2024届山西省临汾市第一中学等五校数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届山西省临汾市第一中学等五校数学高一第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知直线经过两点，则的斜率为（）A． B． C． D．2．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.A． B． C． D．3．直线y＝﹣x+1的倾斜角是（）A．30∘ B．45∘ C．1354．角α的终边上有一点P（a，|a|），a∈R且a≠0，则sinα值为（）A． B． C．1 D．或5．如图，两点为山脚下两处水平地面上的观测点，在两处观察点观察山顶点的仰角分别为，若，，且观察点之间的距离比山的高度多100米，则山的高度为（）A．100米 B．110米 C．120米 D．130米6．方程的解集为（）A．B．C．D．7．已知角的终边过点，则（）A． B． C． D．8．已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于5，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为（）A． B． C． D．9．圆周运动是一种常见的周期性变化现象，可表述为：质点在以某点为圆心半径为r的圆周上的运动叫“圆周运动”，如图所示，圆O上的点以点A为起点沿逆时针方向旋转到点P，若连接OA、OP，形成一个角，当角，则（）A． B． C． D．110．在等差数列{an}中，已知a1=2A．50 B．52 C．54 D．56二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．关于的方程（）的两虚根为、，且，则实数的值是________.12．已知数列是等差数列，若，，则公差________.13．设数列满足，且，则数列的前n项和_______________.14．已知函数的部分图象如图所示，则_______.15．已知方程的两根分别为、、且，且__________．16．若为幂函数，则满足的的值为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.18．已知向量，，且（1）求·及；（2）若，求的最小值19．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是．（1）求n的值；（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记“”为事件A，求事件A的概率；②在区间内任取2个实数，求事件“恒成立”的概率．20．已知等差数列的首项为，公差为，前n项和为，且满足，.（1）证明；（2）若，，当且仅当时，取得最小值，求首项的取值范围.21．已知是公差不为0的等差数列，，，成等比数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，证明：.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

直接代入两点的斜率公式，计算即可得出答案。【题目详解】故选A【题目点拨】本题考查两点的斜率公式，属于基础题。2、B【解题分析】由题可知每天织的布的多少构成等差数列,其中第一天为首项,一月按30天计可得,从第2天起每天比前一天多织的即为公差.又,解得.故本题选B.3、C【解题分析】

由直线方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角．【题目详解】直线y＝﹣x+1的斜率为﹣1，设倾斜角为α，则tanα＝﹣1，∴α＝135°故选：C．【题目点拨】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．4、B【解题分析】

根据三角函数的定义，求出OP，即可求出的值．【题目详解】因为，所以，故选B．【题目点拨】本题主要考查三角函数的定义应用．5、A【解题分析】

设山的高度为，求出AB=2x，根据，求出山的高度.【题目详解】设山的高度为，如图，由，有.在中，，有，又由观察点之间的距离比山的高度多100，有.故山的高度为100.故选A【题目点拨】本题主要考查解三角形的实际应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6、C【解题分析】

利用反三角函数的定义以及正切函数的周期为，即可得到原方程的解.【题目详解】由，根据正切函数图像以及周期可知：，故选：C【题目点拨】本题考查了反三角函数的定义以及正切函数的性质，需熟记正切函数的图像与性质，属于基础题.7、D【解题分析】

首先根据三角函数的定义，求得，之后应用三角函数的诱导公式，化简求得结果.【题目详解】由已知得，则.故选D【题目点拨】该题考查的是有关三角函数的化简求值问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，诱导公式，属于简单题目.8、B【解题分析】

根据题意画出ABC的相对位置，再利用正余弦定理计算．【题目详解】如图所示，,，选B.【题目点拨】本题考查解三角形画出相对位置是关键，属于基础题．9、A【解题分析】

运用求任意角的三角函数值的步骤：化正、脱周、变锐角和求值，可得所求值.【题目详解】.故选：A.【题目点拨】本题考查任意角三角函数值的求法，属于基础题.10、C【解题分析】

利用等差数列通项公式求得基本量d，根据等差数列性质可得a4【题目详解】设等差数列an公差为则a2+∴本题正确选项：C【题目点拨】本题考查等差数列基本量的求解问题，关键是能够根据等差数列通项公式构造方程求得公差，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、5【解题分析】

关于方程两数根为与，由根与系数的关系得：，，由及与互为共轭复数可得答案．【题目详解】解：与是方程的两根由根与系数的关系得：，，由与为虚数根得：，，则，解得，经验证，符合要求，故答案为：．【题目点拨】本题考查根与系数的关系的应用．求解是要注意与为虚数根情形，否则漏解，属于基础题．12、1【解题分析】

利用等差数列的通项公式即可得出．【题目详解】设等差数列公差为，∵，，∴，解得＝1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．13、【解题分析】令14、【解题分析】

由图可得，即可求得：，再由图可得：当时，取得最大值，即可列方程，整理得：，解得：（），结合即可得解.【题目详解】由图可得：，所以，解得：由图可得：当时，取得最大值，即：整理得：，所以（）又，所以【题目点拨】本题主要考查了三角函数图象的性质及观察能力，还考查了转化思想及计算能力，属于中档题．15、【解题分析】

由韦达定理和两角和的正切公式可得，进一步缩小角的范围可得，进而可求．【题目详解】方程两根、，，，，又，，，，，，，结合，，故答案为．【题目点拨】本题考查两角和与差的正切函数，涉及韦达定理，属中档题．16、【解题分析】

根据幂函数定义知，又，由二倍角公式即可求解.【题目详解】因为为幂函数，所以，即,因为,所以，即，因为，所以，.故填.【题目点拨】本题主要考查了幂函数的定义，正弦的二倍角公式，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）B=（Ⅱ）【解题分析】

(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB①在三角形ABC中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2)S△ABCacsinBac，由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，整理得：ac，当且仅当a＝c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为（2）1．18、（1）见解析；（2）.【解题分析】

（1）运用向量数量积的坐标表示，求出·；运用平面向量的坐标运算公式求出，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【题目详解】（1）∵∴∴（2）∵∴∴【题目点拨】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．19、（1）；（2）P＝．【解题分析】

试题分析：（1）依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球有n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为，解得n＝2；（2）①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故；②由①知，，故，（x，y）可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为，由集合概型得概率为．考点：考查了古典概型和几何概型．点评：解本题的关键是掌握古典概型和集合概型的概率公式，并能正确应用．20、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

（1）根据等差数列的前n项和公式,变形可证明为等差数列.结合条件,,可得,进而表示出.由为等差数列,表示出,化简变形后结合不等式性质即可证明.（2）将三角函数式分组,提公因式后结合同角三角函数关系式化简.再由平方差公式及正弦的和角与差角公式合并.根据条件等式,结合等差数列性质,即可求得.由,即可确定.当且仅当时，取得最小值,可得不等式组,即可得首项的取值范围.【题目详解】（1）证明:等差数列的前n项和为,则所以,,故为等差数列,因为,,所以,解得,因为,得故,从而.（2）而.由条件又由等差数列性质知：所以,因为,所以,那么.等差数列,当且仅当时,取得最小值.,所以.【题目点拨】本题考查了等差数列前n项和公式的应用,等差数列通项公式定义及变形式应用