，，，上式下式得，所以，，则.（i）若时，则，此时数列的极限不存在；（ii）当时，，此时，数列的极限存