2022-2023学年辽宁省大连市高一（上）期末数学模拟试卷

第1页（共1页）2022-2023学年辽宁省大连市高一（上）期末数学模拟试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）集合A＝{2，3，4，5，6}，B＝{y|y＝2x+4}，则A∩B的真子集个数是（）A．3 B．4 C．7 D．152．（5分）函数f（x）在[a，b]上有零点是f（a）f（b）＜0的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）从某城市里随机抽取16台自动售货机，销售额如图所示．则下列说法正确的是（）A．甲组平均数小，甲组中位数大 B．甲组平均数小，甲组中位数小 C．甲组平均数大，甲组中位数大 D．甲组平均数大，甲组中位数小4．（5分）若函数为偶函数，则b的值为（）A．﹣1 B． C．0 D．5．（5分）生物学上，J型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为，其中N0为初始个体数，N为最终个体数．若某种群在该模型下，个体数由100增长至120消耗了10天，则个体数由120增长至160消耗的时间大约为（）（参考数据：lg2＝0.3，lg3＝0.48）A．14 B．15 C．16 D．176．（5分）若a＞0，b＞0，a+b＝1，则﹣的最大值为（）A． B． C． D．7．（5分）已知函数f（x）在定义域[1，3]上满足f（x）f（y）＝f（x+y），f（1）＝2，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），则g（x）＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．88．（5分）高斯函数是数学中的一种函数，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数．则方程x2＝2[x]+1的解的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）（多选）9．（5分）若a＞b＞1，c∈R，则下列说法一定正确的是（）A．ac＞bc B．logba＞1 C． D．若a+b＝4，则2a+2b＞8（多选）10．（5分）若正方形ABCD，O为ABCD所在平面内一点，且，则下列说法正确的是（）A．可以表示平面内任意一个向量 B．若x+y＝1，则O在直线BD上 C．若x＝y＝，，则 D．若，则S△ABC＝6S△BOC（多选）11．（5分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1，α≠0.5），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1，β≠0.5），收到1的概率为1﹣β．若在信道内依次发送信号1，0，为了检验收到信号的一端将收到的信号发回到输入端．下列说法正确的是（）A．“收到的信号为1，0”是“传回的信号为1，0”的充分条件． B．“收到的信号为1，0”与“传回的信号为1，0”不是相互独立的 C．若α＝β，则事件“传回的信号为1，0”的概率一定大于0.25 D．若α＝0.8，β＝0.6，则事件“传回的信号为1，0”的概率为31.68%（多选）12．（5分）函数，若f（1）＝2，且a＞1，g（x）＝f（x）﹣t，t∈（0，+∞），则下列说法正确的是（）A．a＝3 B．函数g（x）至少有4个零点 C．当函数g（x）有8个零点时，设最大零点为x8，则 D．函数g（x）所有零点之和为定值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）一组数据1，2，3，3，4，5，x的平均数与众数相等，则这组数据的75%分位数是．14．（5分），若f（x）在（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围是．15．（5分）现生产一款产品，其利润y（单位：万元）和投资x（单位：万元）的关系可以近似用函数表示．若投资4万元时，利润为5万元；投资9万元时，利润为7万元，则y≥x时投资x的范围是.随机抽取6年的数据，已知这六年的投资都不亏本，若利润的平均数为3万元，则利润的方差的最大值为.（单位：万元）16．（5分）已知函数，其中0＜a＜4．若方程f（f（x））＝2有且只有一个解，则a的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合，B＝{x|x2﹣ax+2＞0}．（1）若a＝3，求∁UB∩A．（2）若A⊆B，求a的取值范围．18．（12分）现随机抽取1000名A校学生和1000名B校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间[40，100）中，经统计绘制成一组组距为10的频率分布直方图，对A校学生的成绩经分析后发现频率分布直方图中的Y（）满足函数关系Y＝，关于B校学生成绩的频率分布直方图如图所示，假定每组组内数据都是均匀分布的．（1）求k的值．（2）估计B校学生得分的中位数与众数（3）现在设置一个标准t来判定某一学生是属于A校还是B校，将成绩小于t的学生判为B校，大于t的学生判为A校，将A校学生误判为B校学生的概率称为误判率A，将B校学生误判为A校学生的概率称为误判率B，误判率A与误判率B之和称作总误判率．若t∈[50，70），求总误判率的最小值，以及此时t的值．19．（12分）在三角形ABC中，，，，D为线段AC上任意一点，BD交AE于O．（1）若．①用表示．②若，求λ的值．（2）若，则求的最小值．20．（12分）在某游戏中，小明遇到了如图的开关阵列，每个开关只有开和关两个状态，摁下某个开关会导致自身及相邻位置的开关状态发生变化．例如摁下（2，2）会导致（1，2）（2，1）（2，2）（2，3）（3，2）发生状态变化．开始时所有开关均关闭．（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2）（3，3）（1）如果随机摁下一个开关，求最终状态为“打开”的的开关数目为4的概率．（2）如果从上两排六个开关中随机选择并摁下两个不同的开关，求摁下第一排和第二排各一个开关的概率．（3）如果依次按下两个开关，求最终状态为“打开”的开关数目为4的概率．21．（12分）若函数f（x）在定义域R上满足f（x）+f（y）＝f（x+y），且x＞0时f（x）＞0，定义域为[﹣2，2]的g（x）为偶函数．（1）求证：函数f（x）在定义域上单调递增．（2）若在区间[﹣1，1]上，f（x）+g（x）＝﹣x2+x+1；g（x）在[0，2]上的图象关于点（1，0）对称．（Ⅰ）求函数f（x）和函数g（x）在区间[﹣2，2]上的解析式．（Ⅱ）若关于x的不等式，0＜a＜4对任意定义域内的﹣2≤x1＜x2＜t恒成立，求实数t存在时，t的最大值关于a的函数关系．22．（12分）已知函数，g（x）＝xα+x﹣α．（1）直接写出x＞0时，g（x）的最小值；（2）a＝2时，F（x）＝f（x）﹣log43在是否存在零点？给出结论并证明；（3）若，f（g（x））存在两个零点，求a的取值范围．

2022-2023学年辽宁省大连市高一（上）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）集合A＝{2，3，4，5，6}，B＝{y|y＝2x+4}，则A∩B的真子集个数是（）A．3 B．4 C．7 D．15【分析】先确定集合B，然后求出A∩B，即可得出答案．【解答】解：y＝2x+4＞4，所以B＝（4，+∞），所以A∩B＝{5，6}，共两个元素，所以其真子集的个数为22﹣1＝3．故选：A．【点评】本题主要考查集合交集的运算，属于基础题．2．（5分）函数f（x）在[a，b]上有零点是f（a）f（b）＜0的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，由函数零点判定定理，分析“函数f（x）在[a，b]上有零点”与“f（a）f（b）＜0”的关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，当f（x）在（a，b）上有零点时，不一定有f（a）f（b）＜0，如f（x）＝x2﹣1在[﹣2，2]有有零点，但f（﹣2）f（2）＞0；反之，若f（a）f（b）＜0，f（x）在（a，b）上也未必有零点，如，在[﹣1，1]上，f（1）＝3，f（﹣1）＝﹣2，即f（1）f（﹣1）＜0，但在[﹣1，1]上f（x）无零点；故“函数f（x）在[a，b]上有零点”是“f（a）f（b）＜0”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查函数零点判定定理，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．3．（5分）从某城市里随机抽取16台自动售货机，销售额如图所示．则下列说法正确的是（）A．甲组平均数小，甲组中位数大 B．甲组平均数小，甲组中位数小 C．甲组平均数大，甲组中位数大 D．甲组平均数大，甲组中位数小【分析】根据茎叶图分布求出数据的平均数和中位数即可．【解答】解：结合茎叶图知：甲的中位数是＝20，乙的中位数是＝29，故甲组中位数小，＝（41+43+30+30+38+22+25+27+10+10+14+18+18+5+6+8）＝，＝（42+43+48+31+32+34+34+38+29+22+23+23+27+10+12+18）＝，故甲组平均数小．故选：B．【点评】本题考查了茎叶图，考查平均数和中位数，是基础题．4．（5分）若函数为偶函数，则b的值为（）A．﹣1 B． C．0 D．【分析】利用偶函数性质得恒成立，即可求参数值．【解答】解：由题设，所以恒成立，则．故选：B．【点评】本题主要考查了偶函数定义的应用，属于基础题．5．（5分）生物学上，J型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为，其中N0为初始个体数，N为最终个体数．若某种群在该模型下，个体数由100增长至120消耗了10天，则个体数由120增长至160消耗的时间大约为（）（参考数据：lg2＝0.3，lg3＝0.48）A．14 B．15 C．16 D．17【分析】将已知数据代入函数模型，利用对数的运算性质求出即可【解答】解：由题意可得，120＝100λ10，所以，即，所以，当N0＝120，N＝160时，，即，所以，由给定数据．故选：B．【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（5分）若a＞0，b＞0，a+b＝1，则﹣的最大值为（）A． B． C． D．【分析】由已知可知a＝1﹣b，代入到所求式子，进行分离变形，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝1，所以a＝1﹣b＞0，所以0＜b＜1，则+＝+＝+＝＝＝1+＝1+＝3﹣2b﹣所以﹣＝3﹣2b﹣+﹣＝3﹣2b﹣＝3﹣（2b+），当且仅当b＝，a＝1﹣时取等号．故选：D．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．7．（5分）已知函数f（x）在定义域[1，3]上满足f（x）f（y）＝f（x+y），f（1）＝2，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），则g（x）＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．8【分析】根据反函数及指数函数的性质，可令f（x）＝2x，进而有f﹣1（x）＝log2x，根据指对数的定义域和单调性判断g（x）定义域和单调性，利用单调性求最小值．【解答】解：由题意，令f（x）＝2x∈[2，8]，满足[1，3]上f（x）f（y）＝f（x+y）且f（1）＝2，此时f﹣1（x）＝log2x且定义域为[2，8]，所以g（x）＝2x+log2x定义域为[2，3]，且单调递增，所以g（x）min＝g（2）＝4+log22＝5．故选：C．【点评】本题主要考查反函数的应用，属于基础题．8．（5分）高斯函数是数学中的一种函数，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数．则方程x2＝2[x]+1的解的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据函数新定义得x﹣1＜[x]≤x，结合方程得2x﹣1＜x2≤2x+1求x范围，再由x2＝2[x]+1≥0有[x]≥0，且x2＝2k+1，k∈N*，讨论x2＝3、x2＝5、x2＝7即可得解的个数．【解答】解：由题意[x]≤x＜[x]+1，则x﹣1＜[x]≤x，所以2x﹣1＜2[x]+1≤2x+1，即2x﹣1＜x2≤2x+1，故，由x2＝2[x]+1≥0，则且[x]∈Z，故[x]≥0，且x2＝2k+1，k∈N*，若x2＝3，则，满足；若x2＝5，则，满足；若x2＝7，则，不满足；故其它情况均不满足题设，综上，、为方程x2＝2[x]+1的解，共2个．故选：C．【点评】本题属于新概念题，考查了高斯函数的性质、一元二次不等式的解法，属于中档题．二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）（多选）9．（5分）若a＞b＞1，c∈R，则下列说法一定正确的是（）A．ac＞bc B．logba＞1 C． D．若a+b＝4，则2a+2b＞8【分析】A、D应用特殊值判断即可；B由对数函数的性质判断；C由不等式性质判断．【解答】解：A：当c＝0时ac＝bc；当c＞0时ac＞bc；不一定正确；B：由a＞b＞1，则logba＞logbb＝1，一定正确；C：由a＞b＞1，则，故一定正确；D：当a+b＝4时，b＝4﹣a，又a＞b＞1，则2＜a＜3，令t＝2a，则4＜t＜8，2a+2b＝2a+24﹣a＝2a+＝t+在（4，8）上单调递增，故t+＞8，一定正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质，对数函数的单调性在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）若正方形ABCD，O为ABCD所在平面内一点，且，则下列说法正确的是（）A．可以表示平面内任意一个向量 B．若x+y＝1，则O在直线BD上 C．若x＝y＝，，则 D．若，则S△ABC＝6S△BOC【分析】由平面向量基本定理判断A；由向量共线的推论判断B；利用向量加法、数乘等线性运算用，表示出可判断C；由题设可得3，若E为BC中点，则，即可判断D．【解答】解：A：由题意AB⊥AD，又，x，y∈R，以{}为基底的坐标系中，根据平面向量基本定理，易知可以表示平面内任意一个向量，故A正确；B：由向量共线的推论知：若x+y＝1，则O在直线BD上，故B正确；C：由题设，则，所以，故C错误；D：由，则，若E为BC中点，则，即，且，如图所示，所以S△ABC＝6S△BOC，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查平面向量的线性运算，考查平面向量基本定理，属中档题．（多选）11．（5分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1，α≠0.5），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1，β≠0.5），收到1的概率为1﹣β．若在信道内依次发送信号1，0，为了检验收到信号的一端将收到的信号发回到输入端．下列说法正确的是（）A．“收到的信号为1，0”是“传回的信号为1，0”的充分条件． B．“收到的信号为1，0”与“传回的信号为1，0”不是相互独立的 C．若α＝β，则事件“传回的信号为1，0”的概率一定大于0.25 D．若α＝0.8，β＝0.6，则事件“传回的信号为1，0”的概率为31.68%【分析】根据题设，应用独立事件乘方公式写出收到不同信号的概率及其对应传回信号为1，0的概率，结合充分性、独立事件判定、基本不等式、互斥事件加法判断各项正误．【解答】解：收到信号为0，0概率为β（1﹣α），则传回信号为1，0概率为αβ（1﹣α）2，收到信号为1，0概率为（1﹣α）（1﹣β），则传回信号为1，0概率为[（1﹣α）（1﹣β）]2，收到信号为0，1概率为αβ，则传回信号为1，0概率为（αβ）2，收到信号为1，1概率为α（1﹣β），则传回信号为1，0概率为αβ（1﹣β）2，所以传回信号为1，0概率为αβ（1﹣α）2+（αβ）2+[（1﹣α）（1﹣β）]2+αβ（1﹣β）2，显然“收到的信号为1，0”不是“传回的信号为1，0”的充分条件，A错；[（1﹣α）（1﹣β）]•{αβ（1﹣α）2+（αβ）2+[（1﹣α）（1﹣β）]2+αβ（1﹣β）2}≠[（1﹣α）（1﹣β）]2，B对；由α＝β，则αβ[（1﹣α）2+（1﹣β）2]+[（1﹣α）（1﹣β）]2+（αβ）2＝[（1﹣α）2+α2]2，而，而，即不能取等号，故，所以，C对；由α＝0.8，β＝0.6，则αβ[（1﹣α）2+（1﹣β）2]+[（1﹣α）（1﹣β）]2+（αβ）2＝0.3328，D错．故选：BC．【点评】关键点睛：根据题意写出收到不同信号的概率及其对应传回信号为1，0的概率为关键，是中档题．（多选）12．（5分）函数，若f（1）＝2，且a＞1，g（x）＝f（x）﹣t，t∈（0，+∞），则下列说法正确的是（）A．a＝3 B．函数g（x）至少有4个零点 C．当函数g（x）有8个零点时，设最大零点为x8，则 D．函数g（x）所有零点之和为定值【分析】由题意求出a，将原问题转化为|x2﹣2x﹣8|＝m与|log3m|＝t方程有实根问题，再结合图像判断即可．【解答】解：，解得a＝3或，又a＞1，所以a＝3，故A正确；令g（x）＝f（x）﹣t＝0，t∈（0，+∞），即，t∈（0，+∞），令|x2﹣2x﹣8|＝m，则原方程转化为|log3m|＝t，如图，当t＞0时，方程|log3m|＝t有两解，m1∈（0，1），m2∈（1，+∞），如图当m2∈（1，9）时，原函数零点个数最少，有6个，故B错；当g（x）有8个零点时，如图，m2＝1和m2＝9是临界情况，令|x2﹣2x﹣8|＝1⇒|（x﹣1）2﹣9|＝1⇒（x﹣1）2﹣9＝±1⇒（x﹣1）2＝10或8，最小解为，所以，令|x2﹣2x﹣8|＝9⇒|（x﹣1）2﹣9|＝9⇒（x﹣1）2﹣9＝±9⇒（x﹣1）2＝18或0，最大解为，所以，故C正确；如图，易知所有零点都关于x＝1对称，当函数有8个零点时，所有零点的和为4×2＝8，当函数有7个零点时，所有零点的和为3×2+1＝7，当函数有6个零点时，所有零点的和为3×2＝6，故D错．故选：AC．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）一组数据1，2，3，3，4，5，x的平均数与众数相等，则这组数据的75%分位数是4．【分析】由平均数求法及众数的定义，讨论x＝3、x＝4、x＝5确定数据，进而求75%分位数．【解答】解：由题设，平均数为，若x∈{1，2，4，5}，众数有两个，其中一个为3；若x∉{1，2，4，5}，则众数为3；因为平均数与众数相等，当x＝3时，，满足；当x＝4时，，不满足；当x＝5时，，不满足；其它情况均不满足；所以，数据为1，2，3，3，3，4，5，则7×75%＝5.25，故这组数据的75%中位数是4．故答案为：4．【点评】本题考查平均数、中位数、百分位数的计算，是基础题．14．（5分），若f（x）在（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围是[，2]．【分析】根据题意，先证明在上是增函数，然后根据复合函数的单调性性质得出y＝logax应是增函数，，还有在（2，+∞）上恒大于0，由此可得参数范围．【解答】解：根据题意，设，设，则x1﹣x2＜0，x1x2﹣2a＞0，所以，即g（x1）＜g（x2），所以在时，g（x）是增函数，由题意y＝logax应是增函数，所以a＞1，从而，所以a≤2，又，，综上，，即a的取值范围为[，2]．故答案为：[，2]．【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．15．（5分）现生产一款产品，其利润y（单位：万元）和投资x（单位：万元）的关系可以近似用函数表示．若投资4万元时，利润为5万元；投资9万元时，利润为7万元，则y≥x时投资x的范围是.随机抽取6年的数据，已知这六年的投资都不亏本，若利润的平均数为3万元，则利润的方差的最大值为8.（单位：万元）【分析】由题先求出a、b，然后分类讨论解根式不等式；再求出利润的范围，在求出利润减平均数平方的范围，即可得出答案．【解答】解：由题得，所以，y≥x即，当0＜x≤1时，显然成立，当x＞1时，两边平方得，所以，综上，所以y≥x时投资x的范围是；由答空1得，要不亏本，，则，所以，，所以方差为，所以利润的方差的最大值为8万元．故答案为：；8．【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（5分）已知函数，其中0＜a＜4．若方程f（f（x））＝2有且只有一个解，则a的取值范围是．【分析】作出函数y＝x2﹣4x+2，y＝2x的图象，令t＝f（x），则f（t）＝2，再分0＜a≤1和1＜a＜4两种情况讨论，结合图象即可得出答案．【解答】解：如图，作出函数y＝x2﹣4x+2，y＝2x的图象，令t＝f（x），则f（t）＝2，当0＜a≤1时，由f（t）＝2，得t＝0或t＝1，即f（x）＝0或f（x）＝1，若方程f（x）＝1只有一个解，则，解得，若方程f（x）＝0只有一个解，则，解得，此时方程f（x）＝1必有解，与题意矛盾，所以，当1＜a＜4时，由f（t）＝2，得t＝0，即f（x）＝0，令x2﹣4x+2＝0，解得，要使方程f（x）＝0只有一个解，则，解得，综上，a的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属中档题．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合，B＝{x|x2﹣ax+2＞0}．（1）若a＝3，求∁UB∩A．（2）若A⊆B，求a的取值范围．【分析】（1）先求出集合A，B，然后结合集合的交集及补集运算即可求解；（2）结合集合的包含关系即可求解．【解答】解：（1）由＝{x|﹣3＜x＜﹣1}，由B＝{x|x2﹣3x+2＞0}＝{x|x＜1或x＞2}，所以∁UB＝{x|1≤x≤2}，故∁UB∩A＝∅．（2）因为A⊆B，A＝{x|﹣3＜x＜﹣1}，设f（x）＝x2﹣ax+2，则，解得a≤﹣，所以a的取值范围为：a∈（﹣∞，﹣]．【点评】本题主要考查了集合的补集及交集运算，还考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．18．（12分）现随机抽取1000名A校学生和1000名B校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间[40，100）中，经统计绘制成一组组距为10的频率分布直方图，对A校学生的成绩经分析后发现频率分布直方图中的Y（）满足函数关系Y＝，关于B校学生成绩的频率分布直方图如图所示，假定每组组内数据都是均匀分布的．（1）求k的值．（2）估计B校学生得分的中位数与众数（3）现在设置一个标准t来判定某一学生是属于A校还是B校，将成绩小于t的学生判为B校，大于t的学生判为A校，将A校学生误判为B校学生的概率称为误判率A，将B校学生误判为A校学生的概率称为误判率B，误判率A与误判率B之和称作总误判率．若t∈[50，70），求总误判率的最小值，以及此时t的值．【分析】（1）由已知结合频率频率的性质即可求解k；（2）根据频率分布直方图中估计中位数及估计众数的计算公式即可求解；（3）先表示出误判率函数，结合函数单调性即可求解．【解答】解：（1）由题可知，频率之和为1，所以0.1（k+2k+4k+4k+3k+2k）＝0.1，解得，（2）设中位数为x，则x为平分条形面积的位置，易知x＝50，设众数为y，众数为最高条形的中点位置，易知y＝45，（3）当t∈[50，60）时，＝，t∈[60，70），＝，由f（t）的单调性可知，t＝60，f（t）最小，此时，所以总误判率最小为，此时t＝60．【点评】本题考查由频率直方图的频率性质的应用，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．19．（12分）在三角形ABC中，，，，D为线段AC上任意一点，BD交AE于O．（1）若．①用表示．②若，求λ的值．（2）若，则求的最小值．【分析】（1）①根据平面向量的线性运算的几何意义求解即可；②利用三点共线时向量表示的充要条件，列出关于λ的方程求解；（2）根据，结合A，O，E三点共线，引入参数t，用t表示x，y，构造关于t的函数，利用基本不等式求最值．【解答】解：（1）①在△ABE中，由，又，所以，所以，＝＝＝＝，②因为B，O，D三点共线．所以，所以，又因为，所以，解得；（2）因为，又A，O，E三点共线所以＝，又因为，所以，所以，＝＝，＝＝，当且仅当时取等号，所以的最小值为．【点评】本题考查平面向量的线性运算与平面向量基本定理，同时考查了学生的运算能力，属于中档题．20．（12分）在某游戏中，小明遇到了如图的开关阵列，每个开关只有开和关两个状态，摁下某个开关会导致自身及相邻位置的开关状态发生变化．例如摁下（2，2）会导致（1，2）（2，1）（2，2）（2，3）（3，2）发生状态变化．开始时所有开关均关闭．（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2）（3，3）（1）如果随机摁下一个开关，求最终状态为“打开”的的开关数目为4的概率．（2）如果从上两排六个开关中随机选择并摁下两个不同的开关，求摁下第一排和第二排各一个开关的概率．（3）如果依次按下两个开关，求最终状态为“打开”的开关数目为4的概率．【分析】（1）设A：最终状态为“打开”的的开关数目为4，这意味着按下了（1，2）（2，1）（2，3）（3，2）中的一个，即可求解；（2）先求出样本总体，然后求出摁下第一排和第二排各一个开关的情况数，即可得出答案；（3）按先按下角位置，边位置，中间位置的开关为标准分类讨论，即可得出答案．【解答】解：（1）由题可知，设A：最终状态为“打开”的的开关数目为4，这意味着按下了（1，2）（2，1）（2，3）（3，2）中的一个，共有9个开关，则．（2）用a1，a2，a3表示按下第一排三个开关，用b1，b2，b3表示按下第二排三个开关，从中分别选择两个开关按下，样本空间为：Ω＝{a1a2，a1a3，a2a3，b1b2，b1b3，b2b3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3}，每个样本点都是等可能发生的，n（Ω）＝15，设B＝“摁下第一排和第二排各一个开关”，B＝{a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3}，则n（B）＝9，所以．（3）①先按下角位置的开关，，不妨设按下（1，1），则第二次有（1，3）（3，1）（2，2）三种情况，，；②先按下边位置的开关，，不妨设按下（1，2），则第二次有（2，3）（2，1）两种情况，，；③先按下中间位置的开关，，按下（2，2），则第二次有（2，3）（2，1）（1，2）（3，2）四种情况，，，所以．【点评】本题主要考查古典概型的问题，是基础题．21．（12分）若函数f（x）在定义域R上满足f（x）+f（y）＝f（x+y），且x＞0时f（x）＞0，定义域为[﹣2，2]的g（x）为偶函数．（1）求证：函数f（x）在定义域上单调递增．（2）若在区间[﹣1，1]上，f（x）+g（x）＝﹣x2+x+1；g（x）在[0，2]上的图象关于点（1，0）对称．（Ⅰ）求函数f（x）和函数g（x）在区间[﹣2，2]上的解析式．（Ⅱ）若关于x的不等式，0＜a＜4对任意定义域内的﹣2≤x1＜x2＜t恒成立，求实数t存在时，t的最大值关于a的函数关系．【分析】（1）令x1＞x2，应用作差法判断f（x1）﹣f（x2）的符号，即可证单调性；（2）（Ⅰ）由题设函数f（x）为奇函数，且﹣f（x）+g（x）＝﹣x2﹣x+1，即可求x∈[﹣1，1]上f（x），g（x），再应用奇偶性、对称性求区间[﹣2，2]上的解析式；（Ⅱ）根据题设可得h（x）＝g（x）﹣af（x）在﹣2≤x＜t上单调递减，写出h（x）的分段形式，结合二次函数性质，讨论0＜a≤2、2＜a＜4求t的最大值关于a的函数关系．【解答】解：（1）证明：任取x1，x2∈R，使x1＞x2，则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2+x2）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）+f（x2）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2），因为x1＞x2，所以x1﹣x2＞0，则f（x1﹣x2）＞0，故f（x1）﹣f（x2）＞0，所以函数f（x）在定义域上单调递增．（2）（Ⅰ）令f（x）+f（y）＝