河南省2023年高三理数二模试卷附参考答案

高三理数二模试卷

一、单选题

((Iy]

1.己知集合「»1<-<2,8一：r2<v<l；,则((；4)»-()

I12/J

A.[-1.0]B.(-2.-I)

C.(F,-I)D(MD.(-2.-l)U(0,l]

2.已知复数i，贝U'的实部为()

j-♦2二

A.—B.--C.-D.

101055

3.从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为ah,共可得到依，仅人的不同值的

个数是()

A.6B.8C.12D.16

4.在正项等比数列|凡；中，“-2.%+4是“,.。的等差中项，则a,()

A.16B.27C.32D.54

5.已知点是双曲线/；7的右焦点，点P是双曲线上位于第一象限内的一点，且•一与x轴垂直,

点0是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为()

A.B.V3--C.h久"D.53

22

6.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为()

B.8D.10

3

7.已知点C(2,0),直线kx—y+k=O(k#0)与圆(tif+(i2交于A,B两点，则“△ABC为

等边三角形”是“k=l”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

e*+.r.x<0

8.已知函数/(')=有4个不同的零点，则正实数”)的范围为()

1.OSxSx

A.

(44J

9.在“8C中，点£为4c的中点，7F=2FB，8E与CF交于点产,且满足而=入屏，则入的值为()

II?3

A.-B.-C.-D.-

3234

10.已知函数，(i)=s〃LJ满足：/('),/：|.若函数/日在区间［拓，X［上单调，且

/(x,)+/(%,)=0,则当卜1+..|取得最小值时，cos(M+x?)=()

A.」B.-C.-3D.g

)2),

H.在正项数列m.；中,'圮'(a,+l)(a.i+Wq+q.J整数，"满足

伙(1(1+11”伙怦尸T)，则数列间的前加项和为()

A55「9II

A.DB.—C.—Dn.

11122224

12.若函数f(x)的定义域为R,且f(2x+l)为偶函数，f(x-1)的图象关于点(3,3)成中心对

称，则下列说法正确的个数为()

①〃幻的一个周期为2②/(22)=3

③£八。=5：,7④直线、=4是/口)图象的一条对称轴

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

13.曲线,1-(ar+2d在点(。，2)处的切线的斜率为-2，则。.

14.(1+Vxf(lV'A)'的展开式中x的系数为.

15.过原点且相互垂直的两条直线分别交抛物线/一2］,于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合)，则

抛物线的焦点到直线AB的最大距离为.

16.在三棱柱,4AC-44a中，平面ABCJ_平面448产，平面机，平面44。产，侧棱C0与底面所

成的角为60。，.484.II,2,D为/8的中点，二面角《IC8的正切值为2、C，则四棱锥

C的外接球的表面积为.

三、解答题

-.1-

17.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,旦mH•行.

C

(1)求角C；

(2)若c=4,AABC的面积为4j3，求a,b.

18.相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%,城乡居民达到《国民体质测定标

准》合格以上的人数比例达到90%以上.某市一健身连锁机构对其会员进行了统计，制作成如下两个统

图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图.

若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类,

将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”,

且已知在“健身达人”中有’是“年轻人”.

（1）现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图的数据，补全下方2X2

列联表，并判断是否有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关?

年轻人非年轻人合计

健身达人

健身爱好者

合计

附:

尸（尸川0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

K:

（2）将（1）中相应的频率作为概率，该健身连锁机构随机选取3名会员进行回访，设3名会员中既

是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.

19.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，平面PADJ_平面ABCD,ZBAD=60°,PA=PD二出，

AB=2,M为PC上一点，且西3VC.

p

(1)求异面直线AP与DM所成角的余弦值.

(2)在棱PB上是否存在点N,使得/V’平面BDM?若存在，求；;的值；若不存在，说明理由.

20.已知椭圆G'一+：=1(U>6>0)的长轴长为4,F,6为C的左、右焦点，点P(不在x轴上)在

C上运动，且<小/£尸八的最小值为:.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过E的直线1与椭圆C交于不同的两点M,N,记的内切圆的半径为r,求r的取值范围.

21.已知函数f(x}=xc'-e(e是自然对数的底数).

(1)求函数/(v)的最小值;

(2)若函数g|t)/(v)AInv有且仅有两个不同的零点，求实数k的取值范围.

|X■I+y/SlttsO

22.在平面直角坐标系中，曲线”的参数方程为为参数，Ow[O.2n),直线4的

|V=I+\fSsinQ

参数方程为二…('为参数,『吟),直线人4垂足为。•以。为坐标原点，x轴非负半轴

为极轴建立极坐标系.

(1)分别写出曲线”与直线/的极坐标方程;

(2)设直线(、/.分别与曲线”交于工C与小。，顺次连接力、8、C、。四个点构成四边形和

求W-8(：+(/)：+/〃.

23.已知二次函数-小；♦尿，,,

(1)已知A.<是正实数，且，求证：、u卜、h卜vIvA;

(2)若对任意xR,不等式/(K)22m+8恒成立，求/,，的最大值.

a

1.D

2.A

3.C

4.D

5.B

6.D

7.A

8.B

9.B

10.A

11.B

12.B

13.-4

14.-3

15.''

2

64it

16.।

17.⑴解:依题意由“人M"一得+・力-U

c

根据正弦定理得、；〃（「八.I.1\JH.4smti-0，

贝ijsmCcoxA♦y/SsinCsinA-$inA-sin（J♦（|=0,

则\m（\mJ14-xinA-sinAcosC^coiAsinC=0，

所以、-\in,l"〃』（〃、（0，

由于0《/，所以、所以、Q〃心・l-mrC=0，

所以2（s/〃C、?”，、（,；）=I,则C-：）=l,

由于0<C4n,则。:.

（2）解：由题意：Si4ar=—absinC=-^-ab-4^3，所以ab=16.

又由余弦定理（•二〃-+Z»2ahc（nC以及c=4,

得〃.八afr・l6，所以".八32，所以（。-〃>-322,160,

所以a=b=4.

18.(1)解：根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%,则年轻人人数为100x80%=80,

则非年轻人为20人，

根据图2表格得健身达人所占比60队所以其人数为100x60妒60,根据其中年轻人占比‘，

6

所以健身达人中年轻人人数为60•'50,则非年轻人为10人；

6

健身爱好者人数为100-60=40,再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为80-50=30,

根据非年轻人总共为20人，则健身爱好者中非年轻人人数为20-10=10,

所以列联表为

年轻人非年轻人合计

健身达人501060

健身爱好者301040

合计8020100

,lOOx50x10-30x10)*

-------i----------------------1.042<3.841，

80x20x60x40

所以没有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关.

(2)解：由(1)知，既是年轻人又是健身达人的概率为:，

则随机变量X满足二项分布'B工：，'=0,1.23，

故X的分布列：

X0123

33\_

P

8

则工的数学期望为I*'+2x1+3」-；.

XSQ

19.(1)解：设。是X。的中点，连接OP.

由于尸.4=&)=石，所以“一.40，

由于平面PAD_L平面ABCD且交线为4OP平面/M。,

所以。P,平面,48(7),

由于08、平面4伙刀，所以0P.08,

在菱形.4伙7)中，/B.4D&T,所以三角形是等边三角形，所以(M.仞，

故。I.OR-0P两两相互垂直，由此建立空间直角坐标系如下图所示，

OP=>/n=20-0.2)./(LOQ),8(O.7IO).C(-2.734)),D(-IXM)),

"=(-1.0,2),DM•DPPM«DPPC

4

=(1.0,2)+j(-2.Vi-2)=»

所以直线AP与DM所成角为U,

(2)解:两■孚丽,

设平面的法向量为，j=1I，丫，二)，

H-DM=-•+v+-z«0

则42,

小DB=x+>/3y=0

故可设万16,2vl15).

N*平面8。“，设翳=入，则方=Ji而，

而=9+两M押+入屋

>(-14.2)*k(aV3.-2)»(-I.V31.2-2X)

若.IV,7平面80”,贝I」而•斤=6+&-15(2-2入)=・24+36).=0,

解得人

所以在棱PB上是存在点N,使得.八’平面BDM且

PB3

20.（1）解：由题意得q=2，

设仍用，俨/胃的长分别为m,n,/»r+/»-2d4»

则在中，由余弦定理可得

当且仅当加〃时取等号，从而］=

，/

得‘13

d4

所以椭圆的标准方程为=1.

43

（2）解：设”（V）.v|,.V（v.rj,

由题意，根据椭圆的定义可得内；1八的周长为4uS,

=所以“乱…，

设1的方程为、=八+1,联立椭圆方程汽：,4『一12,

整理可得（4•犷）/Hvi-90,易知A>0

6,9

且M+工-一,,,'L力=".,2，

4+3r4+3/

s.y+%”=；1耳段也1+；怩用•闻=；1£用也一乂1

二；忻用（（乂+必'）-4yM

所以r=

4+311

令护，I-k»则AT，

M3

3A413A+'，

k

令函数/(、)3A-LicIl.Kz),则，'(V=3-J,

x*X

当•工)时，/'⑴3-1•()恒成立，所以/(r)=八」在x匚/+上)上单调递增,

33

则3A♦24,所以°,；71G,

即0<「4',

4

故r的取值范围为0<r«’.

4

21.(1)解：函数/”)=(l+x)b,

令/卜)=0，解得I-I.

当re(-x,I)时，/")<0,f(r)单调递减；

当X€(I.^-x)时，/1(.V)>0,f(x)单调递增，

所以函数/(')有最小值心(\卜，(-1)二Je

(2)解：g(.r)=.re,-ilni-e(x>0)>g(l)=O.

当A-0时，函数g(i|是增函数，K(v)有唯一的零点，与已知矛盾.

当4>0时，K,(.r)=1lIA)C,L甲+x)」”,

XX

令加“一1(1一”"，贝Ul(i)=(l+3x+i)/>0,所以是增函数.

又〃(0)=k<0,=+-k>kk0,

故存在J^€(0.+x),使%(4)=%(1+/)户-4=0,即i=x0(l+x0)e''.

当xt(0,v„)时，力(x)<0,即8,g(x)单调递减;

当X&(1„,­/)时，//(.<)-0,即g'(i)-0,g(x)单调递增，

所以函数&(、)有最小值，且8(%).二*。1*InV<i9'i,lI♦».)eln1

1(。)=i--(1+%卜"Inr“-e=-(l+3>+YHlnq,

当x0e(O.I|时，内.%)>0,单调递增；

当A,6(I.+'T|时，*'((卜。，V,I单调递减，

所以-KO0-

当A-(0.11时，存在*w(0,。)使g|1)1),再浦1)一()，故露"有且仅有两个不同的零点;

当!।时，此时k2c,K(n有唯一的零点品；

当。匚(I.+■工)时，存在v.e(.v,.>x)使对与)=0,再g(l)=0,故g(.v)有且仅有两个不同的零

点.

综上所述，人(0Z)u(2*r).

3=m«0

22.(1)解：由，”的参数方程，可得'[,则(\♦(I=5,即/♦/2x2y=3，

匕L=S访e

p"2po2P.”w03.

由题设知：乙为故(的极坐标方程为0-a,又/?一(，

二/、为'+。且“€(0/).

22

(2)解：由题设知：pBf+lBCf+L+pd=为研+四|1+|OCf

若"OR\.p=OD,p.\0A\.p4\OC,

l>=--*-a