测量平差重点内容个人总结

测量平差重点内容个人总结

测量平差教案

绪论

第一节观测误差本章主要介绍偶然误差的规律性、衡量精度的指标、

协方差传播律、权的定义及测量中常用的定权方法等

例子回顾：导线计算表

一、观测值中为什么存在观测误差？

观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。

有观测就有误差的结论。测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素

是引起误差的主要来源。通常把这三方面的因素合起来称为观测条件。观

测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。

二、观测误差的计算

给出观测误差计算的纯量表达式和矩阵表达式。

三、观测误差的分类及其处理

1、分类

给出误差分类的表达式，粗差、系统误差和偶然误差的定义。

?系统误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、

符号上表现出系统性，或者

在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差

称为系统误差。简言之，符合函数规律的误差称为系统误差。

?偶然误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小

和符号上都表现出偶然性，即

从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的

总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。简言之，符合

统计规律的误差称为偶然误差。

1

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2、处理

在测量学里，偶然误差处理是按照边长比例分配或直接平均分配。平

差里则用平差的方法来处理，所处理的是一系列带有偶然误差的观测值,

不包括系统误差的影响。

四、测量平差的任务

根据一系列含有观测误差的观测值求待定量的最佳估值。

第二节测量平差学科的研究对象

研究对象为含有观测误差的各类观测值。举例说明。

第三节测量平差的简史和发展

一、测量平差理论的发展

1、经典平差理论的发展

主要介绍高斯创立最小二乘原理和马尔可夫创立高斯-马尔可夫平差

模型的历史背景和过程。

2、近代平差理论的发展

主要介绍二十世纪四十年代以后出现的近代平差理论，结合导线网平

差和我国南极考察、建站，重点介绍方差分量估计和秩亏网平差的理论、

方法及其用途。

二、平差计算方法的发展

1、手算阶段

2、半自动平差阶段

3、全自动平差阶段

第四节测量平差的任务和内容

一、任务

讲授测量平差的基本理论和基本方法，为进一步学习和研究测量平差

打下深入的基础。

二、内容

课本各章的内容。

小结：本节介绍了观测条件的定义，观测条件与观测误差的关系，观

测误差的定义、处理，以及测量平差的发展概况。

第二章误差分布与精度指标

第一节正态分布

一、一维正态分布

绘一维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。

二、n维正态分布讲解

绘n维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。

第二节偶然误差的规律性

一、偶然误差分布

1、描述误差分布的三种方法

（1）列表法（通过实例列表讲解）

（2）绘图法（通过实例绘图讲解）

（3）密度函数法（通过实例绘图讲解）

二、偶然误差的分布特性

（1）在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。（界限

性）

（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。（小误差

占优性）

（3）绝对值相等的正负误差出现的概率相等。（对称性）

三、两个重要概念

2

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（1）由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值

（2）由偶然误差的对称性知观测量的期望值就是其真值。

小结：偶然误差有其统计规律，研究偶然误差的分布规律是为了更好

的研究偶然误差的处理问题。

第三节衡量精度的指标；

第四节精度、准确度与精确度；第五节测量不确定度

一、精密度指标

（-）观测量的精密度指标

1、观测条件与精密度

配合误差分布曲线讲解精密度的定义和观测条件与精密度的关系。

2、几种常用的精密度指标

(1)方差与标准差

推导相应公式，给出其估值公式，讲解应用实例

(2)极限误差

分析误差出现在某一范围内的概率的大小，给出极限误差定义公式

(3)相对误差

给出相对精度的定义，用实例讲解其应用范围。

(4)平均误差与或然误差

给出平均误差和或然误差的定义，讲解其在国际上应用的范围和地区,

以及其与中误差的关系。

(二)观测向量的精度指标

1、n维随机向量的方差阵

导出n维随机向量的方差阵表达形式，指出该阵是对称矩阵，并讲解

矩阵中各元素的含义，同时给出当n维随机向量中各随机变量不相关时的

矩阵形式。

2、两随机向量的互协方差阵

导出两个随机向量互协方差阵表达形式，并讲解矩阵中各元素的含义,

同时给出当维随机向量不相关时的矩阵形式。

二、准确度和精确度指标

分别给出准确度和精确度的定义，及其数值指标，绘图讲解其几何意

义。

三、测量不确定度

给出测量数据的不确定性、不确定度的概念，可测不确定度的计算方

法，不可测不确定度的估计方法。小结：精度指标分为精密度指标、准

确度指标和精确度指标三种，观测成果的质量应用精确度指标衡量，精密

度指标中的方差、极限误差、相对误差几个指标应重点掌握。

第三章协方差传播律及权

第一节数学期望的传播律

E(C)?C;

E(CX)?CE(X);

E(Xl?X2???Xn)?E(Xl)?E(X2)???E(Xn);

当Xi相互独立时(i=1,2,…,n),

E(Xl,X2,?,Xn)?E(Xl)E(X2)?E(Xn)

3

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第二节协方差传播律

协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。

一误差的传递

1、线性函数误差的传递

Y?flxl?f2x2?...?fnxn?f0

?Y?fl?xl?f2?x2?...?fn?xn

推导上述公式，讲解式中符号的含义

2、非线性函数误差的传递

Y?f?xlx2...xn?

?Y?fl?xl?f2?x2?...?fn?xn

推导上述公式，讲解式中符号的含义

3、函数向量误差的传递

Y=FX+FO

Y=F(X)

△Y=FAX

讲解式中符号的含义，强调矩阵表达式与纯量表达式之间的相互表式

二、协方差的传递

1、基本公式

函数向量

Y=F(X)

Z=K(X)

其误差向量为

△Y=FAX

△Z=KAX

则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为

DT

Y7FDXF?

DKDT?

Z?XK??

DYZ?FDT?XK?

DZY?KDT?XF??

证明第一、第三式，并说明同理可证二、四式。

2独立观测量函数的方差传递

?2

Y7FDFT222

X?f?2221?l?f22?...?fl?n

讲解式中符号的含义，说明公式应用的条件，强调公式的重要性。4

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3、分块向量函数向量的方差传递

??XZ??t,l

t?r,l?Y??r,l??????

?DX?t,tDZ???D?YX??r,tDXY??t,r?DX??r,r??

证明上式，对阵中元素加以说明，给出两向量不相关时该矩阵的形式。

通过五个典型例题的讲解说明方差-协方差传播公式的应用方法和计

算中需注意的问题。

小结：协方差传播律是观测值（向量）与其函数（向量）之间精度传递的规

律，用其解决观测值函数（向量）的精度评定问题。本节重点是利用协方

差传播律解题的方法和步骤，以及只有一个观测值函数，且观测值之间不

相关时的协方差传播公式的应用。

第三节协方差传播律的应用

1、水准测量的精度

绘制具有N个测站的水准高差示意图，应用协方差传播公式导出高差

中误差计算公式:

?h?N?站?

进一步导出S公里观测高差的中误差计算公式：

?h?S?km?

举例说明公式的应用。

2、同精度独立观测值的算数平均值的精度

由算术平均值公式，应用协方差传播公式导出其中误差计算公式

?x??

N

举例说明公式的应用。

3、若干独立误差的联合影响

?z??l??2????n

222?Z??12??2????n

即观测结果的方差，等于各独立误差所对应的方差之和。

4、平面控制点的点位精度

绘支导线略图，求未知点点位中误差，用两种方法求解。

解法一：

（1）、列函数式

（2）线性化

（3）应用协方差传播公式计算坐标方差

（4）计算点位方差

5

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解法二：利用纵向方差和横向方差进行计算。

小结：本节的重点内容为水准测量高差和同精度独立观测算数平均值

的精度计算问题，应熟记计算公式，能熟练应用公式进行相关计算。

第四节权与定权的常用方法

一、权的定义

权是衡量各观测值在平差结果中应起作用大小的数值。

P?i?20

2

i?i?l,2,...,n?

2Pi为观测值Li的权，?0是可以任意选定的比例常数。

观测值的权与观测值的方差成反比。

二、单位权方差

权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。确定一组

权时，只能用同一个令则得：

P???l??i202

i2020

上式说明?0是单位权（权为1）观测值的方差，简称为单位权方差。凡

是方差等于?0的观测值，其权必等于1。权为1的观测值，称为单位权观

测值。无论?0取何值，权之间的比例关系不变。

举例（例⑴、例⑵）讲解。222

三、测量中常用的定权方法

1、水准测量的权

（1）、用测站数定权（山地、起伏较大的丘陵）

利用用测站数计算高差中误差的公式和权的定义式导出利用测站数

定权的公式。

Ph?CN

解释式中符号的含义。

（2）、用路线长度定权（平地）

利用用路线长度计算高差中误差的公式和权的定义式导出利用路线

长度定权的公式。

Ph?CS

解释式中符号的含义。

举例（例13）、例⑷、例⑸）讲解。

2、距离量测的权

距离长度可通过钢尺丈量或测距仪测距得到。下面分别讨论两种情况

下的定权方法。

1）钢尺量距的权

PS?CS

解释式中符号的含义。

2）测距仪测距的权

6

测量平差教案

P??S202

S

?S??标称+?标称S?10-6

解释式中符号的含义。

3、等精度观测算术平均值的权

利用等精度独立观测值算术平均值的方差计算公式和权的定义式导

出利用观测次数定权的公式

PS?nC

说明公式中符号的含义。

小结：权是用来衡量观测成果的相对精度的，单位权方差可以根据计

算方便任意选定，但观测值之间的比例关系不变。水准测量的权与测站数

或路线长度成反比；钢尺量测的权与距离长度成反比，光电测距的权用定

义式计算，其中测距方差由固定误差和比例误差两项组成；等精度算术平

均值的权与观测次数成正比。应熟记定权公式，明确公式中各符号的含义,

掌握利用公式解题的方法。

第五节协因数和协因数传播律

一、协因数

定义协因数

Q??2

iii20?l/pii?l,2,...,n

权可表示为

P?Qiii

方差和标准差可表式为

?2

i??0?Q,2ii???i0ii

二、协因数阵

1、n维随机向量X的协因数阵

定义互协因数：

Q??ijij20

利用方差协方差与协因数弧协因数的关系导出协因数阵

?Q?11

?????对称?QX?1?2ODQQ1222.......QQX???2n...??Qnn??ln

上式矩阵中，Qij?Qjio当Qij=0(iWj)时，则Xi和Xj互不相关。

2、分块向量的协因数阵

?X?Z????Y?

Q

X?Q??X??QYXQQXYY????7

测量平差教案

式中，QX、QY分别为X、Y向量的自协因数阵，而QXY、QYX分别为

X向量关于Y向量的互协因数阵,QXY与QYX互为转置。当QXY等于零时，

表示X、Y互不相关。

三、权阵

?Q?11

?1?Q?Q??21

?Q?nlPQQQ1222...m2?PllQln???...Q?2n??P21??.........??...Q??Pnl?nn?

...71PPP1222……

n2??...2n??...?...Pnn??lnPP

观测值的权一般要通过对权阵求逆得到协因数阵，再利用权与协因数

的倒数关系求权。当权阵为对角阵时，P?Piii。

举例（例（1）、例（2））讲解、分析

四协因数传播律将协方差传播公式乘以?12,并顾及QY?012?0DY,

QX?12?0DX,即可得到观测向量X与其函数向量Y、Z

之间的协因数传播公式。

列出相应公式，以及只有一个函数，且观测值之间不相关时的协因数

传播公式。

举例（例13）、例⑷）讲解、分析

小结：权与协因数互为倒数关系，权阵与协因数阵互为逆阵关系，一

般情况下给了观测值的权阵求观测值的权要先求权阵的逆阵得到其协因

数阵，再利用权与协因数的关系求权；协因数传播律与协方差传播律公式

相仿，只记住其中一套公式，再记住协因数阵与协方差阵的关系即可。

第六节由真误差计算中误差及其实际应用

一、利用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式

利用协因数传播律导出利用不同精度的真误差计算单位权中误差的

基本公式

??0二、由真误差计算中误差的实际应用

1、由三角形闭合差计算测角中误差

利用协因数传播律导出由三角形闭合差计算测角中误差的公

式？？?WW3n

说明公式的不严密性。

2、利用双观测列之差求中误差

（1）求单位权中误差

利用协因数传播律导出利用双观测列之差求单位权中误差的公式

不等精度观测

??0等精度观测

??08

测量平差教案

说明公式中符号的含义。

（2）求双观测列单次观测的中误差

?L???L????OiilPi

（3）求双观测列平均值的中误差

利用协因数传播律导出相应公式

不等精度观测

???Oil2Pi

等精度观测

??1?_LO

i

水准测量双观测平差应用例题

小结：本节重点是利用双观测之差计算中误差的公式及其应用，该公

式在测量中应用广泛，应重点掌握。

第七节系统误差的传播

一、观测值的系统误差与综合误差的方差

1、观测值的系统误差一一偏差

导出偏差表达公式

2、观测值的综合误差方差一一可靠性

如果系统误差部分是偶然中误差部分的三分之一或更小时，则可将系

统误差的影响忽略不计。

二、系统误差的传播

导出传播公式

三、系统误差与偶然误差的联合传播

导出传播公式

小结：了解系统误差的传播规律。

第四章平差数学模型与最小二乘原理

第一节测量平差概述

一、测量控制网简介

1.高程控制网（水准网或三角高程网）

包括闭合水准网和符合水准网。

绘出三组不同网形的水准网。

网中元素：已知高程点，未知高程点和观测高差。

2.平面控制网

（1）三角网

根据观测量的不同，三角网分为测角三角网、测边三角网和边角同测三

角网。

1）测角三角网

包括独立三角网和符合三角网。

绘出一组不同网形的三角网。

网中元素：已知点，未知点和观测角度。

2）测边三角网

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测量平差教案

包括独立测边网和符合测边网。

绘出一组不同网形的测边网。

网中元素：已知点，未知点和观测边长。

3）边角三角网

包括独立边角网和符合边角网。

绘出一组不同网形的边角网。

网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。

（2）导线网

包括独立导线网和符合导线网。

绘出一组不同网形的边角网。

网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。

还有三维网、GPS控制网、航测控制网、工程专用网等将在后续相应

课程中介绍。

二、必要起算数据

确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据

①水准网（三角高程网）：一个已知点高程

②测站平差：一个已知方位

③测角网：一个已知点坐标，一个相邻已知方位，一个相邻已知边长

或两个相邻点坐标。

④测边网和边角网：一个已知点坐标，一个相邻已知方位。

各种控制网中少于等于必要起算数据的控制网成为独立网，多于必要

起算数据的控制网成为非独立网或附合网。

三、必要观测及其数目的确定

确定几何、物理模型的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，

其符号用符号t表示。

高程网：t=p-q-l

测站平差：

测角网：t=2p-q-4

测边网和边角网：t=2p-q-3

P：总点数或总方向数（测站平差）；q

四、多余观测及其数目的确定

必要观测之外的观测称为多余观测，其数目用符号r表示

多余观测数=观测总数一必要观测数（r=n-t）

五、必要观测和多余观测数目计算练习

计算图3-1至图3-7的必要观测数和多余观测数。

小结：本节介绍了测量控制网的类型，和各类控制网中应具备的必要

起算元素，必要观测元素，应重点掌握必要观测元素数和多余观测元素数

的计算。

第二节函数模型

1、条件平差法

~FL?Or,l??

2、间接（参数）平差法

~~L?F??X??

3、附有参数的条件平差法

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测量平差教案

~~FL,X?0c,l??

4、附有限制条件的间接（参数）平差法

~~?L?F??X??n,l?u;l???~?X?0?s;l???

用简单控制网图形举例说明。

第三节函数模型的线性化

设

~~F?F??L,X??c,l?n,lu,l?

用泰勒公式导出F的线性形式为

F?FL,X0?A??B-x

根据上述函数模型线性化过程，可将各种平差方法的函数模型线性化

条件平差法

A??W?0

式中A?

2、间接平差法

??B-x?l

式中B?

3、附有参数的条件平差法

A??B-x?W?O

式中W??FL,X

4、附有限制条件的间接平差法?F?XXO?LL??,W??F?L?,l?L?FX??,

0?0?,

??B-x?lc-x?W?Ox

式中

c??Xs,uXO,Wx???X??0

第四节测量平差的数学模型

1、各种平差方法的随机模型

n,n22D??0Q??0P?l

n?nn,n

2、各种平差方法的数学模型

各种平差方法函数模型的线性形式分别与平差的随机模型联立，即为

相应平差方法的数学模型。

小结：本次课所讲的各种平差方法的函数模型均能建立各观测值之间

的函数关系式，正确建立这种关系式，是正确求得观测值最可靠结果的前

提。

11

测量平差教案

第五节参数估计与最小二乘原理

一、引例

已知平面三角形三内角应满足

~~??LLL?180?00

123~

或

?????123?W?0

式中

W?18OO??L1?L1?L1?

上方程中有三个未知数，是相容方程，只能在某一准则下求得式中未

知数的估值。

二、最小二乘准则：

???TD?l??min

T顾及方差阵与权阵的关系，并用△的估值V代替△又可

得??VPV?min

观测量真值向量的估值公式为：

??L?VL

?称为观测向量的“最或然值”向量或“观测值的平差值”向量；V称

为改正数向量。式中L

三、最小二乘估计

根据最小二乘准则进行的估计称为最小二乘估计，按此准则求得一组

估值的过程，称为最小二乘平差，由此而得到的一组估值是满足方程的唯

一解。

如果方差阵D和权阵P是非对角阵，则表示观测值是相关的，按此准

则进行的平差即称为相关观测平差。如果是对角阵，则表示观测值是彼此

不相关的，此时称为独立观测平差。

当观测值不相关，即P为对角阵时，则有

??VPV??PV?PV?PV?...?PV?minT

i?l⑵121222n2nn

当观测值不相关，并为等精度，即P=l时，则有：

??VV??V?V?V?...?V?minT

i?12i21222nn

小结：最小二乘原理是测量平差的基本原理，按最小二乘准则求得的

观测量及其函数的结果是最可靠的结果，后续所讲所有平差方法均按此准

则求解。

第五章条件平差

第一节条件平差原理

一、条件方程和改正数条件方程

列出用观测值真值和真误差表示的条件平差函数模型

导出用按最小二乘准则求得的观测值平差值和观测值改正数表示的

条件平差的函数模型

12

测量平差教案

??0——条件方程FLr,lr,l

r,nn,l??AV?W?O——改正数条件方程r,l

W??F?L?——改正数条件方程常数项（闭合差）计算式举例（单三角

形函数模型的建立）

二、条件方程的纯量表达式和矩阵表达式r个条件方程的纯量表达式:

Fl??L?l,L?2,?,L????0?

FL?n

,L?,?,L??O?

212n????????????

FrL??

l,L?2,?,L?n?0??

线性化后得改正数条件方程

alvl?a2v2???anvn?wa?0?

b?

lvl?b2v2???bnvn?wb?0?

??????????????

?

rlvl?r2v2???rnvn?wr?0??

其中

wa??Fl?Ll,L2,?,Ln??

wb??F2?LlzL2,?,Ln???

?????????

?

wr??Fr?Ll,L2,?,Ln???

令

??ala2?an??wl??

Abb????vl???12?bn

?????,Wr,l??w?2??

??,Vn,l??v?2??

??

??

?rlrr?????

2?n??wr??vn?

则改正数条件方程及其闭合差计算的矩阵表达式分别为AV?W?O

W??F?L?

三、基础方程

按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为

Kr,l??kakb??VTPV?2KT?AV?W?,

对其求导整理得改正数V的计算公式

V?P?1ATK?QATK------改正数方程

kTr?,称为联系数向量。组成函数13?

测量平差教案

当P为对角阵时，改正数方程的纯量形式为

vi?pi?aika?bikb???rikr?,i?l,2,?,n

改正数条件方程与改正数方程联立，称为条件平差的基础方程。此时，

方程的个数与未知数的个数相同，方程有唯一解。

四、基础方程的解

将改正数方程代入改正数条件方程，得

AQATK?W?O,

令

Naa?AQAT?AP?lAT,

得

NaaK?W?O——联系数法方程

秩R?Naa??RAQA

?lK?NaaW?T??R?A??r,即Naa是个r阶的满秩方阵，由此解出

当P为对角阵时，法方程的纯量形式为

????????????????

?k?k???papbpkr?wr?O??k??k????k?w?O??k??k????k?w?O??papbprapapb

prb???

??L?V可求得平差值。解出K,将其代入改正数方程，求出改正数V,

在按L

五、条件平差步骤及示例

用具有两个条件的符合水准网为例讲解。

小结：本节应熟记条件方程，改正数条件方程，改正数条件方程闭合

差计算式，法方程，改正数方程的表达形式，掌握用条件平差法平差的方

法、步骤。

第二节条件方程

一、水准网（同§5.1中所述，略）

测角网

1.单三角形（同§5.1中所述，略）

2.中心多边形

以中心三边形为例，画出示意图，列出其条件方程和改正数条件方程

的一般表达式。

重点讲解极条件的列立方法和规律。

举例（中心三边形实例）列条件方程和改正数条件方程。

3、大地四边形

画出示意图，列出其条件方程和改正数条件方程的表达式。

14

测量平差教案

重点讲解极条件的列立方法和规律。

举例

上图中，若以对角线交点为极列极条件，其极条件闭合差超限，说明

角度观测存在问题，如何返工？先让让学生回答，然后教师讲解。

三、测边网

1.中心多边形

画出测边中心三边形示意图。

（1）列出以反算角表示的条件方程和改正数条件方程

（2）建立反算角改正数与边改正数之间的关系

（3）导出以边改正数表示的条件方程

2.大地四边形

画出测边大地四边形示意图。

（1）列出以反算角表示的条件方程和改正数条件方程

（2）建立反算角改正数与边改正数之间的关系

（3）导出以边改正数表示的条件方程

四、边角网

如图，t=2p-q-3=8-3-3=2,r=n-t=8-2=6

应列出6个条件方程

条件分析：内角和条件2个

正弦条件2个

固定角条件1个

规定边条件1个

边角网条件方程列立例题讲解分析。

小结：条件方程列立，首先应能正确确定应列的条件数目，保证方程

之间不相关，其次应能分析条件类型，最后应掌握各类方程的列立规律,

正确列出条件方程。

15

测量平差教案

第三节精度评定

、单位权方差估值计算

VTPV?O=?r2

VTPV的计算：

1、VPV=PlVl?P2V2???PnVn权阵为对角阵时

2、VPV?(QAK)P(QAK)?KAQPQAK?KNaaK

3、VPV?VP(QAK)?VAK?WK

二、协因数阵

设TTTTTTTTTTTTTT222??

ZT?LT?WTKTVT?TL?

列出各分块向量解的表达式及其微分式，利用协因数传播律导出各量

的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于相应表中

?与V、W、K的互协因数阵为零，说明L?与V、W、K统计不相关表

中L

证明：表中QVV、QL?L?的计算表达式。

三、观测值平差值的精度评定

2?0DLQL?L?=??L?

四、平差值函数的精度评定

1.平差值函数表达式及其协因数计算

列出平差值函数表达式

?,L?,??=f(L?12?,Ln)

按泰勒公式展开，并按协因数传播律导出平差值函数协因数的计算公

式

?lQ??=fTQf??AQf?NaaAQfT

fi（i=l,2,?,n）为偏导数值。

2.权函数式

=?d?dL12n??L??L??L???????L?l?L?L?2?L?L?n?L

??fdL????fdL?——权函数式=fldL122nn

3.平差值函数的方差

2?0D????=?Q????

16

测量平差教案

小结:本节主要介绍了利用改正数计算单位权中误差的公式，各种平差

量协因数和互协因数及方差协方差的计算，平差值函数式和权函数式的列

立方法，平差值函数协因数和互协因数及方差协方差的计算方法，应重点

掌握。

第六章附有参数的条件平差

一、概述

设X??ABD,又可列出1个极条件和一个固定边条件~

~~~~sinL5?L7sinXsinL6极条件为（以A点为极）:？1sinL9?XsinL6?L8sinL5??

固定边条件为（由AC边推算到AB边）：SAB7SAC

或~~~sinL2sinL6?L8sinL3sinX??

~~~SACsinL2sinL6?L8?lSABsinL3sinX??

由于选了一个参数，增加了一个条件，一般情况下，若选了u个参数，

则条件方程的数目为c=r+u.从以上5个方程出发进行平差，就是附有参数

的条件平差方法。

二、基础方程

~~??L?VX??XO?x?,用奇表示的附有参数的条件平差函数模型为观测

量L和X的最佳估值L,

?,X??0——条件方程FLr,lGl??

或

c,nn,l??W?O-------改正数条件方程AV?Bxc,uu,lc,l

OW??FL,X——改正数条件方程常数项（闭合差）计算

式？？

按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为K??kakb?kr?,称为联系

数向量。组成函数T

G1

??W?,??VTPV?2KT?AV?Bx

?分别求一阶导数，并令其为零，导出改正数V的计算公式将?对V

和x

17

测量平差教案

V?P?1ATK?QATK-------改正数方程

附有参数的条件平差的基础方程为：

c,nn,l??W?OAV?Bxc,uu,lc,l

?1TTV?PAK?QAK

BTK?O

方程的个数与未知数的个数相同，方程有唯一解。

三、基础方程的解

将改正数方程代入改正数条件方程，并令Naa?AQA?APA,则得法方程

T?1T

??W?0NaaK?Bx

BTK?O——法方程

秩R?Naa??RAQA

出

?lT?l??NbbxBNaaW,

?1??,?W?BxV?QATNaa?T??R?A??c,即Naa是个c阶的满秩方阵，顾

及Nbb?BNaaBT?l由法方程可解，

四、精度评定

（一）、单位权方差估值计算

VTPVVTPV?O=??rc-u2

VTPV的计算：

1、VPV=P1V1?P2V2???PnVn权阵为对角阵时T222??

??WK2、VPV?（QAK）PV?KAV?KW?KBx

TTT?lT?l?l?l??WTNaaW?BTNaaW3>

VPV?WK?WNaaW?WNaaBxTTTTTTT??T?x

（二）、协因数阵

设

ZT?LT?WT?TXKTVT?TL?

列出各分块向量解的表达式及其微分式，利用协因数传播律导出各量

的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于相应表中

证明：表中QX?X?、QVV的计算表达式。

18

测量平差教案

（三）、观测值平差值的精度评定

DL?L?=??2

OQL?L?

DX?X?=??2

OQX?X?

（四）、平差值函数的精度评定

设

X??

对其全微分，得权函数式：

?LdL??XdX?FTdL?FT

xdX?

式中

FT??????????

???L?L??

12?Ln??

FT????????

x??x?l?x????

2?x???

n

按协因数传播律得??的协因数为：

QT?

????=?FTF?

x??QL?L?QL?X?

?QX?L?Q???F??

X?X???Fx?

?FTQTTT

L?L?F?FQL?X?Fx?FxQX?L?F?FxQX?X?Fx

??的中误差为：

小结：掌握此种平差方法的应用范围，平差的方法步骤。

第七章间接平差

第一节间接平差原理

一、平差值方程与误差方程

观测量1_~和X~的最佳故值L??L?V,X??XO?x?,用平差值和改正数表示

间接平差的函数模型为L?

n,l?Fr,l?X??一平差值方程（观测方程）

Vn,l?nB,ttx,?l?nl,l一误差方程

l?L?F?XO?一误差方程常数项（闭合差）计算式

19

测量平差教案

以测角单三角形为例，列出平差值方程和误差方程。

二、方程的纯量表达式与矩阵表达式

设有n个条件方程：

??FL11??FL22

???????????FX?,X?,?,X??Lnnl2n??,X?,?,X????X?,X?,?,X????X??12nl2n??

线性化后得误差方程为

?l?blx?2???tlxt?ll?vl?alx

?l?b2x?2???t2xt?l2?v2?a2x?????????????????l?bnx?2???tnxt?ln?vn?a

nx?

其中

0ll?Ll?FlX10,X2,?;Xt0??0l2?L2?F2X10,X2,?,Xt0??????????????

0ln?Ln?FnX10,X2z?,Xt0????????

令

?al?aB??2

????an?tl??ll??vl??l??v?b2?t2?2?,I???,

V??2????????????????lbn?tn??n??vn?bl

则误差方程的矩阵表达式为

??lV?Bx

误差方程常数项（闭合差）计算式的矩阵表达式为

l?L?FXO??

三、基础方程

误差方程中未知数个数（n+t）大于方程个数n,方程有无穷多组解。

根据最小二程原理可求得满足方程的唯一一组解。

T求VPV的自由极值得基础方程

??l?V=Bx?T?BPV=O

四、基础方程的解

将基础方程第一式代入第二式，令Nbb=BPB,W=BPI,得法方程TT

??W=0法方程Nbbx

解上方程得：

20

测量平差教案

?l?=NbbxW

当P为对角阵时，法方程的纯量形式为

??????????????????l??pbt?x?2????ptt?x?t??ptl???pat?x?

五、按间接平差法求平差值的计算步骤及示例

用水准网例题讲解平差的方法步骤。

小结：本节应熟记观测方程，误差方程，误差方程常数项计算式，法

方程的表达形式，掌握用间接平差法平差的方法、步

骤。?l??pab?x?2????pat?x?t??pal???paa?x?l??pbb?x?2????pbt?x?t??pbl?

??pab?x?

第二节误差方程

、参数个数的确定与选取

参数个数：等于必要观测数t;

参数选取：水准网一般选择未知点高程为参数，也可选择观测高差为

参数；平面控制网一般选择未知点坐标为参数，也可选择观测角度等为参

数。

参数选择要求：足数；参数间线性无关。

二、平差值方程及误差方程的列立

1、观测高差平差值方程及误差方程的列立

例1,以具有两个未知点的符合水准网为例讲解

2、观测方向平差值方程及其误差方程的列立

??X?设X?j?Yj?XK?YK?T

0计算参数近似值x?x?o

jYjOXkOYkOT?

平差值方程：

???Z????jkLjkj??Y?Ykj??arctg??ZjXk?Xj

O?j??jkO???JK??Zj?z

?Ljk?Vjk??Zj?zj??jk???JK00

21

测量平差教案

?Vjk??z

?j???JK?ljk其中

?100

jk??Zj??jk?Ljk

??常数项计算式

00?0

Yk?Yj

jk?arctg

XO

XO

k?j

?JK?Xx

???

?jkj?y

???

?jkj?x

???

?jkk?y

?kj

X??XO?Y

X

??XO?X

X

??xo

?YkX

??X0????0

?

??0

??0

Y

X

????0

Y

X

JK

JK

V

?JK

S02

x

?j???2

x

?k???JK

SOJK

2

j?JK

SOJK

S02

y?k

JK

?

???sin?

?Ojk???cos?Ojk???sin??Ojk???cos??OjkSO

x

??j?SO

y

?j?JK

JK

so

x?k?SO

y

?kJK

JK

则观测方向的误差方程为：

v?jk=?z?????OYJK????OXJK????OYJK????O

j????XJKSO2xjSO2yj?O2x?k?y

?S02k?ljkJKJKSJKJK

或

v?jk=?z

?j?ajkx?j?bjky?j?ajkx?k?bjky?k?ljkajk.bjk称j、k方向的方向系数，对

于任一方向jm有：

v?jm=?z

?j?ajmx?j?bjmy?j?ajmx?k?bjmy?k?ljm坐标近似值的计算:

可用支导线法、前方交会法等方法计算。定向角近似值的计算：

ZOO

ji??ji?Lji,i?l,2,?,nj

ZO

?

???L

?

j

nj

误差方程列立规律：①符号；②系数；③特殊情况；④?T

??JK=?T??KJ单位：坐标改正数为厘米时系数除100,…。

3、观测角度平差值方程及其误差方程的列立

22

测量平差教案

平差值方程：

L?i???jh???jk???

?JK????JK??OOjh??jk

误差方程：

V????

i???Jh?JK?li

100

i??jh??jk?Li

例2,以固定角内插一点得测角网为例讲解方程列立及求平差值的方

法、步骤。

4、观测边长平差值方程及其误差方程的列立

设：X?=?X?jY?jX?kY?k?T

平差值方程：SX?2

i?Vsi?k?X?j?Y?k?Y?j2

?S0

i??si其中

??S?i

si?Xx??S?

j?iy???S?i

jx???S?i

ky?k

jX??X0?YjX??X0?XkX??X0?YkX??X0

00

???XJK?Y?00

JKXJK

SOx?j?jkSOy?j?SOx??YJK

k?y?k

jkjkSO

jk

误差方程：

0000

V?XJK?YJK

Si??S0x?j?0y?XJK

j?y?li

jkS?

jkSOx?k??YJK

jkSO?k

jk

??cosT0

jkx?0

j?sinTjky?j?cosTO

jkx?O

k?sinTjky?k?li

常数项：

23

测量平差教案

li?Si?Si?Si?OXO

k?XjO2?yO

k?yjO2?单位cm或dm?

例3,以中心三边形内差一点的测边网为例讲解求未知点坐标的方法、

步骤。

小结：观测方程和误差方程的列立，首先应能正确确定应选参数数目，

保证所选参数之间线形无关，其次应能掌握各类方程的列立规律，正确列

出相应观测方程和误差方程。

第三节精度评定

一、单位权方差估值计算

VTPV?O=?r2

VTPV的计算：

1.VTPV=P1V1?P2V2???PnVn?权阵为对角阵时？222

??I?TPV?X?TBTPV?ITPV2.VTPV??Bx

??l???ITP?Bx?顾及B

TTPV=O???lTPI?ITPBx??ITPI??BTPI?x

3、在线性方程组解算表中计算

二、协因数阵与互协因数阵

设：

EO????L?????????lT?lT?NBPNBPx??????bbbbZ?????L?F(XO)?1T?1T???BNBP

?EBNBP?EV??bb????bb

?lT?L?BN?lBTP?E????BNBP????bb??bb?

按协因数传播导出各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果

列于各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵表中

?与V和X?与V、X?与V的互协因数阵为零，说明L?与V统计不相关L

证明表中Qx?L?的计算表达式。？x?,QVV,QL

三、参数的精度评定

设所求量（如未知点高程或纵横坐标）为参数Xi,i=l,2,?,t,则

22?X??=???X?0QXiii

四、参数函数的精度计算

?）=?（X?,X?,??=?（X设参数函数为：?12?Xt）

线性化得权函数式为：

24

测量平差教案

?XdX?l?dX?2?

lX??X0?X??2X??X0?dX?XttX??X0

7fldX?l?f2dX?2???ftdX?t?FTdX?

由协因数传播律得：

Q?=FTQX?F

D2

?=??0Q??

五、各种平差量权函数式的列立

1、高差平差值

如图设未知点高程为参数，所求高差平差值的函数式为？?=h?i

=?X?j?X?k

其权函数式为

d??=dh?i=?dX?j?dX?k

若j、k为已知点，其dX?前的系数为零。

2、方位平差值

如图设未知点坐标为参数，所求方位平差值的函数式为？?=

arctgY?k?Y?j

jkX

k?Xj

求全微分得其权函数式为

d??????YO????XO????YO

JKJK????XO

JKJK

jk=S02?10dX?J?S02?10dY?j?S02?10dX?k?S02

JKJKJKJK?10dY?K

式中d??jk的单位为("),dX?、dY?的单位为分米，若j、k为已知点,

其dX?、dY?前的系数为零。

3、角度平差值

25

测量平差教案

如图设未知点坐标为参数，所求角度平差值的函数式为

?=??jh???jk?arctgL??Y???Y?YYhjkj?arctgXh?XjXk?Xj

求全微分得其权函数式为

O?O?????YO?????XO???????Y??Xjhjkjhjk???????jk=

d??dX??dY?S02?10S02?10?j?S02?10S02?10?j

jkjk?jh??jh?

0000????Yjk????Xjk?????Yjh????Xjh????dXk?dYK?dXh?dYh02020202Sjk?10Sj

k?10Sjh?10Sjh?10?.dY?的单位为分米,若j、k为已知点,其dX?、dY?前

的系数为零。？jk的单位为（"）式中d?,dX

4、边长平差值

如图设未知点坐标为参数，所求边长平差值的函数式为？X??X?Sjkkj

?xo

jk

jk?Y?2k??Yj2求全微分得其权函数式为？=?dSjkS??dXjO?YjkO

jkS??dYj?XOjkO

jkS??dXkO?YjkO

jhS?dYk

?、dX?、dY?的单位为分米，若j、k为已知点，其dX?、dY?前的系数

为零。式中dSjk

第八章

附有限制条件的间接平差

、概述

如上图，选取i、k两点的坐标为未知数，可列出4个平差值方程。由

于选定的未知数个数（u）多于必要观测数（t）,所以在所选定的未知数

之间存在s=u-t个限制条件。

即?XK??Xi?Y?2

K??Yi2?Sik?0

??Y?YKiarctg??jk?OXK?Xi

26

测量平差教案

把上列两式线性化得

000????cos?0

jkxK?sin?jkyK?cos?jkxK?sin?jkyK?wl?0

?K?bjky?K?ajkx?K?bjky?K?w2?0ajkx

wl?Sik?

w2??jkX0k?X0j?Y20k?Yj02YkO?YiO?arctgOOXk?Xi

二、基础方程

已知附有参数的条件平差法的函数模型

~~?L?F??X??n,l?u,l???~?X?O?s,l???

其线性形式为

??B-x?lc-x?W?Ox

其中

l?L?FXO

Wx???XO????

?,从而求得观测由于n+s<n+u,不能求得?和一x的唯一解，只能按最

小二乘原理求?和一x的最佳故值V和X

?和*?,即量L和X的最佳故值L

??L?VL

??XO?x?X

为此，可用观测值平差值和参数平差值表示附有参数的条件平差的函

数模型，即n,l~~??FX?一平差值方程（观测方程）Lr,l??

??0一限制条件方程?X

s,l??

或用观测值改正数和参数改正数表示附有限制条件的间接平差法的

函数模型，即

??1一误差方程V?Bxn,ln,tt,ln,l

??Wx?O—限制条件方程Cx

l?L?FXO一误差方程常数项（闭合差）计算式??

27

测量平差教案

Wx??XO一限制条件方程常数项（闭合差）计算式

按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为K??klS,lTk2?ks?,称为

联系数向量。？?组成函数

T??Wx?,?Cx??VTPV?2KS

?求一阶导数，并令其为零，得将?对x

???VTT?2VTP?2KSC?2VTPB?2KSC?0,???x?x

转置得

BTPV?CTKS?O,

上式与误差方程和限制条件方程联立得附有参数的条件平差的基础

方程：BTPV?CTKS?O

??lV?Bxn,ln,tt,ln,l

??Wx?OCx

方程的个数与未知数的个数相同，方程有唯一解。

三、基础方程的解

将基础方程的第二式代入第一式与第三式联立，得

??CTKS?W?O,Nbbx

??Wx?O一附有限制条件的间接平差法的法方程Cx

将法方程第一式左乘CNbb与第二式相减，得

?lT?lCNbbCKS?CNbbW?Wx?O?1??

令Ncc?CNbbC

则有

?lNccKS?CNbbW?Wx?O

T?1T?1T式中Ncc的秩R(Ncc)=R(CNbbC)=R(C)=S,且

Ncc?CNbbC?lT????T?lT?CNbbC,故Ncc为s

阶满秩对称方阵。

?l?lKS?NccCNbbW?Wx??

?将上式代入法方程第一式，可解得

?l?lT?l?l?lT?l??Nbbx?NbbCNccCNbbW?NbbCNccWx,?

28

测量平差教案

代入误差方程可解出改正数V,从而可解出：

??L?VL

??XO?x?X

四、精度评定

（一）、单位权方差估值计算

VTPVVTPV?O=??rn?u?s2

VTPV的计算：

1.VTPV=P1V1?P2V2???PnVn?权阵为对角阵时？222

??I?TPV?X?TBTPV?ITPV2.VTPV??Bx

?TCTKS?lTP?Bx??l???x

?TCTKS?lTPBx??ITPI?X

??ITPI?WXTKS?WTX

3、在线性方程组解算表中计算

（二）、协因数阵与互协因数阵

令：Z?LT?顾及BTPV=?CTKS??TWTTKS?TXVT?TL?

列出各分块向量解的表达式及其微分式，利用协因数传播律导出各量

的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于相应表中，讲解。

（三）、参数的精度评定

设所求量（如未知点高程或纵横坐标）为参数Xi,i=l,2,?,t,则

22?X??=???X?0QXiii

（四）、参数函数的精度计算

?）=?（X?,X?,??=?（X设参数函数为：?12?Xt）

线性化得权函数式为：

???d??Xl??dXl??X0X???X????dX2??X02X???X?dXt??X0tX

??fdX????fdX??FTdX??fldX122tt

由协因数传播律得：

Q?=FTQX?F

2?0D?=?Q??

29

测量平差教案

???=??0??

小结：掌握此种平差方法的应用范围，平差的方法步骤。

第九章误差椭圆

§9.1概述；§9.2点位误差

一、点位误差的概念及计算

1、点位真误差

如图可得：

?2

P??2

x??2

y,?22

P??2

S??u,

无法求得(为什么？)

2、点位方差及其计算

由方差的定义式可得：

?2=E(?x-E?x?)2?=E(?x一~x)2?=E(?-x-x)2??E(?2

xx)

?2=E(?y-E?y?)2?=E(?yy)2?=E(?-y-y)2??E(?2

yy)

故有

E(?22)+E(?222

P)=E(?xy)=?x+?y

同理有：

E(?2222+?2

P)=E(?s)+E(?U)=?SU

记?22

p=E(?P),则有：

?22??22

P??xy??2

s??u-----点位方差计算式

上式说明点位方差?2

P的大小与坐标轴的方向无关，即与坐标系的选择无关。

用点位方差衡量P点精度的缺陷:

不能完善说明P点在任一各方向上的精度情况，不能确定P点在哪一

个方向上的精度最好（最差）。

二、P点在任意方向6上的位差?？

30

测量平差教案

由图可得下列关系式：

???PP????pp???p??p???

?cos??x?sin??y

??cos?sin?????x?

??y??

由协方差传播律得：

?2?22sin2???2

??xcos2???yxysin2?

或

?22

???0Q?

??2

0?Qxcos2??Q2

ysin??Qxysin2??

上式即为求任意方位角6方向上点位方差的计算公式。

三、位差的极值方向、极大值和极小值的确定

由位差计算式可以看出,?P随着6值的变化而改变，其具有最大值和

最小值。函数有极值，其一阶导数等于零，设位差的极值方向为?0,求导

得出tg2?2Qxy

0?Qx?Q

V

将?0代入位差计算式得：

?2??22

?00(Qxcos?0?Qysin2?0?Qxysin2?0)

??2

0(Qxcos2?0?Q2

ysin?0?Q2tg?0

xy?l?tg2?

极值方向的判别方法：

Qxy>0,极大值在第I、III象限，极小值方向在第H、IV象限；Qxy

<0,

31

测量平差教案

极大值在第n、iv象限，极小值方向在第I、in象限

位差极大值、极小值的计算：

用？E表示极大值方向、？F??e?90表示极小值方向；用E、F分别表示

位差的极大值和极小值。则有0

E2??222

0(Qxcos?E?Qysin?E?Qxysin2?E)??

F2??2cos2?2?

0(QxF?Qysin?F?Qxysin2?F)??

把?0代入位差计算式整理得

E2?12

2?0?(Qx?Qy)?K????

F2?l?

2

2?0?(Qx?Qy)?K????

其中K?Q?Q22

xy?4Qxy

?22F2

P与E、有下面关系：

?22

P?E?F2

四、用E、

F表示的任意方向中上的位差

由图可知,任意方向在两个坐标系中的方位角有如下关系:

把?????E代入位差计算式整理得：

?2

??E2cos2??F2sin2?

例1如图，在固定三角形内插入一点P,经过平差后求得P点坐标的协因

数阵为：？?Qx?Qx?y??

Q????3.81?0.36?

?????Qcm2s2

?y?xy??????0,362.93?

?

单位权方差估值为？?2

0?1.96?s2?o

32

测量平差教案

试求(1)位差的极值方向?E和?F,⑵位差的极大值E与极小值F,⑶已

算出PM的方位角？PM?75?29?,PM方向上的点位误差为多少，⑷P点的点

位方差。例2如图，已知

xA?4578.67m,

yA?3956.74m,o

TAB?345?18?

为确定P点的位置,作如下观测：

??8915?42???4??.0,S?600.150m?10mm?

试确定