2017北京市朝阳区高三年级二模理科数学试题（解析版）

./2016年北京市XX区高三二模理科数学试卷一、单选题〔共8小题1．已知集合,,则＝〔

A．B．C．D．2．复数〔为虚数单位在复平面内对应的点位于〔

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．执行如图所示的程序框图,输出的值为〔

A．6B．10C．14D．154．已知非零向量,,""是""的〔

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．同时具有性质:"①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在区间上是单调递增函数"的一个函数可以是〔

A．B．C．D．6．已知函数且的最大值为,则的取值范围是〔

A．B．C．D．7．某学校高三年级有两个文科班,四个理科班,现每个班指定1人,对各班的卫生进行检查．若每班只安排一人检查,且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班,则不同安排方法的种数是〔

A．B．C．D．8．已知正方体的棱长为2,是棱的中点,点在正方体内部或正方体的表面上,且∥平面,则动点的轨迹所形成的区域面积是〔

A．B．C．D．二、填空题〔共6小题9.双曲线的渐近线方程是；若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,则______．10.如图,为⊙外一点,是⊙的切线,为切点,割线与⊙相交于两点,且,为线段的中点,的延长线交⊙于点．若,则的长为______；的值是________．11.已知等边的边长为3,是边上一点,若,则的值是______．12.已知关于的不等式组所表示的平面区域为三角形区域,则实数的取值范围是_____．13.为了响应政府推进"菜篮子"工程建设的号召,某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元,以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设表示前年的纯利润〔=前年的总收入－前年的总费用支出－投资额,则_____〔用表示；从第_____年开始盈利.14.在平面直角坐标系中,以点,曲线上的动点,第一象限内的点,构成等腰直角三角形,且,则线段长的最大值是_____．三、解答题〔共6小题15.在中,角,,的对边分别是,,,已知,．<Ⅰ>求的值；〔Ⅱ>若角为锐角,求的值及的面积．16.交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为,五个级别规定如下：某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内,他随机记录了上班的40个工作日早高峰时段<早晨7点至9点>的交通指数<平均值>,其统计结果如直方图所示．〔Ⅰ据此估计此人260个工作日中早高峰时段〔早晨7点至9点中度拥堵的天数；〔Ⅱ若此人早晨上班路上所用时间近似为：畅通时30分钟,基本畅通时35分钟,轻度拥堵时40分钟,中度拥堵时50分钟,严重拥堵时70分钟,以直方图中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率,求此人上班路上所用时间的数学期望．17.如图1,在等腰梯形中,,,,为中点,点分别为的中点．将沿折起到的位置,使得平面平面〔如图2．〔Ⅰ求证：；〔Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；〔Ⅲ侧棱上是否存在点,使得平面?若存在,求出的值；若不存在,请说明理由．18.已知函数,．〔Ⅰ当时,求曲线在点处的切线方程；〔Ⅱ当时,若曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内,试求的取值范围．19.在平面直角坐标系中,点在椭圆上,过点的直线的方程为．〔Ⅰ求椭圆的离心率；〔Ⅱ若直线与轴、轴分别相交于两点,试求面积的最小值；〔Ⅲ设椭圆的左、右焦点分别为,,点与点关于直线对称,求证：点三点共线．20.已知集合,且．若存在非空集合,使得,且,并,都有,则称集合具有性质,〔称为集合的子集．〔Ⅰ当时,试说明集合具有性质,并写出相应的子集；〔Ⅱ若集合具有性质,集合是集合的一个子集,设,求证：,,都有；〔Ⅲ求证：对任意正整数,集合具有性质．答案部分1.考点：集合的运算试题解析：所以=。故答案为：A答案：A2.考点：复数乘除和乘方试题解析：则z在复平面内对应的点为位于第二象限。故答案为：B答案：B3.考点：算法和程序框图试题解析：是；是；是；,否,则输出的值为10.故答案为：B答案：B4.考点：平面向量的几何运算试题解析：若∥,则=,则=〔1+,故∥；反过来,若∥,则=,所以=-1,所以∥。所以"∥"是"∥"的充要条件。故答案为：C答案：C5.考点：三角函数的图像与性质试题解析：故排除A；又图象关于直线对称,所以函数在处取得最值,故排除C；又,对B：,是减函数,故B错。故答案为：D答案：D6.考点：分段函数,抽象函数与复合函数试题解析：因为函数最大值为,且x-1所以时,且所以的取值范围是。故答案为：A答案：A7.考点：排列组合综合应用试题解析：故答案为：D答案：D8.考点：平行柱,锥,台,球的结构特征试题解析：动点的轨迹为：由棱的中点构成的正六边形,边长为,所以面积为故答案为：C答案：C9.考点：抛物线双曲线试题解析：双曲线：中,所以渐近线方程为:.因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点〔2,0重合,所以故答案为：,答案：,10.考点：圆相似三角形试题解析：由切割线定理有：所以PC=9,BC=8.又为线段的中点,所以DB=4,CD=4,所以故答案为：,16答案：,1611.考点：数量积的应用试题解析：故答案为：答案：612.考点：线性规划试题解析：作可行域：由图知：A<0,2>,B<1,1>虚线为y=2x-k,所以纵截距为-k.所以当或即或时平面区域为三角形区域。故答案为：答案：13.考点：函数模型及其应用试题解析：由题知：令即>0,解得：所以从第5年开始盈利.故答案为：,答案：,14.考点：直线综合圆的标准方程与一般方程试题解析：设B,C<x,y>,根据题意有：且整理得由〔2得：代入〔1得：〔整理得：即所以,因为x>2,所以所以=9+4〔。令,所以m>0时,t有最小值,所以m<0.所以所以所以故答案为：答案：15.考点：倍角公式余弦定理正弦定理试题解析：<Ⅰ>因为,且,所以．因为,由正弦定理,得．<Ⅱ>由得．由余弦定理,得．解得或〔舍负．所以．答案：<Ⅰ>．<Ⅱ>．16.考点：随机变量的期望与方差随机变量的分布列频率分布表与直方图试题解析：〔Ⅰ由已知可得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25,据此估计此人260个工作日早高峰时段〔早晨7点至9点中度拥堵的天数为260×0.25=65天.〔Ⅱ由题意可知的可能取值为．且；；；；；所以答案：〔Ⅰ65天.〔Ⅱ4617.考点：利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题空间的角平行垂直试题解析：〔Ⅰ如图1,在等腰梯形中,由,,,为中点,所以为等边三角形．如图2,因为为的中点,所以．又因为平面平面,且平面平面,所以平面,所以．〔Ⅱ连结,由已知得,又为的中点,所以．由〔Ⅰ知平面,所以,所以两两垂直．以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系〔如图．因为,易知．所以,所以．设平面的一个法向量为,由得即取,得．设直线与平面所成角为,则．所以直线与平面所成角的正弦值为．〔Ⅲ假设在侧棱上存在点,使得平面．设,．因为,所以．易证四边形为菱形,且,又由〔Ⅰ可知,,所以平面．所以为平面的一个法向量．由,得．所以侧棱上存在点,使得平面,且．答案：〔Ⅰ如图1,在等腰梯形中,由,,,为中点,所以为等边三角形．如图2,因为为的中点,所以．又因为平面平面,且平面平面,所以平面,所以．

〔Ⅱ．〔Ⅲ假设在侧棱上存在点,使得平面．设,．因为,所以．易证四边形为菱形,且,又由〔Ⅰ可知,,所以平面．所以为平面的一个法向量．由,得．所以侧棱上存在点,使得平面,且．18.考点：导数的综合运用利用导数求最值和极值导数的概念和几何意义试题解析：〔Ⅰ当时,,．．则,而．所以曲线在点<1,>处的切线方程为,即．〔Ⅱ依题意当时,曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内,等价于当时,恒成立．设,．所以．〔1当,即时,当时,,为单调减函数,所以．依题意应有解得所以．〔2若,即时,当,,为单调增函数,当,,为单调减函数．由于,所以不合题意．〔3当,即时,注意到,显然不合题意．综上所述,．答案：〔Ⅰ,即．〔Ⅱ．19.考点：椭圆试题解析：〔Ⅰ依题意可知,,所以椭圆离心率为．〔Ⅱ因为直线与轴,轴分别相交于两点,所以．令,由得,则．令,由得,则．所以的面积．因为点在椭圆上,所以．所以．即,则．所以．当且仅当,即时,面积的最小值为．…9分〔Ⅲ①当时,．当直线时,易得,此时,．因为,所以三点共线．同理,当直线时,三点共线．②当时,设点,因为点与点关于直线对称,所以整理得解得所以点．又因为,,且．所以．所以点三点共线．综上所述,点三点共线．答案：〔Ⅰ椭圆离心率为．〔Ⅱ面积的最小值为．〔Ⅲ①当时,．当直线时,易得,此时,．因为,所以三点共线．同理,当直线时,三点共线．②当时,设点,因为点与点关于直线对称,所以整理得解得所以点．又因为,,且．所以．所以点三点共线．综上所述,点三点共线．20.考点：数列综合应用试题解析：〔Ⅰ当时,,令,,则,且对,都有,所以具有性质．相应的子集为,．〔Ⅱ①若,由已知,又,所以．所以．②若,可设,,且,此时．所以,且．所以．③若,,,则,所以．又因为,所以．所以．所以．综上,对于,,都有．〔Ⅲ用数学归纳法证明．〔1由〔Ⅰ可知当时,命题成立,即集合具有性质．〔2假设<>时,命题成立．即,且,,都有．那么当时,记,,并构造如下个集合：,,,,,显然．又因为,所以．下面证明中任意两个元素之差不等于中的任一元素．①若两个元素,,则,所以．②若两个元素都属于,由〔Ⅱ可知,中任意两个元素之差不等于中的任一数．从而,时命题成立．综上所述,对任意正整数,集合具有性质．答案：〔Ⅰ子集为,．〔Ⅱ①若,由已知,又,所以．所以．②若,可设,,且,此时．所以,且．所以．③若,,,则,所以．