人教版九年级数学上册《22.3二次函数与实际问题-图形问题》提升训练（附答案）

第第页参考答案1．解：∵在Rt△ABC中，AC=1∴∠B=30°,设AP=x,矩形PMCN的面积为y，则BP=2−x，∵PN⊥AC，∴PN∴∠APN=∠B=30°∴AN=PM=∴y=PM×PN=∴当x=1，即AP=1，点P是AB的中点时，矩形PMCN的面积最大，最大面积是32．（1）解：∵两条直角边所用的篱笆之和恰好为21米，围成的花坛是如图所示的直角△ABC，其中∠ACB=90°，AC边的长为x米，∴BC=21−x（米）∵直角△ABC的面积为S平方米，∴S=1（2）解：依题意，∵S=54∴−1整理得，x2解得x∵BC>AC∴BC=12∴直角三角形的两条直角边的长分别为12米和9米．3．（1）解：设这个菜园垂直于墙的一边AB的长为xm则BC=30−2x，x>0①则S=x30−2x由30−2x≥x②解②得：x≤10，解③得：x≥6，所以x的取值范围为：6≤x≤10，所以S=−2x（2）解：由题意得：−2x整理得：x2−15x+50=0，解得：x∵6≤x≤10，所以x=5不符合题意，取x=10，即AB的长为10m（3）解：S=−2x∵−2<0，抛物线开口向下，S有最大值，又∵6≤x≤10，∴当AB=7.5m时，面积最大，最大面积为2254．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵BE=BF=DG=DH，∴AB−BE=AD−DH，即AH=AE，∴△AEH是等腰三角形，∵∠A=60°，∴∠AEH=∠AHE=1∴∠HEA=60°；（2）解：四边形EFGH是矩形，理由如下，由（1）可知，△AEH是等腰三角形，∠AEH=∠AHE=60°，∴△AEH是等边三角形，同理可得，△CFG是等边三角形，∵AD=CD，DG=DH，∴AH=CG，AE=CF，且∠A=∠C=60°，∴△AEH≌△CFHSAS∴EH=FH，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴AB∥CD，∴∠B=∠D=120°，且BE=BF=DG=DH，∴∠BEF=∠BFE=1∵∠AEH+∠HEF+∠BEF=180°，∴∠HEF=180°−60°−30°=90°，即HE⊥EF，同理，∠GFE=90°，即GF⊥EF，同理，∠EHF=∠FGH=90°，∴HE∥GF，且EH=FG，∴四边形EFGH是矩形；（3）解：由（1）可知△AEH，△CFG是等边三角形，四边形EFGH是矩形，∴AE=EH=FG=x，∴BE=AB−AE=6−x，如图所示，连接BD，交EF，GH于点M，N，∴△ABD是等边三角形，∴EH∥BD，BM⊥EF，DN⊥HG，且BM是△BEF的中线，即EM=FM，∵∠BEF=30°，BE=6−x，∴BE=2BM，EM=3∴BM=12BE=∴EF=2BM=23∴四边形EFGH的面积y=EH·EF=x=−=−=−∴当x=3时，y有最大值，且最大值为935．解:（1）∵正方形ABCD，四边形EFGH也是正方形．∴EH=FE，∠EAH=∠FBE=90°=∠FEH，∴∠EHA+∠AEH=90°,∠FEB+∠AEH=90°，∴∠EHA=∠FEB，∵∠EAH=∠FBE∠EHA=∠FEB∴△AEH≌△BFEAAS（2）设AE=x，则EB=AB−AE=6−x，∵△AEH≌△BFE，∴BF=AE=x，HA=EB=6−x，同（1）可证，△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴正方形EFGH的面积为y=6×6−4×1故y=2x（3）∵y=2x∵a=2＞∴抛物线有最小值，且当x=3时，取得最小值，最小值为18．故AE=3时，正方形EFGH的面积最小，最小为18．6．（1）解：MN=AP．理由：过点B作BH∥MN，交AD于∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=∠D=90°，AD∵BH∥∴四边形BHMN是平行四边形，∴MN=BH，∵MN⊥AP，NM∥∴AP⊥BH∴∠AHB+∠HAP=∠HAP+∠DPA=90°，∴∠AHB=DPA，又∵AB=AD，∠D=∠BAH，∴△ABH≌∴BH=AP，∴AP=MN；（2）连接BD，∴OD=OB，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥∴∠MDO=∠OBN，∠DMO=∠BNO，∴△DMO≌∴S∴S梯形（3）作NF⊥DA于F，则FN=AD=AB，且∠MFN=90°，又∵∠FMN+∠MAE=∠MAE+∠DAP=90°，∴∠FMN=∠DAP，在△FMN和△DPA中，∠MFN=∠D∴△FMN≌∴MF=DP，由题意可知MN⊥AP，AE=EP，∴AM=MP，设DP=FM=x，由勾股定理得：DM即6−AM2解得AM=2+1∴CN=DM+FM=DM+x，∴S====-12x−3∴当x=3时，S最大=572S此时，DP=3，即DP=3时，四边形CDMN的面积最大．7．（1）解：如图，作AG⊥BC于点G，∵BC∥CD，∠C=90°，∴∠C=∠D=∠AGC=90°，∴四边形AGCD是矩形，∴AE=CD=x∵BC∥CD，∴∠B=180°−∠BAD=45°，∴△ABG是等腰直角三角形，∴BG=AG=x，∵BE−FC−CD总长为16米，EF=2，∴CG=16−CD−BG+EF=16−x−x+2=18−2x∴AD=CG=18−2x；（2）解：由题意知BC=16−CD+EF=16−x+2=18−x，当储料场的面积为48平方米时，12即12解得x=4或x=8，即CD的长为4米或8米；（3）解：设储料场的面积为S，则S=12AD+BC⋅CD=1因此当x=6时，S取最大值54，即CD的长为6米时储料场的面积最大，最大面积为54平方米．8．解:（1）由AB=x米，可得BC=69+3−2x=72−2x；（2）园地面积S=x(72−2x)=−2x（3）小英说法正确；园地面积S=−2x∵72−2x>0，∴x<36，∴0<x<36，∴当x=18时，S取最大值648，此时x≠72−2x，即园地最大面积时AB=18米，BC=36米，∴面积最大的不是正方形，故小英说法正确．9．解:（1）依题意，得AP=tcm，BQ=2tcm，（2）在Rt△PBQ中，BP∴(3−t)2解得：t1=1，故1或15后，△PBQ的斜边PQ长2（3）S△BPQ∴S=S=t当t=32时，S有最小值10．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=40m，AD=BC=24∴S矩形∵种花的面积为440m∴余下的四块面积为960−440=520m设AM=x米，∴AM=AN=CP=CQ=x，且∠A=∠C=90°，∴△AMN≌△CPQSAS∴S△AMN=S△CPQ=∵AB−AN=CD−CQ，AD−AM=BC−CP，∴BN=DQ=40−x（米），MD=BP=24−x（米），且∠B=∠D=90°，∴△BNP≌△DQMSAS∴S△BNP=S∴x2+x∴x−22x−10解得，x1=22，∴当种花的面积为440平方米时，x的值为x1=22，（2）解：根据题意，0<x<24，由上述计算可得，四块三角形的面积为S=2x∵种花的面积为a平方米，∴四块三角形的面积与种花的面积和为2x2−64x+960=960−a∵x的值有且只有一个，∴Δ=解得，a=512；当方程有两个不相等的实数根时，∴Δ=解得，0<a<512；由此可得，x1=32+∴256−a解得，0<a≤384；综上所述，a=512或0<a≤384．11．（1）解：由窗框的宽为x米，则长为12根据题意得：S=x×1∵0<x≤1∴0<x≤12∴S与x的函数关系式为：S=−3（2）解：由（1）得：S=−3∵a=−3∴S有最大值，∴当x=2时，S有最大值，最大值为6．12．（1）解：在y=ax−3令x=0可得：y=21a∴C∵y=ax−3x−7=a∴D5,−4a（2）解：由（1）知C0,21a，D5,−4a，连接设直线CD为y=kx+b，则21a=b∴k=−5a∴直线CD：y=−5ax+21a令y=0，则0=−5ax+21a，x=21∴ES=====y=ax−3x−7，令0=ax−3∴x=3或x=7∴A3,0，∴BE=7−∴SS==42a∴S（3）解：由（2）知B7,0，C0,21a∴BBC若△BCD是直角三角形，分类讨论：若∠BCD=90°，则B∴4+161050无解若∠BDC=90°∴49+441200a∵a>0∴a=③若∠CBD=90°，则C∴25+625168a∵a>0∴a=综上：△BCD是直角三角形时，a=1010或13．（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1.0)、B(−3,0)两点，与y∴a+b+c=09a−3b+c=0解得a=−1b=−2∴抛物线的解析式是y=−x（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，把B，C的坐标代入得：−3k+b=0b=3解得： k=1∴直线BC的解析式为y=x+3，作PE∥y轴交BC于E，如图1，设P(t,−t2−2t+3)∴PE=−t∴S当t=−32时，SΔ（3）∵y=−x∴抛物线的对称轴为直线x=−1，设M(−1,t)，N(x,y)，又B(−3,0)，C(0,3)，当CB,MN为对角线时，CB=MN∴−1+x=−3+0t+y=3解得：x=−2y=3+17∴点N的坐标为(−2，3+172)当BM,CN为对角线时，BM=CN，∴−3+−1解得：x=−4y=0∴点N的坐标为(−4,0)；③当CM、BN为对角线时，CM=BN，∴x−3=−1+0y+0=t+3解得：x=2y=1∴点N的坐标为(2,1)；综上所述，点N的坐标为(−2，3+172)或(−2,3−1714．解：（1）∵m∥∴点A和点D到直线n的距离相等，∵BC=BC，∴S△ABC故答案为：=；（2）∵CD∥∴点D和点C到直线AB的距离相等，∵BC=4，且BC边上的高为3，AB=AB，∴S△ABD（3）能实现，理由如下：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AD∥BC，∴∠DAC=∠BAC=30°，∵PM∥AD，∴PM∥AD∥BC，∴S△AMP=S△DMP∵PM∥AD∥∴∠APM=∠DAC=30°，∠NPC=∠DCA=30°∴△APM和△CPN是等腰三角形，设AM=a米，则PM=BN=a米，CN=(60−a)米，∴S△AMP=∴S∵32∴当a=30时，△AMP与△CNP的面积之和最小为4503∴能实现种植绿植的区域面积尽可能的小，最小为450315．（1）解：作CD⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=5，∴AD=5∴在Rt△ADCCD=A∴S故答案为253（2）解：如图所示，延长BA,CD交于点F，过点D作DG∥BC交AB于点∵在四边形ABCD中，已知∠B=∠C=60°，∴△BCF是等边三角形，∴∠F=60°，∵AB=6，CD=4，BC=8，E为BC点，∴DF=BC−DC=8−4=4，∴AF=BF−AF=8−6=2，∵DG∥∴∠FGD=∠FDG=60°，GD=1∴△FDG是等边三角形，∴AG=AF=2，∴DA⊥FG，∴AD=F又∵DF=DC,EB=EC，∴DE∥∴DE⊥AD，∴S△AED（3）存在，理由如下：如图2，过点B作BI⊥CD于I，过点F作FJ⊥CD于F，过点A作AK⊥CD于K，过点E作EL⊥CD于L，过点H作HM⊥CD于M，过点B作BN⊥AK于N，由五边形内角和得∠AED=120°，∴∠AED+∠D=180°，∴AE∥CD则四边形AKLE是矩形，四边形FJMH是直角梯形，四边形BIKN为矩形，

∵∠C=∠D=60°，且DE=2AE=8，在Rt△ELD中，DL=12设BC=a，则在Rt△BCI中，∠CBI=30°∴CI=在Rt△ABN中，∠ABN=∠ABC−∠CBI−∠IBN=30°∴AN=∴AK=EL=AN+NK=3解得：a=4，∴BC=4，AB=43，CI=2，IK=BN=6∴JD=11，设DG=DH=b∴△DGH是等边三角形，∴DM=GM=1∴==−3S△HMGS△FJG∴S=−=−3∵−3∴当b=7时，S△FGH的最大值为4916．解(1)①由题意，得c=解得c=∴y=x2-2x-3．②存在点P，使得点M是线段PH的三等分点．∵B(0，-3)，A(3，0)，∴直线AB的函数表达式为y=x-3．设点P(m，m2-2m-3)，则M(m，m-3)，∴PH=-m2+2m+3，HM=3-m．当PH=3HM时，-m2+2m+3=3(3-m)，化简，得m2-5m+6=0．∴m1=2，m2=3(舍去)．当m=2时，y=22-2×2-3=-3，∴P(2，-3)．当PH=32HM时，-m2+2m+3=32(3化简，得2m2-7m+3=0．∴m3=3(舍去)，m4=12当m=12时，y=122-2×12-3=-15∴P12，-154．综上所述，点P的坐标为(2，-3)或12，-154．(2)如图，∵抛物线y=x2+bx+c过点D(-3，0)，∴(-3)2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴y=x2+bx+(3b-9)．把x=-3，y=0代入y=43x+n得0=43×(-3)+n∴n=4，∴OC=4．∵∠COD=90°，OD=3，OC=4，∴CD=5．∵四边形CDPE是菱形，∴CE=CD=5．∴E(5，4)．当-b2<0，即b>0时，若x=0，则y=3b-∴G(0，3b-9)．∵该抛物线与线段CE没有交点，∴3b-9>4，∴b>133当-b2>0，即b<当x=5时，则y=25+5b+3b-9=8b+16，∴H(5，8b+16)．∵抛物线与CE没有交点，∴8b+16<4，∴b<-32综上所述，b>133或b<-317．（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c∴−b∴b=−8，将点B6,0代入二次函数y=x2解得：c=12，∴二次函数的表达式为y=x（2）解：∵二次函数y=x2−8x+12与y令x=0，则y=12，∴C0,12设直线BC的解析式为y=kx+m，则m=126k+m=0，解得：k=−2∴直线BC的解析式为y=−2x+12，∵MQ⊥x轴，∴设Ma,a2∴MQ=−2a+12−a∴当a=3时，MQ有最大值，最大值为9；（3）解：∵二次函数y=x2−8x+12与x轴交于点A令y=0，则x2解得：x1=2，∴A2,0，B如图，令CM与x轴的交点为N，令Ma,∵点M位于x轴下方的抛物线上，∴2<a<6，设直线CM的解析式为y=k则m1=12a∴直线BC的解析式为y=a−8令y=0，则a−8x+12=0，解得：x=∴N12∴ON=12∴BN=6−12∵S∴==3×=24a−3=−3=−3a−3∴当a=3时，S△CBM有最大值，最大值为2718．（1）解：由题意知，△ABC是等腰直角三角形，∠AMQ=90°，∴重叠部分是等腰直角三角形，∵线段MA=xcm∴y=1∵开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后让点A与点N重合，∴0≤AM≤4，