2024届福建省福州市八县协作校数学高一下期末联考试题含解析

2024届福建省福州市八县协作校数学高一下期末联考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列是公比不为1的等比数列，为其前n项和，满足，且成等差数列，则（）A． B．6 C．7 D．92．中，已知，则角（）A．90° B．105° C．120° D．135°3．函数的图象与函数的图象交点的个数为（）A． B． C． D．4．设且，的最小值为()A．10 B．9 C．8 D．5．中，，则（）A． B． C．或 D．06．设全集，集合，则（）A． B． C． D．7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，己知A=60°，，则B=（）A．45° B．135° C．45°或135° D．以上都不对8．已知函数，那么下列式子：①；②；③；④；其中恒成立的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④9．已知函数（其中），对任意实数a，在区间上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，则k值为（）A．2或3 B．4或3 C．5或6 D．8或710．已知，则下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．__________．12．函数的最小正周期为.13．四名学生按任意次序站成一排，则和都在边上的概率是___________.14．已知求______________.15．化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.16．已知，且是第一象限角，则的值为__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设全集为实数集，，，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，且，求实数的取值范围.18．已知函数.(1)求的最小正周期和最大值；(2)求在上的单调区间19．某大学要修建一个面积为的长方形景观水池，并且在景观水池四周要修建出宽为2m和3m的小路如图所示问如何设计景观水池的边长，能使总占地面积最小？并求出总占地面积的最小值．20．（Ⅰ）已知直线过点且与直线垂直，求直线的方程；（Ⅱ）求与直线的距离为的直线方程.21．已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中0为原点。（1）求证：的面积为定值；（2）设直线与圆C交于点M，N，若，求圆C的方程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

设等比数列的公比为，且不为1，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得答案．【题目详解】数列是公比不为l的等比数列，满足，即且成等差数列，得，即，解得，则．故选：C．【题目点拨】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．2、C【解题分析】

由诱导公式和两角差的正弦公式化简已知不等式可求得关系，求出后即可求得．【题目详解】，∴，是三角形内角，，，则由得，∴，从而．故选：C.【题目点拨】本题考查两角差的正弦公式和诱导公式，考查正弦函数性质．已知三角函数值只要确定了角的范围就可求角．3、D【解题分析】

通过对两函数的表达式进行化简，变成我们熟悉的函数模型，比如反比例、一次函数、指数、对数及三角函数,看图直接判断【题目详解】由，作图如下：共6个交点，所以答案选择D【题目点拨】函数图象交点个数问题与函数零点、方程根可以作相应等价，用函数零点及方程根本题不现实，所以我们更多去考虑分别作图象，直接看交点个数.4、B【解题分析】

由配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式即可求得结果.【题目详解】（当且仅当，即时取等号）的最小值为故选：【题目点拨】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活利用“”，配凑出符合基本不等式的形式.5、D【解题分析】

根据正弦定理把角化为边，可得，然后根据余弦定理，可得，最后使用余弦定理，可得结果.【题目详解】由，所以，即由，又所以，则故，又故选：D【题目点拨】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题.6、B【解题分析】

先求出，由此能求出．【题目详解】∵全集，集合，∴，∴．故选B．【题目点拨】本题主要考查集合、并集、补集的运算等基本知识，体现运算能力、逻辑推理等数学核心素养．7、A【解题分析】

利用正弦定理求出的值，再结合，得出，从而可得出的值。【题目详解】由正弦定理得，，，则，所以，，故选：A。【题目点拨】本题考查利用正弦定理解三角形，要注意正弦定理所适用的基本情形，同时在求得角时，利用大边对大角定理或两角之和不超过得出合适的答案，考查计算能力，属于中等题。8、A【解题分析】

根据正弦函数的周期性及对称性，逐项判断，即可得到本题答案.【题目详解】由，得，所以的最小正周期为，即，故①正确；由，令，得的对称轴为，所以是的对称轴，不是的对称轴，故②正确，③不正确；由，令，得的对称中心为，所以不是的对称中心，故④不正确.故选：A【题目点拨】本题主要考查正弦函数的周期性以及对称性.9、A【解题分析】

根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于的不等式，从而得到的范围，结合，得到答案.【题目详解】函数，所以可得，因为在区间上，函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，所以得即与的图像在区间上的交点个数大于等于4，小于等于8，而与的图像在一个周期内有2个，所以，即解得，又因，所以得或者，故选：A.【题目点拨】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.10、D【解题分析】

由，，计算可判断；由，，计算可判断；由，可判断；作差可判断．【题目详解】解：，当，时，可得，故错误；当，时，，故错误；当，，故错误；，即，故正确．故选：．【题目点拨】本题考查不等式的性质，考查特殊值的运用，以及运算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

在分式的分子和分母上同时除以，然后利用极限的性质来进行计算.【题目详解】，故答案为：.【题目点拨】本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见的极限，并充分利用极限的性质来进行计算，考查计算能力，属于基础题.12、【解题分析】试题分析：，所以函数的周期等于考点：1.二倍角降幂公式；2.三角函数的周期.13、【解题分析】

写出四名学生站成一排的所有可能情况，得出和都在边上的情况即可求得概率.【题目详解】四名学生按任意次序站成一排，所有可能的情况为：，，，，共24种情况，其中和都在边上共有，4种情况，所以和都在边上的概率是.故答案为：【题目点拨】此题考查古典概型，根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.14、23【解题分析】

直接利用数量积的坐标表示求解.【题目详解】由题得.故答案为23【题目点拨】本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15、1【解题分析】原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.16、；【解题分析】

利用两角和的公式把题设展开后求得的值，进而利用的范围判断的范围，利用同角三角函数的基本关系求得的值，最后利用诱导公式和对原式进行化简，把的值和题设条件代入求解即可.【题目详解】，，即，，两边同时平方得到：，解得，是第一象限角，，得，，即为第一或第四象限，，.故答案为：.【题目点拨】本题考查了两角差的余弦公式、诱导公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记三角函数中的公式，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）根据空集的概念与不等式的解集的概念求解；（2）求出，再由子集概念列式求解．【题目详解】解：（1）由得，（2）由已知得，由（1）可知则解得，由（1）可得时，，从而得【题目点拨】本题考查空集的概念，集合的交集运算，以及集合的包含关系，属于基础题．18、（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为；（2）f(x)在上单调递增；在上单调递减．【解题分析】

（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得的最小正周期和最大值．（2）根据，利用正弦函数的单调性，即可求得在上的单调区间．【题目详解】解：（1）函数，即故函数的周期为，最大值为．（2）当时，，故当时，即时，为增函数；当时，即时，为减函数；即函数在上单调递增；在上单调递减．【题目点拨】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．19、水池一边长为12m，另一边为18m，总面积为最小，为．【解题分析】

设水池一边长为xm，则另一边为，表示出面积利用基本不等式求解即可．【题目详解】设水池一边长为xm，则另一边为，总面积，当且仅当时取等号，故水池一边长为12m，则另一边为18m，总面积为最小，为，【题目点拨】本题考查函数在实际问题中的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【解题分析】

（Ⅰ）根据直线与直线垂直，求得直线的斜率为，再利用直线的点斜式方程，即可求解；（Ⅱ）设所求直线方程为，由点到直线的距离公式，列出方程，求得的值，即可得到答案.【题目详解】（Ⅰ）由题意，设所求直线的斜率为，由直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，所以所求直线的方程为直线的方程为：，即.（Ⅱ）设所求直线方程为，即，直线上任取一点，由点到直线的距离公式，可得，解得或-4，所以所求直线方程为：或.【题目点拨】