临夏回族自治州广河县2023-2024学年八年级上学期期末数学测试卷(含答案)

绝密★启用前临夏回族自治州广河县2023-2024学年八年级上学期期末数学测试卷考试范围：八年级上册(人教版)；考试时间：120分钟注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题（共10题）1.（湖北省孝感市八校联考八年级（上）月考数学试卷（12月份））下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A.（a+5）（a-5）=a2-25B.a2-b2=（a+b）（a-b）C.（a+b）2-1=a2+2ab+b2-1D.a2-4a-5=a（a-4）-52.（广东省肇庆市封开县八年级（上）期中数学试卷）如图，△ACB≌△A′C′B′，∠A=40°，则∠A′的度数为（）A.20°B.30°C.40°D.50°3.（2022年春•灌云县月考）（2022年春•灌云县月考）如图，在△ABC中，∠A=80，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2015BC的平分线与∠A2015CD的平分线交于点A2016，得∠A2016CD，则∠A2016=（）A.80•2-2014B.80•2-2015C.80•2-2016D.80•2-20174.（山东省滨州市惠民县致远实验学校八年级（上）期中数学试卷）如图，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是（）A.10cmB.15cmC.20cmD.25cm5.（浙江省温州市苍南县龙港学区七年级（下）期中数学试卷）如图，大正方形的边长为a+b，用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，可以推导出的公式是（）A.（a+b）（a-b）=a2-b2B.（a+b）2=a2+2ab+b2C.（a-b）2=a2-2ab+b2D.（a+b）2-（a-b）2=4ab6.（山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是（）A.①②④B.①③⑤C.③④⑤D.①②③7.（广东省深圳中学七年级（下）期末数学试卷）下列计算正确的是（）A.x2+x3=2x5B.（-x3）2=-x6C.x6÷x3=x3D.x2•x3=x68.下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A.（2a+b）（a-b）B.（-a-b）（-a+b）C.（a+b）（-a-b）D.（-a+b）（a-b）9.（2021•莲湖区二模）下列运算正确的是​(​​​)​​A.​​a6B.​​a2C.​(​2a)D.​(​a-b)10.（新人教版八年级上册《第15章分式》2022年同步练习卷A（10））下列方程中，属于关于x的分式方程的有（）A.+=B.-=C.2x2+=10D.+=0(ab≠0)评卷人得分二、填空题（共10题）11.（2021•厦门模拟）如图，在​​R​​t​Δ​A​​B​​C​​​中，​∠C=90°​​，​BC=3​​，12.（2021•通州区一模）如图中的平面图形由多条直线组成，计算​∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=​​______．13.（2021•碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，​OA​​是第四象限的角平分线，点​C​​在反比例函数​y=kx(x>0)​​的图象上，​∠OAC=90°​​，​AB​​平分​∠OAC​​且交​y​​轴于点​B​​，​CD⊥AB​​于点​D​​．若​ΔACD​​的面积比​ΔAOB​14.（2022年春•太康县校级月考）在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b=+，如2※4=+=．根据这个规则x※（-2x）=的解为．15.（人教版八年级上册《第13章轴对称》2022年单元测试卷（四川省绵阳市三台县刘营镇中学））若小红站在镜子前面看到她的运动衣上的号码是508，则她的运动衣上的实际号码是．16.（2022年春•沛县校级月考）Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图①，且∠α=65°，则∠1+∠2=；（2）若点P在斜边AB上运动，如图②，探索∠α、∠1、∠2之间的关系，并说明理由．17.（2014中考名师推荐数学图形的规律（））按如图方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB=1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn=．18.（2022年江苏省泰州市泰兴市洋思中学中考数学三模试卷（））若一个人从汽车反光镜中看到电子显示屏的数字为81，实际上电子显示屏的数字为．19.（2021•武汉模拟）计算：​a20.（2021•贵阳）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是______．评卷人得分三、解答题（共7题）21.（2021•金华）已知：如图，矩形​ABCD​​的对角线​AC​​，​BD​​相交于点​O​​，​∠BOC=120°​​，​AB=2​​．（1）求矩形对角线的长；（2）过​O​​作​OE⊥AD​​于点​E​​，连结​BE​​．记​∠ABE=α​，求​tanα​的值．22.（2021•九龙坡区模拟）在​ΔABC​​中，​AB=CB​​，​AD⊥BC​​．（1）尺规作图：过点​B​​作线段​AC​​的垂线分别交线段​AC​​和线段​AD​​于​F​​、​E​​两点（不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）的情况下，若​BD=AD​​，则​BE=2CF​​成立吗？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．23.已知+-（-）=0，求x-的值．24.如果三角形的两边长分别是2和7，当周长为奇数时，求第三边的长．当周长为5的倍数时，求第三边的长．25.通分：（1），，；（2），，．26.（浙江省温州市永嘉县岩头中学八年级（上）期中数学试卷）在△ABC中，AB=20cm，BC=16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以acm/s（a＞0且a≠2）的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为x秒．（1）若AB=AC，P在线段BC上，求当a为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？（2）若∠B=60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？（3）若∠C=70°，当∠CPQ的度数为多少时，△CPQ为等腰三角形？（请直接写出答案，不必写出过程）．27.（2021•贵阳模拟）如图（1），在菱形​ABCD​​中，​E​​、​F​​分别是边​CB​​，​DC​​上的点，​∠B=∠EAF=60°​​，​(I)​​求证：​∠BAE=∠CEF​​；（Ⅱ）如图（2），若点​E​​，​F​​分别移动到边​CB​​，​DC​​的延长线上，其余条件不变，请猜想​∠BAE​​与​∠CEF​​的大小关系，并给予证明．参考答案及解析一、选择题1.【答案】【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；C、是整式的乘法，故C错误；D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；故选：B．【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．2.【答案】【解答】解：∵△ACB≌△A′C′B′，∴∠A′=∠A=40°，故选：C．【解析】【分析】根据全等三角形的对应角相等解答即可．3.【答案】【解答】解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，∴∠A1+∠A1BC=（∠A+∠ABC）=∠A+∠A1BC，∴∠A1=∠A，同理可得∠A2=∠A1=，…，∠An=．所以∠A2016==80•2-2016．故选：C．【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，然后整理得到∠A1=∠A，同理可得∠A2=∠A1，从而判断出后一个角是前一个角的，然后表示出，∠An即可．4.【答案】【解答】解：如图，过点M作DM⊥AB于D，∵∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，∴DM=CM=20cm，即M到AB的距离为20cm．故选C．【解析】【分析】过点D作DM⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=CM．5.【答案】【解答】解：∵大正方形的边长是a+b，∴面积为：（a+b）2，表示大正方形面积另一种方法：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2故选：B．【解析】【分析】先根据大正方形的边长求出面积，再根据部分面积之和等于整体面积计算大正方形的面积，根据面积相等，列出等式，作出选择．6.【答案】【解答】解：令GF和AC的交点为点P，如图∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，且EF=CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB=CD，∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），∵点G为AB的中点，∴BG=AB=CD=FE，在△EFG和△GBE中，，∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，∴∠EGF=∠GEB，∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），∵BD=2BC，点O为平行四边形对角线交点，∴BO=BD=BC，∵E为OC中点，∴BE⊥OC，∴GP⊥AC，∴∠APG=∠EPG=90°∵GP∥BE，G为AB中点，∴P为AE中点，即AP=PE，且GP=BE，在△APG和△EGP中，，∴△APG≌△EPG（SAS），∴AG=EG=AB，∴EG=EF，即①成立，∵EF∥BG，GF∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形，∴GF=BE，∵GP=BE=GF，∴GP=FP，∵GF⊥AC，∴∠GPE=∠FPE=90°在△GPE和△FPE中，，∴△GPE≌△FPE（SAS），∴∠GEP=∠FEP，∴EA平分∠GEF，即④成立．故选A．【解析】【分析】由中点的性质可得出EF∥CD，且EF=CD=BG，结合平行即可证得②结论成立，由BD=2BC得出BO=BC，即而得出BE⊥AC，由中线的性质可知GP∥BE，且GP=BE，AO=EO，通过证△APG≌△EPG得出AG=EG=EF得出①成立，再证△GPE≌△FPE得出④成立，此题得解．7.【答案】【解答】解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，故错误；B、（-x3）2=x6，故错误；C、x6÷x3=x3，正确；D、x2•x3=x5，故错误；故选：C．【解析】【分析】根据同底数幂的除法、乘法和幂的乘方，即可解答．8.【答案】【解答】解：A、两个多项式的第一项不同，故不能用平方差公式；B、是-a与b的和乘以-a与b的差，因而可以用平方差公式；C、两个多项式的每项都是互为相反数，不能用平方差公式；D、两个多项式的每项都是互为相反数，不能用平方差公式．故选B．【解析】【分析】平方差公式是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．9.【答案】解：​A​​、​​a6​​与​B​​、​​a2​C​​、​(​2a)​D​​、​(​a-b)故选：​C​​．【解析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方与完全平方公式逐一计算可得．本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方与完全平方公式．10.【答案】【解答】解：根据分式方程的定义得：-=．故选B．【解析】【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，判断即可得到结果．二、填空题11.【答案】解：​∵∠C=90°​​，​BC=3​​，​AC=4​​，​∴AB=5​​，​∵BD​​平分​∠ABC​​，​∴∠ABD=∠DBC​​，​∵AD//BC​​，​∴∠DBC=∠D​​，​∴∠D=∠ABD​​，​∴AD=AB=5​​，故答案为：5．【解析】先求出​AB​​，再由​BD​​平分​∠ABC​​，​AD//BC​​，证明​AD=AB​​即可．本题考查勾股定理、等腰三角形判定等知识，解题的关键是证明​AD=AB​​．12.【答案】解：由图可知，​∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°​​．故答案为：​360°​​．【解析】由图形可看出，​∠1​​，​∠2​​，​∠3​​，​∠4​​，​∠5​​可看作一个五边形的外角，由多边形外角和定理可知，​∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°​​．本题主要考查多边形的外角和定理，任意多边形的外角和为​360°​​．13.【答案】解：延长​CD​​，交​x​​轴于点​F​​，​∵∠BOF=90°​​，​AB⊥OB​​，​CD⊥AB​​，​∴​​四边形​DBOF​​为矩形．​∴OB=DF​​，​BD=OF​​．设点​C​​的坐标为​(x,y)​​，则​x>0​​，​y​∴OF=x​​，​CF=-y​​．​∵OA​​是第四象限的角平分线，​AB⊥OB​​，​∴ΔAOB​​为等腰直角三角形．​∴∠BAO=45°​​，​AB=OB​​，​​SΔAOB​∵∠OAC=90°​​，​∴∠BAC=45°​​．​∵CD⊥AB​​，​∴ΔACD​​为等腰直角三角形，​∴AD=CD​​，​​SΔACD​∵ΔACD​​的面积比​ΔAOB​​的面积少5，​∴​​​1​​∴AB2​∴(AB+AD)(AB-AD)=10​​．即​(CD+OB)⋅BD=10​​．​∴CF⋅OF=10​​．​∴(-y)⋅x=10​​．​∴xy=-10​​．​∴k=xy=-10​​．故答案为：​-10​​．【解析】由题意，​ΔABO​​和​ΔACD​​为等腰直角三角形，面积可以表示；设出点​C​​的坐标，用​C​​的坐标表示线段​BD​​，​CF​​，利用待定系数法可求．本题主要考查了反比例函数的比例系数​k​​的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，角平分线的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．14.【答案】【解答】解：根据题中的新定义得：-=，去分母得：2-1=3x，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．故答案为：x=．【解析】【分析】已知方程利用题中的新定义化简，求出解即可．15.【答案】【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得“508”与“802”成轴对称，故她的运动衣上的实际号码是802．故答案为：802．【解析】【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．16.【答案】【解答】解：（1）如图，连接PC，∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，∵∠DPE=∠α=65°，∠C=90°，∴∠1+∠2=65°+90°=155°，故答案为：155°；（2）连接PC，∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，∵∠C=90°，∠DPE=∠α，∴∠1+∠2=90°+∠α；【解析】【分析】（1）连接PC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可；（2）利用（1）中所求得出答案即可．17.【答案】【答案】【解析】观察图形，根据正方形的四条边相等和等腰直角三角形的腰长为斜边长的倍，分别求得每个正方形的边长，从而发现规律，再根据规律求出第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和即可．【解析】∵第一个正方形的边长为1，第2个正方形的边长为（）1=，第3个正方形的边长为（）2=，…，第n个正方形的边长为（）n﹣1，∴第n个正方形的面积为：[（）2]n﹣1=，则第n个等腰直角三角形的面积为：×=，故第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn=+=．故答案为：．18.【答案】【答案】眼睛在平面镜中看到物体的像，物体的实际情况可以有两种方法进行判断：（1）把试卷翻过来对着光看，看到物体的实际情况．（2）根据平面镜成像特点作图找到物体的实际情况．【解析】把试卷翻过来对着光看到“18”，所以实际上屏幕显示18．故答案为：18．19.【答案】解：​a​=a​=a-1​=-1​​．故答案为：​-1​​．【解析】先把要求的式子进行通分，再根据同分母相加减，分母不变，分子相加减即可得出答案．此题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键，20.【答案】解：如图，设​ΔGEF​​为正方形​ABCD​​的一个内接正三角形，作正​ΔGEF​​的高​EK​​，连接​KA​​，​KD​​，​∵∠EKG=∠EDG=90°​​，​∴E​​、​K​​、​D​​、​G​​四点共圆，​∴∠KDE=∠KGE=60°​​，同理​∠KAE=60°​​，​∴ΔKAD​​是一个正三角形，则​K​​必为一个定点，​∵​正三角形面积取决于它的边长，​∴​​当​FG⊥AB​​时，边长​FG​​最小，面积也最小，此时边长等于正方形边长为2，当​FG​​过​B​​点时，即​F'​​与点​B​​重合时，边长最大，面积也最大，此时作​KH⊥BC​​于​H​​，由等边三角形的性质可知，​K​​为​FG​​的中点，​∵KH//CD​​，​∴KH​​为三角形​F'CG'​​的中位线，​∴CG'=2HK=2(EH-EK)=2(2-2×sin60°)=4-23​∴F'G'=​BC故答案为：​26【解析】设​ΔGEF​​为正方形​ABCD​​的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点必落在正方形的三条边上，所以令​F​​、​G​​两点在正方形的一组对边上，作​FG​​边上的高为​EK​​，垂足为​K​​，连接​KA​​，​KD​​，可证​E​​、​K​​、​D​​、​G​​四点共圆，则​∠KDE=∠KGE=60°​​，同理​∠KAE=60°​​，可证​ΔKAD​​也是一个正三角形，则​K​​必为一个定点，再分别求边长的最大值与最小值．本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和正方形的性质，勾股定理等知识点是解题的关键．三、解答题21.【答案】解：（1）​∵∠BOC=120°​​，​∴∠AOB=60°​​，​∵​四边形​ABCD​​是矩形，​∴∠BAD=90°​​，​AC=BD​​，​AO=OC​​，​BO=DO​​，​∴AO=BO​​，​∴ΔAOB​​是等边三角形，​∴AB=AO=BO​​，​∵AB=2​​，​∴BO=2​​，​∴BD=2BO=4​​，​∴​​矩形对角线的长为4；（2）由勾股定理得：​AD=​BD​∵OA=OD​​，​OE⊥AD​​于点​E​​，​∴AE=DE=1​∴tanα=AE【解析】（1）根据矩形的性质求出​AC=2AO​​，根据等边三角形的判定得出​ΔAOB​​是等边三角形，求出​AB=AO=2​​，求出​BD​​；（2）根据勾股定理求出​AD​​，然后根据等腰三角形的性质求得​AE​​，然后解直角三角形求得​tanα​的值．本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理以及解直角三角形等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．22.【答案】解：（1）如图，​EF​​为所作；（2）​BE=2CF​​．证明：​∵AD⊥BC​​，​∴∠ADB=∠ADC=90°​​，​∵BA=BC​​，​BF⊥AC​​，​∴AF=CF​​，​∠BFC=90°​​，​∵∠C+∠CBF=90°​​，​∠C+∠CAD=90°​​，​∴∠CBF=∠CAD​​，在​ΔACD​​和​ΔBED​​中，​​​∴ΔACD≅ΔBED(ASA)​​，​∴AC=BE​​，而​AC=2CF​​，​∴BE=2CF​​．【解析】（1）利用基本作图作​AF⊥AC​​于​F​​；（2）利用等腰三角形的性质得到​AF=CF​​，​∠BFC=90°​​，再证明​ΔACD≅ΔBED​​，则​AC=BE​​，从而得到​∴BE=2CF​​．本题考查了作图​-​​基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质．23.【答案】【解答】解：设u=（-），原方程等价于u2-u+=0，去分母，得3u2-7u+4=0．因式分解，得（3u-4）（u-1）=0．解得u=，u=1．当u=时，（-）=．去分母，得x2-4x-6=0，解得x1=2+，x2=2-；当u=1时，（-）=1，去分母，得x2-3x-6=0，解得x3=，x4=，经检验：x1=2+，x2=2-，x3=，x4=是原分式方程的解，当x1=2+时，x-=2+-=2+-=2+2+2-=4；当x2=2-时，x-=2--=2--=2-+2+=4当x3=时，x-=-=-=-=+=3；当x4=时，x-=-=-=-=+=3+；综上所述：x-=4，3，3+．【解析】【分析】根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得分式方程，根据解分式方程呢，可得答案．24.【答案】【解答】解：设第三边长为x，由题意得：7-2＜x＜7+2，解得：5＜x＜9，∵周长为奇数，∴x=6或8，当周长为5的倍数时，x=6．【解析】【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系定理可得7-2＜x＜7+2，解不等式可得x的取值范围，然后再根据周长的要求确定x的值．25.【答案】【解答】解：（1）=，=，；（2）=-=-，=，==．【解析】【分析】把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，依此确定最简公分母即可求解．26.【答案】【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=20cm，D是AB的中点，∴BD=10cm，∵点Q的速度与点P的速度不同，∴BP≠CQ，要使△BPD和△CQP全等，则BP=CP=8cmCQ=BD=10cm，∴x==4秒，∴a==cm/s；（2）①当∠BPD=90°时，∵∠B=60°，∴∠BDP=30°，∴2BP=BD=10，∴BP=5，即2x=5，∴x=2.5；②当∠BDP=90°时，∵∠B=60°，∴∠BPD=30°，∴BP=2BD=20，即2x=20，∴x=10；∴当P出发2.5秒或10秒后，△BPD为直角三角形；（3）点P在边BC上，△CPQ为等腰三角形，①当PQ=CQ，∵∠C=70°，∴∠CPQ=∠C=70°，②当PQ=PC，∵∠C=70°，∴∠PQC=∠C=70°，∴∠CPQ=180°-2×70°=40°，③当PC=CQ，∵∠C=70°，∴∠CPQ=∠CQP==55°，点P在边BC的延长线上，△CPQ为等腰三角形，∵∠ACB=70°，∴∠ACP=110°，∵PC=CQ，∴∠CPQ=∠CQP==35°，综上所述：当△CPQ为等腰三角形时，∠CPQ的度数为35°，40°，55°，70°．【解析】【分析】（1）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）分两种情况；①当∠BPD=90°时，由∠B=60°，得到∠BDP=30°，求得2BP=BD=10，求出x=2.5；②当∠BDP=90°时，根据三角形的内角和得到∠BPD=30°，求出x=10；即可得到当P出发2.5秒或10秒后，△BPD为直角三角形；（3）分点P在边BC上或点P在边BC的延长线上，△CPQ为等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．27.