河北省秦皇岛市一中2024届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析

河北省秦皇岛市一中2024届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为（）A． B． C． D．2．如图所示，程序框图算法流程图的输出结果是A． B． C． D．3．数列的一个通项公式为（）A． B．C． D．4．在中，若则等于（）A． B． C． D．5．若不等式对实数恒成立，则实数的取值范围（）A．或 B．C． D．6．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．20 C．24 D．287．下列说法正确的是（）A．锐角是第一象限的角，所以第一象限的角都是锐角;B．如果向量，则；C．在中，记，，则向量与可以作为平面ABC内的一组基底；D．若，都是单位向量，则.8．设等差数列的前n项和为，首项，公差，，则最大时，n的值为()A．11 B．10 C．9 D．89．设数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，且、、成等比数列，则等于（）A． B． C． D．10．若函数在一个周期内的图象如图所示，且在轴上的截距为，分别是这段图象的最高点和最低点，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．过点直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当最小时，直线的一般方程为______.12．在等差数列中，，，则公差______.13．不等式的解集为_____________________。14．设变量x、y满足约束条件，则目标函数的最大值为_______.15．已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是.16．计算：________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.（1）求斜率的取值范围；（2）为坐标原点，求证：直线与的斜率之和为定值.18．已知函数（1）求函数的最大值，以及取到最大值时所对应的的集合；（2）在上恒成立，求实数的取值范围．19．已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式（2）数列的前项和为，若存在，使得成立，求范围?20．已知函数.（1）求函数在上的最小值的表达式；（2）若函数在上有且只有一个零点，求的取值范围.21．已知数列的前项和（1）求的通项公式；（2）若数列满足：，求的前项和（结果需化简）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

采用列举法写出总事件，再结合古典概型公式求解即可【题目详解】被选出的情况具体有：甲乙、甲丙、乙丙，甲被选中有两种，则故选：D2、D【解题分析】

模拟程序图框的运行过程，得出当时，不再运行循环体，直接输出S值．【题目详解】模拟程序图框的运行过程，得S=0,n=2,n<8满足条件，进入循环：S=满足条件，进入循环：进入循环：不满足判断框的条件，进而输出s值，该程序运行后输出的是计算：．故选D．【题目点拨】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．根据程序框图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．3、C【解题分析】

利用特殊值,将代入四个选项即可排除错误选项.【题目详解】将代入四个选项,可得A中B中D中只有C中所以排除ABD选项故选：C【题目点拨】本题考查了根据几个项选择数列的通项公式,特殊值法是解决此类问题的简单方法,属于基础题.4、D【解题分析】

由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以或，故选D.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5、C【解题分析】

对m分m≠0和m=0两种情况讨论分析得解.【题目详解】由题得时，x＜0，与已知不符，所以m≠0.当m≠0时，，所以.综合得m的取值范围为.故选C【题目点拨】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6、B【解题分析】

根据三视图可还原几何体，根据长度关系依次计算出各个侧面和上下底面的面积，加和得到表面积.【题目详解】有三视图可得几何体的直观图如下图所示：其中：，，，则：，，，，几何体表面积：本题正确选项：【题目点拨】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，从而根据长度关系可依次计算出各个面的面积.7、C【解题分析】

可举的角在第一象限，但不是锐角，可判断A；考虑两向量是否为零向量，可判断B；由不共线，推得与不共线，可判断C；考虑两向量的方向可判断D，得到答案．【题目详解】对于A，锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定为锐角，比如的角在第一象限，但不是锐角，故A错误；对于B，如果两个非零向量满足，则，若存在零向量，结论不一定成立，故B错误；对于C，在中，记，可得与不共线，则向量与可以作为平面内的一组基底，故C正确；对于D，若都是单位向量，且方向相同时，；若方向不相同，结论不成立，所以D错误．故选C．【题目点拨】本题主要考查了命题的真假判断，主要是向量共线和垂直的条件，着重考查了判断能力和分析能力，属于基础题．8、B【解题分析】

由等差数列前项和公式得出，结合数列为递减数列确定，从而得到最大时，的值为10.【题目详解】由题意可得等差数列的首项，公差则数列为递减数列即当时，最大故选B。【题目点拨】本题对等差数列前项和以及通项公式，关键是将转化为，结合数列的单调性确定最大时，的值为10.9、A【解题分析】

设等差数列的公差为，根据得出与的等量关系，即可计算出的值.【题目详解】设等差数列的公差为，由于、、成等比数列，则有，所以，，化简得，因此，.故选：A.【题目点拨】本题考查等差数列前项和中基本量的计算，解题的关键就是结合题意得出首项与公差的等量关系，考查计算能力，属于基础题.10、D【解题分析】

根据图象求出函数的解析式，然后求出点的坐标，进而可得所求结果．【题目详解】根据函数在一个周期内的图象，可得，∴．再根据五点法作图可得，∴，∴函数的解析式为．∵该函数在y轴上的截距为，∴，∴，故函数的解析式为．∴，∴，又，∴向量在方向上的投影为．故选D．【题目点拨】解答本题的关键有两个：一是正确求出函数的解析式，进而得到两点的坐标，此处要灵活运用“五点法”求出的值；二是注意一个向量在另一个向量方向上的投影的概念，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

设直线的截距式方程为，利用该直线过可得，再利用基本不等式可求何时即取最小值，从而得到相应的直线方程．【题目详解】设直线的截距式方程为，其中且．因为直线过，故．所以，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，故当取最小值时，直线方程为：．填．【题目点拨】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于的轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于轴的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式，特别地，如果考虑的问题是与直线、坐标轴围成的直角三角形有关的问题，可考虑利用截距式.12、3【解题分析】

根据等差数列公差性质列式得结果.【题目详解】因为，，所以.【题目点拨】本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题.13、或【解题分析】

利用一元二次函数的图象或转化为一元一次不等式组解一元二次不等式.【题目详解】由，或，所以或，不等式的解集为或.【题目点拨】本题考查解一元二次不等式，考查计算能力，属于基本题.14、3【解题分析】

可通过限定条件作出对应的平面区域图，再根据目标函数特点进行求值【题目详解】可行域如图所示;则可化为,由图象可知,当过点时，有最大值，则其最大值为:故答案为:3.【题目点拨】线性规划问题关键是能正确画出可行域，目标函数可由几何意义确定具体含义（最值或斜率）15、【解题分析】

由题意得，依次求得，，，，，∵，且＞0，∴，依次求得======，∴+=+=．考点：数列的递推公式．16、【解题分析】

用正弦、正切的诱导公式化简求值即可.【题目详解】.【题目点拨】本题考查了正弦、正切的诱导公式，考查了特殊角的正弦值和正切值.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）根据圆心到直线的距离小于半径得到答案.（2）联立直线与圆方程：.韦达定理得计算，化简得到答案.【题目详解】解：（1）直线的方程为：即.由得圆心，半径.直线与圆相交得，即.解得.所以斜率的取值范围为.（2）联立直线与圆方程：.消去整理得.设，，根据韦达定理得.则.∴直线与的斜率之和为定值1.【题目点拨】本题考查了斜率的取值范围，圆锥曲线的定值问题，意在考查学生的计算能力.18、，，;（2）【解题分析】

（1）．此时，（2），，即，．，，且，，即的取值范围是．19、（1）；（2）【解题分析】

（1）根据之间关系，可得结果（2）利用错位相减法，可得，然后使用分离参数的方法，根据单调性，计算其范围，可得结果.【题目详解】（1）当时，两式相减得：当时，，不符合上式所以（2）令，所以所以令①②所以①-②：则化简可得故，若存在，使得成立即存在，成立故，由，则所以可知数列在单调递增所以，故【题目点拨】本题考查了之间关系，还考查了错位相减法求和，本题难点在于的求法，重点在于错位相减法的应用，属中档题.20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）求出函数的对称轴方程，对实数分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，进而可得出函数在区间上的最小值的表达式；（2）对函数分情况讨论：（i）方程在区间上有两个相等的实根；（ii）①方程在区间只有一根；（②；③.可得出关于实数的等式或不等式，即可解得实数的取值范围.【题目详解】（1），其对称轴为，当，即时，函数在区间上单调递减，；当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，；当时，即当时，函数在区间上单调递增，.综上所述：；（2）（i）若方程在上有两个相等的实数根，则，此时无解；（ii）若方程有两个不相等的实数根.①当只有一根在内时，，即，得；②当时，，方程化为，其根为，，满足题意；③当时，，方程化为，其根为，，满足题意.综上所述，的取值范围是.【题目点拨】本题考查