线性控制理论总复习(2012)

主要学习内容Ch1绪论Ch2线性系统的状态空间描述

Ch3线性系统的运动分析Ch4线性系统的能控性和能观性Ch5系统运动的稳定性Ch6线性反馈系统的时间域综合1一．系统数学描述的两种基本类型(※)

1、输入—输出描述（外部描述）(1)用传递函数、微分方程等表征；(2)是系统的外部描述；(3)是对系统的不完全描述。第2章线性系统的状态空间描述2、状态空间描述（内部描述）

(1)用状态空间表达式表征；(2)是系统的内部描述；(3)是对系统的完全描述。2二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立建立状态空间表达式的方法主要有两种：根据系统机理建立状态空间表达式由系统输入输出描述建立状态空间表达式(※)能控标准型实现(※)能观测标准型实现(※)对角型实现（了解）约当规范型实现（了解）3三、传递函数矩阵的计算（※）设线性定常连续系统的状态空间描述为：在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达式为：（※）41.非奇异线性变换的不变特性

非奇异线性变换后系统特征值不变、传递函数矩阵不变、能控性不变、能观测性、稳定性不变.2.线性系统等价状态空间描述3.状态方程的对角规范形和约当规范形四、

线性定常系统的坐标变换5五、组合系统的状态空间描述（※）

组合系统：由两个或两个以上的子系统按一定方式相互联接而构成的系统称为组合系统。基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈三种组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵(※)6第3章线性系统的运动分析一．线性定常系统的状态转移矩阵的定义线性定常系统的状态转移矩阵为：当t0=0时，可将其表为即对于线性定常系统来说，它的状态转移矩阵就是矩阵指数函数。

7二．线性定常系统的状态转移矩阵的性质和计算（※）1．性质：（7条）（※）2．的计算方法（※）1）定义法（最常用）3）拉氏反变换法（※）2）特征值法8三．线性定常系统状态方程解x(t)的计算（※）

(求线性定常系统的状态响应和输出响应)1．积分法：

2．拉氏变换法：9第4章线性系统的可控性与可观测性一、线性定常连续系统的可控性判据（※）1．秩判据2．PBH秩判据3．对角线规范型判据4．约当规范型判据103．对角线规范型判据（※）当矩阵A的特征值为两两相异时，线性定常连续系统完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型中，不包含元素全为零的行。11当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连续系统完全能控的充分必要条件是：由其导出的约当规范型中，中与同一特征值的各约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是行线性无关的。4．约当规范型判据12二．线性定常连续系统的能观测性判据（※）1．秩判据2．PBH秩判据3．对角线规范型判据4．约当规范型判据133.对角线规范型判据（※）当矩阵A的特征值为两两相异时，线性定常连续系统完全能观测的充分必要条件是：其对角线规范型中，不包含元素全为零的列。144.约当规范型判据当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连续系统完全能观测的充分必要条件是：由其导出的约当规范型中，中与同一特征值的各约当块对应的各子块的第一列组成的矩阵是列线性无关的。15三、能控性指数和能观性指数

1.能控性指数：对完全能控线性定常系统其中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；设k为正整数，定义如下(n×kp)矩阵：定义系统的能控性指数为：说明：对矩阵Qk将k依次由1增加直到有rankQk=n

，则此时的k就是能控性指数μ

。

16结论1：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统,状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，若为矩阵A的最小多项式的次数，则系统能控性指数满足如下估计：

2.能观测性指数：对完全能观测的线性定常系统其中：x为n维状态向量；y为q维输出向量；设k为正整数，定义如下(kq×n)矩阵：17定义系统的能观测性指数为：说明：对矩阵将k依次由1增加直到有，则此时的k就是能控性指数ν

。

18

结论2：对完全能观测多输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输出维数为q，设rankC=m，若为矩阵A的最小多项式的次数，则系统能观测性指数还满足如下估计19

考虑连续时间线性时变系统

线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：式中：—协状态,n维行向量；—输出,p维行向量；

—输入，q维行向量。（1）（2）四、对偶性1.对偶系统20说明：状态转移矩阵的对偶性：

线性时变系统的完全能控等同于其对偶系统的完全能观测，线性时变系统的完全能观测等同于其对偶系统的完全能控，即∑完全能控∑d完全能观测

∑完全能观测∑d完全能控2.对偶原理211.能控规范形的定义：

对完全能控的单输入单输出线性时不变系统，如果其状态空间描述具有如下形式其中：

则称此状态空间描述为能控规范形。五.能控能观规范形(重点在SISO)22结论：对于完全能控的单输入单输出线性时不变系统其中：A为n×n常阵，b，c分别为n维列向量和n维行向量。设系统的特征多项式为引入非奇异线性变换阵P：2.化SISO能控系统为能控规范形23作变换，即可导出能控规范形为：式中：其中：243.能观测规范形的定义：

对完全能观测的单输入单输出线性时不变系统，如果其状态空间描述具有如下形式其中：

则称此状态空间描述为能观测规范形。25结论：对于完全能观测的单输入单输出线性时不变系统其中：A为n×n常阵，b，c分别为n维列向量和n维行向量。设系统的特征多项式为引入非奇异线性变换阵Q：4.化SISO能观测系统为能观测规范形26作变换，即可导出能观测规范形为：式中：其中：27

结论：对不完全能控的系统，rankQc=k<n，引入线性非奇异变换，即可导出系统按能控性结构分解的规范表达式P矩阵如何确定？六、连续时间线性时不变系统的结构分解1.线性定常系统按能控性的结构分解281）从能控性判别阵Qc中任意的选取k个线性无关的列向量，记为。2）在n维实数空间中任意选取尽可能简单的(n-k)个列向量（注：所谓尽可能简单是指这(n-k)个列向量中有尽可能多的元素为零，非零元素取值为1），记为，使它们和线性无关。这样就可以构成n×n非奇异变换矩阵非奇异变换矩阵P-1的构造方法29

结论：对不完全能观的系统，rankQo=m<n，引入线性非奇异变换，即可导出系统按能观性结构分解的规范表达式F矩阵如何确定？2.线性定常系统按能观测性的结构分解30从Qo中任意的选取m个线性无关的行向量，记为。非奇异变换矩阵F的构造方法2.在n维实数空间中任意选取尽可能简单的(n-m)个n维行向量，使它们和线性无关。构成n×n非奇异变换矩阵31七.最小实现（补充）1．最小实现的定义：传递函数矩阵G(s)的一个维数最低的实现，称为G(s)的最小实现或不可约简实现。3．定理1：设(A,B,C)为传递函数矩阵的一个n维实现，则其为最小实现的充要条件是{A,B}可控且{A,C}可观测。323.设单输入单输出线性定常系统(A,b,c)的传递函数为：式中：是系统的特征多项式；

，其中adj(sI-A)为特征矩阵sI-A的伴随矩阵。定理2：系统实现(A,b,c)为最小实现，即为可控且可观测的充要条件是，与互质。注3：对MIMO系统，与互质是(A,B,C)为最小实现的充分条件。33一、线性定常系统内部稳定性和外部稳定性的关系第5章系统运动的稳定性外部稳定性内部稳定性既能控又能观时34二、李雅普诺夫第二法主要定理1.结论5.11(定常系统大范围渐近稳定判别定理1)对于定常系统其中f(0)=0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x),V(0)=0，并且对于状态空间X中的一切非零点x满足如下条件：

1）V(x)为正定；

2）为负定；

3）当时，。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。352.结论5.12(定常系统大范围渐近稳定判别定理2)对于定常系统其中f(0)=0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x),V(0)=0，并且对于状态空间X中的一切非零点x满足如下条件：

1）V(x)为正定；

2）为负半定；

3）对于任意非零；

4）当时，。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。36结论5.22/5.23[特征值判据]：考虑线性定常自治系统系统的每一个平衡状态是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为：系统矩阵A的所有特征值均具有非正(负或零)实部，且实部为零的特征值是A的最小多项式的单根。系统的唯一平衡态xe=0是渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的所有特征值均具有负实部。三、线性时不变系统的特征值稳定判据(sI-A)-1中所有元素的最小公分母37结论5.24（※）线性定常系统的原点平衡状态为渐近稳定的充分必要条件是，对于任意给定的一个正定对称矩阵Q，李亚普诺夫矩阵方程有唯一正定对称矩阵解P。注意：使用中常选取Q阵为单位阵或正定对角阵。

四、线性时不变系统的李亚普诺夫稳定判据38第6章线性反馈系统的时间域综合一.两种常用反馈结构1.状态反馈：2.输出反馈：39二.反馈结构对系统性能的影响(※)1.对系统可控性和可观测性的影响结论6.1/6.2：状态反馈不改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性。结论6.3：输出反馈不改变系统的能控性和能观测性。结论