上海市嘉定、长宁区2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析

上海市嘉定、长宁区2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．化简：（）A． B． C． D．2．设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.假设在坐标系中的坐标为，则（)A． B． C． D．4．在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（）A．方向上的投影为 B．C． D．6．己知x与y之间的几组数据如下表：x0134y1469则y与x的线性回归直线y=A．(2,5) B．(5,9) C．(0,1) D．(1,4)7．在△ABC中角ABC的对边分别为A．B．c，cosC＝，且acosB+bcosA＝2，则△ABC面积的最大值为（）A． B． C． D．8．若a，b是方程的两个根，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值为()A．-4 B．-3 C．-2 D．-19．已知集合，则（）A． B． C． D．10．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知直线:与直线:互相平行，则直线与之间的距离为______.12．已知直线是函数（其中）图象的一条对称轴，则的值为________.13．已知角终边经过点，则__________.14．将边长为1的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱,点､分别是圆和圆上的点,长为,长为,且与在平面的同侧,则与所成角的大小为______.15．△ABC中，，，则=_____．16．已知三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于，则其外接球的体积为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角的对边分别为，且角成等差数列.（1）求角的值；（2）若，求边的长.18．（1）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式；（2）数列满足，（），求数列的通项公式.19．如图，在△ABC中，cosC＝，角B的平分线BD交AC于点D，设∠CBD＝θ，其中tanθ＝﹣1．（1）求sinA的值；（2）若，求AB的长．20．如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.（1）求cos∠CAD的值；（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．21．某企业2015年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2015年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2016年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2016年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.(1)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元,求和;(2)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元,进行技术改造后的累计纯利润为万元,求和;(3)依上述预测,从2016年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

.故选A．【题目点拨】考查向量数乘和加法的几何意义，向量加法的运算．2、B【解题分析】

由，可得，解得或，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解，得到答案.【题目详解】设等比数列的公比为，则，可得，解得或，此时数列不一定是递增数列；若数列为递增数列，可得或，所以“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件.故选：B.【题目点拨】本题主要考查了等比数列的通项公式与单调性，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记等比数列的单调性的判定方法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、D【解题分析】

可得.【题目详解】向量，则．故选：．【题目点拨】本题主要考查了向量模的运算和向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．4、D【解题分析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【题目详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选D．【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5、B【解题分析】试题分析：A．方向上的投影为，即，所以A正确；B．，所以B错误；C．，所以，所以C正确；D．，所以．D正确．考点：向量的数量积；向量的投影；向量的夹角．点评：熟练掌握数量积的有关性质是解决此题的关键，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”这条性质．6、A【解题分析】

分别求出x,y均值即得．【题目详解】x=0+1+3+44=2，故选A．【题目点拨】本题考查线性回归直线方程，线性回归直线一定过点(x7、D【解题分析】

首先利用同角三角函数的关系式求出sinC的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用求出结果．【题目详解】△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cosC，利用同角三角函数的关系式sin1C+cos1C＝1，解得sinC，由于acosB+bcosA＝1，利用余弦定理，解得c＝1．所以c1＝a1+b1﹣1abcosC，整理得4，由于a1+b1≥1ab，故，所以．则，△ABC面积的最大值为，故选D．【题目点拨】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．8、D【解题分析】

由韦达定理确定，，利用已知条件讨论成等差数列和等比数列的位置，从而确定的值．【题目详解】由韦达定理得：，，所以，由题意这三个数可适当排序后成等比数列，且，则2一定在中间所以，即因为这三个数可适当排序后成等差数列，且，则2一定不在的中间假设，则即故选D【题目点拨】本题考查了等差数列和等比数列的基本性质，解决本题的关键是要掌握三个数成等差数列和等比数列的性质，如成等比数列，且，，则2必为等比中项，有．9、A【解题分析】

由，得，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案.【题目详解】因为，所以.故选：A【题目点拨】本题主要考查集合的交集运算及对数不等式.10、B【解题分析】

根据为定值，那么乘以后值不变，由基本不等式可消去x，y后，对得到的不等式因式分解，即可解得m的值．【题目详解】因为，，，所以.因为不等式恒成立，所以，整理得，解得，即.【题目点拨】本题考查基本不等式，由为定值和已知不等式相乘来构造基本不等式，最后含有根式的因式分解也是解题关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、10【解题分析】

利用两直线平行，先求出，再由两平行线的距离公式求解即可【题目详解】由题意，，所以，，所以直线：，化简得，由两平行线的距离公式：.故答案为：10【题目点拨】本题主要考查两直线平行的充要条件，两直线和平行的充要条件是，考查两平行线间的距离公式，属于基础题.12、【解题分析】

根据正弦函数图象的对称性可得，由此可得答案.【题目详解】依题意得，所以，即，因为，所以或，故答案为：【题目点拨】本题考查了正弦函数图象的对称轴，属于基础题.13、4【解题分析】

根据任意角的三角函数的定义，结合同角三角函数的基本关系求解即可．【题目详解】因为角终边经过点，所以，因此.故答案为：4【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．14、【解题分析】

画出几何体示意图，将平移至于直线相交，在三角形中求解角度.【题目详解】根据题意，过B点作BH//交弧于点H，作图如下：因为BH//，故即为所求异面直线的夹角，在中，，在中，因为，故该三角形为等边三角形，即：，在中，，，且母线BH垂直于底面，故：，又异面直线夹角范围为，故，故答案为：.【题目点拨】本题考查异面直线的夹角求解，一般解决方法为平移至直线相交，在三角形中求角.15、【解题分析】试题分析：三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A为锐角，由得，因此考点：正余弦定理16、【解题分析】

先判断球心在上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积.【题目详解】三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于为中点，为外心，连接，平面球心在上设半径为故答案为【题目点拨】本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）．（2）【解题分析】

（1）根据等差数列的性质，与三角形三内角和等于即可解出角C的值.（2）将已知数带入角C的余弦公式，即可解出边c.【题目详解】解：（1）∵角，，成等差数列，且为三角形的内角，∴，，∴．（2）由余弦定理，得【题目点拨】本题考查等差数列、余弦定理，属于基础题．18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用求出数列的通项公式；（2）利用累加法求数列的通项公式；【题目详解】解：（1）①当时，即当时，②①减②得经检验时，成立故（2）（）……将上述式相加可得【题目点拨】本题考查作差法求数列的通项公式以及累加法求数列的通项公式，属于基础题.19、（1）（2）【解题分析】

（1）根据二倍角公式及同角基本关系式，求出cos∠ABC，进而可求出sinA；（2）根据正弦定理求出AC，BC的关系，利用向量的数量积公式求出AC，可得BC，正弦定理可得答案．【题目详解】（1）由∠CBD＝θ，且tanθ1，所以θ∈（0，），所以cos∠ABC，则sin∠ABC，由cosC，得：sinC，sinA＝sin[π﹣（∠ABC+∠C）]＝sin（∠ABC+∠C）．（2）由正弦定理，得，即BCAC；又•AC2•21，∴AC＝5，∴ABAC＝4．【题目点拨】本题考查了二倍角公式、同角基本关系式和正弦定理的灵活运用和计算能力，是中档题．20、(1)(2)【解题分析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理可得；(2)利用题意结合正弦定理可得：.试题解析：（I）在中，由余弦定理得(II)设在中，由正弦定理，故点睛：在解决三角形问题中，面积公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.21、(1),(2),(3)至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.【解题分析】

(1)利用等差数列、等比数列的