云南省元江县一中2024届高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

云南省元江县一中2024届高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知不等式的解集是，则()A． B．1 C． D．32．如果存在实数，使成立，那么实数的取值范围是（）A． B．或C．或 D．或3．如图为A、B两名运动员五次比赛成绩的茎叶图，则他们的平均成绩和方差的关系是（）A．， B．，C．， D．，4．设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A． B． C． D．5．已知样本数据为3，1，3，2，3，2，则这个样本的中位数与众数分别为（）A．2，3 B．3，3 C．2.5，3 D．2.5，26．已知等差数列an的前n项和为18，若S3=1，aA．9 B．21 C．27 D．367．在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则（）A． B． C． D．8．不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．1 B． C． D．9．“是第二象限角”是“是钝角”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要10．己知函数的最小值为，最大值为，若，则数列是（）A．公差不为0的等差数列 B．公比不为1的等比数列C．常数数列 D．以上都不对二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．不等式的解集为_________________；12．若关于x的不等式的解集是，则_________.13．若点到直线的距离是，则实数=______．14．已知向量，且，则___________．15．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是______16．若函数的图象与直线恰有两个不同交点，则m的取值范围是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．18．如图，在三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，点是棱的中点.（1）证明：平面.（2）若三棱锥的体积为4，求点到平面的距离.19．已知向量，其中，记函数，已知的最小正周期为.(1)求；(2)当时，试求函数的值域.20．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列位的前项和，求；（3）在（2）的条件下，是否存在自然数，使得对一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.21．已知函数，.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）在中，内角、、所对边的长分别是，若，，，求的面积的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

的两个解为-1和2.【题目详解】【题目点拨】函数零点、一元二次等式的解、函数与x轴的交点之间的相互转换。2、A【解题分析】

根据，可得，再根据基本不等式取等的条件可得答案.【题目详解】因为，所以，即，即，又（当且仅当时等号成立）所以，所以.故选：A【题目点拨】本题考查了余弦函数的值域，考查了基本不等式取等的条件，属于中档题.3、D【解题分析】

根据题中数据，直接计算出平均值与方差，即可得出结果.【题目详解】由题中数据可得，，，所以；又，，所以.故选D【题目点拨】本题主要考查平均数与方差的比较，熟记公式即可，属于基础题型.4、C【解题分析】

作出可行域，利用平移法即可求出．【题目详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示：当直线平移至经过直线与直线的交点时，取得最大值，．故选：C．【题目点拨】本题主要考查简单线性规划问题的解法应用，属于基础题．5、C【解题分析】

将样本数据从小到大排列即可求得中位数，再找出出现次数最多的数即为众数.【题目详解】将样本数据从小到大排列：1，2，2，3，3，3，中位数为，众数为3.故选：C.【题目点拨】本题考查了中位数和众数的概念，属于基础题.6、C【解题分析】

利用前n项和Sn的性质可求n【题目详解】因为S3而a1所以6Snn【题目点拨】一般地，如果an为等差数列，Sn为其前（1）若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q，则am（2）Sn=n（3）Sn=An（4）Sn7、D【解题分析】

由题意得到，再由两角差的余弦及同角三角函数的基本关系式化简求解.【题目详解】解：∵角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，

∴，

，

故选：D.【题目点拨】本题考查了两角差的余弦公式的应用，是基础题.8、D【解题分析】

画出可行域，根据边界点的坐标计算出平面区域的面积.【题目详解】画出可行域如下图所示，其中，故平面区域为三角形，且三角形面积为，故选D.【题目点拨】本小题主要考查线性规划可行域面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9、B【解题分析】

由α是钝角可得α是第二象限角，反之不成立，则答案可求．【题目详解】若α是钝角，则α是第二象限角；反之，若α是第二象限角，α不一定是钝角，如α＝﹣210°．∴“α是第二象限角”是“α是钝角”的必要非充分条件．故选B．【题目点拨】本题考查钝角、象限角的概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．10、C【解题分析】

先根据判别式法求出的取值范围,进而求得和的关系,再展开算出分析即可.【题目详解】设,则,因为,故,故二次函数,整理得,故与为方程的两根,所以为常数.故选C.【题目点拨】本题主要考查判别式法求分式函数范围的问题,再根据二次函数的韦达定理进行求解分析即可.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解不等式．【题目详解】时，原不等式可化为，，∴；时，原不等式可化为，，∴．综上原不等式的解为．故答案为．【题目点拨】本题考查解绝对值不等式，解绝对值不等式的常用方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，然后求解．12、－14【解题分析】

由不等式的解集求出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出的值，从而可得结果.【题目详解】不等式的解集是，所以对应方程的实数根为和，且，由根与系数的关系得，解得，，故答案为.【题目点拨】本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式的根之间的关系，以及韦达定理的应用，属于简单题.13、或1【解题分析】

由点到直线的距离公式进行解答，即可求出实数a的值．【题目详解】点（1，a）到直线x﹣y+1＝0的距离是，∴；即|a﹣2|＝3，解得a＝﹣1，或a＝1，∴实数a的值为﹣1或1．故答案为：﹣1或1．【题目点拨】本题考查了点到直线的距离公式的应用问题，解题时应熟记点到直线的距离公式，是基础题．14、【解题分析】

把平方，将代入，化简即可得结果.【题目详解】因为，所以，，故答案为.【题目点拨】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15、【解题分析】试题分析：∵从7人中选2人共有C72=21种选法，从4个男生中选2人共有C42=6种选法∴没有女生的概率是=，∴至少有1名女生当选的概率1-=．考点：本题主要考查古典概型及其概率计算公式．点评：在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．16、【解题分析】

化简函数解析式为，做出函数的图象，数形结合可得的取值范围．【题目详解】解：因为所以，，由，可得，则函数，的图象与直线恰有两个不同交点，即方程在上有两个不同的解，画出的图象如下所示：依题意可得时，函数的图象与直线恰有两个不同交点，故答案为：【题目点拨】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解题分析】

分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.【题目详解】详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.18、（1）见解析（2）6【解题分析】

（1）由平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行可判定平面；（2）由三棱锥的体积为4，可知四棱锥的体积，再由三棱锥的体积公式即可求得高．【题目详解】（1）证明：连接，与交于点，连接.因为侧面是平行四边形，所以点是的中点.因为点是棱的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）解：因为三棱锥的体积为4，所以三棱柱的体积为12，则四棱锥的体积为.因为侧面是边长为2的正方形，所以侧面的面积为.设点到平面的距离为，则，解得.故点到平面的距离为6.【题目点拨】本题考查直线平行平面的判定和用三棱锥体积公式求点到平面的距离．19、（1）1（2）【解题分析】

（1）先根据向量数列积得关系式，再根据二倍角公式以及配角公式化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数周期性得；（2）先根据x取值范围得范围，再根据正弦函数性质确定值域.【题目详解】（1）（2）由（1）知，，，所以函数的值域.【题目点拨】本题考查二倍角公式、配角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力.20、（1）（2）（3）【解题分析】

（1）根据题干可推导得到，进而得到数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得到结果；（2）由错位相减的方法得到结果；（3）根据第二问得到：，数列单调递增，由数列的单调性得到数列范围.【题目详解】（1）由，令，则，又，所以.当时，由可得，，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，于是.（2）∴∴从而.（3）由（2）知，∴数列单调递增，∴，又，∴要恒成立，则，解得，又，故.【题目点拨】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减