热力学统计物理课后习题新编 答案

第一章热力学的基本规律

1.1试求理想气体的体胀系数?，压强系数?和等温压缩系数?T。

解：己知理想气体的物态方程为pV=nRT

由此得到

1_nR_\

体胀系数=

av\^T）p~pV^T

1

P

1.2证明任何一种具有两个独立参量T,P的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩

系数，根据下述积分求得lnV=J(MT—4丁即)，如果&=",«7=下,试求物态方程。

解:体胀系数

等温压缩系数

以T,P为自变量，物质的物态方程为V=V（T,p）

其全微分为=|—jdT+\—\dp^VadT-VKTdp

I"。tdp)T

这是以T,P为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得

根据题设，若（X=—,KT——

TP

T

则有InV=In—+C,PV=CT

P

要确定常数C,需要进一步的实验数据。

1.4描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是张力£,物态方程是(£,L,T)=O,实验通常在大气压

下进行，其体积变化可以忽略。线胀系数定义为&=工[9],等温杨氏模量定义为

L{dT)F

Y=-\—\,其中A是金属丝的截面。一般来说，？和Y是T的函数，对£仅有微弱的依赖关系。

AydL)r

如果温度变化范围不大，可以看作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由T1降至T2时，其张

力的增加为A£=-YA。①-1)。

解：/(£,L,T)=O，£=F£(L,T)

所以△£=-YAC(T2-TJ

1.61mol理想气体，在27。(3的恒温下发生膨胀，其压强由20Pli准静态地降到IP”，求气体所做的功和

所吸收的热量。

VB

解：将气体的膨胀过程近似看做准静态过程。根据W=

VA

在准静态等温过程中气体体积由VA膨胀到VB,外界对气体所做的功为

气体所做的功是上式的负值，

?W=-/?Tln-=8.31?300?ln20J=7.47?10?3J

Pa

在等温过程中理想气体的内能不变，即?U=0

根据热力学第一定律?U=W+Q,

气体在过程中吸收的热量Q为Q=?W=7.47?10,3J

1.7在25。(：下，压强在0至lOOOpn之间，测得水的体积为

V=18.066?0.715?10?3P+0.046?10?6P2cm3?mol?1

如果保持温度不变，将Imol的水从Ipn加压至lOOOpn,求外界所作的功。

解：将题中给出的体积与压强的关系记为V=A+BP+CP2

由此得到dV=(B+2CP)dP

保持温度不变，将Imol的水从IPn加压至lOOOPn,在这个准静态过程中，外界所作的功为

VBPB])

W=-J小=-JP(B+2CP)^—(-BP2+-CP3)|；000=33.1J?mol”

VAPA23

1.11满足PVn=C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明，理想气体在多方过程中

理想气体多方过程PV=RT

PV-=C

PdV+VdP=RdT

有=>PdV=---dT

PVn-'ndV+V"dP=O,nPdV+VdP=On-\

所以

n—\

Cp-Cv=R

另一方面，理想气体}C

n一夕一

所以得Cn=—y，证毕

n-1

1.12试证明，理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常量，该过程一定是多方过程。多方指数

n=C--Cp.假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。

Cn-Cv

解：根据热力学第一定律，dU=dQ+dW(1)

对于准静态过程有dW=?pdV

对于理想气体有dU=CvdT

气体在过程中吸收的热量为dQ=CndT

则热力学第一定律(1)可表达为(Cn?Cv)dT=pdV

用理想气体的物态方程？RT=pV去除上式，以及代入Cp?Cn=?R

得到(Cn—Cu)与=(Cp—(2)

Irj1\7

理忠想'气八体件的刖物会态刀方作程H的'J王全微愀分为-—-----+1---—-----==——(3)

PVT

以上两式联立，消去?，得(Cn—Cu)£—(Cn—=0(4)

上式(4)表示为

若Cp,Cv,Cn都是常量，将上式积分得PV"=C

上式表明，过程是多方过程。

1.16假设理想气体的定压热容量和定容热容量之比?是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V

的关系。该关系式中要用到一个函数F(T),其表达式为lnR(7j=J少而。

解：dV=Tds-PdV,dV=CvdT

对准静绝热过程，dS=O,

得到CydT=(dV)s=—PdV

C„~CV=R

另一方面，理想气体

PV=RT

RT

于是,

/-I~V~

R

即得到■dT=--dV

7-IV

dFdT

令

MJ-下=(7-1尸

有Jln(V-F)=O,VF(T)=Const

1.21温度为0℃的1kg水与温度为100℃的恒温热源接触后，水温达到100。。试分别求水和热源的牖

变，以及整个系统的总燃变。欲使参与过程的整个系统的燧保持不变，应如何使水温从0℃升至

100℃?已知水的比热容为4.18J?g?i?K?i

解：0℃的水与温度为100。(2的恒温热源接触后，水温达到100昭。这一过程是不可逆过程。

为求水、热源和整个系统的爆变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中

的同样的变化。通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的烯变。

为了求水的燧变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源。其温度分布在o℃与ioo(>c之间。令水

依次从这些热源吸收热量，使水温由0℃升至100昭。在这可逆过程中，水的烯变为

,„产3mCpdT373,“,373,

AS永—I----------tnCpIn.......-10n3x4.18xIn-----J•K—1304.6J•K(1)

水上73T273273

水从0℃升至100℃所吸收的总热量Q为Q=mCp?T=103?4.18?100J=4.18?105J

为求热源的燔变，可令热源向温度为100℃的另一热源放出热量Q。在这可逆过程中，热源的婚变

.„4.18x10_.叱-I/j

△执源=----1

S...源-373-----J,K=-1120.6J-K(2)

由于热源的变化相同，式子(2)给出的摘变也就是原来的不可逆过程中热源的燧变。整个系统的

总焙变为

?S总=?S水+?S热源=184J?K?|

为使水温从0℃升至100℃而参与整个过程的整个系统的燧保持不变，应令水与温度分布在0℃与

100<>C之间的一系列热源吸热。水的嫡变?S*水仍由式子(2)给出。这一系列热源的懒变之和为

AS*执消=-[OTmCPdTIn—^-103x4.18xln—J-K-'=—1304.617・参与

探源J273T273273

过程的整个系统的总烯变为

?S*,©=?S*水+?S*热源=0(5)

1.2210A的电流通过一个25?的电阻器，历时1S。

(A)若电阻器保持为室温27昭，试求电阻器的烯增加值。

(B)若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27℃,电阻器的质量为10g,比热容Cp为

0.84J?g?,?k?\问电阻器的燃增加值为多少？

解：(A)以T,P为电阻器的状态参量，设