华理高数下答案

第9章(之1)(总第44次)

教学内容：§9.1微分方程基本概念

*1.微分方程2(y〃)3-9办"=5盯7的阶数是()

(A)3；(B)4；(C)6；(D)7.

答案(A)

解微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数.

*2.下列函数中的。、1、兄及女都是任意常数，这些函数中是微分方程y"+4)，=0的

通解的函数是()

(A)y=3Ccos2x+(12-29C)sin2x；(B)y-Ccos2x(1+2sin2x)；

(C)y=kCcos2x+71+k2C2sin2x；(D)y=Ccos(2x+a).

答案(D)

解二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数.

(A)中的函数只有一个任意常数C；

(B)中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；

(C)中的函数从表面上看来也有两个任意常数。及k,但当令心=女。时，函数就变成了

y=CCOS2X+V1+1Tsinlx,实质上只有一个任意常数；

(D)中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解.

*3.在曲线族^=4/+，2厂、中，求出与直线y=x相切于坐标原点的曲线.

解根据题意条件可归结出条件y(0)=0,y'(0)=l,

fxx

由丁=。］6'+46",y=c}e—c^e,可得q+q=°，G—4=1，

故C1=g,c2=—g,这样就得到所求曲线为y=g(er—e-*),即>=<1111》.

d2ydy

2.---xA/3•+^-+y=0

*4.证明：函数广§回2sin^x是初值问题dx2dx的解.

3,=o=O,?

x=0=1

dx

V3V3~xV3

证明y'=----e2sin——x+e2COS——X,

322

正/"sin3x-e+yV3

y"=cos—X

322

代入方程得y"+y，+y=0,此外y(0)=0,y'(0)=1,

2,---x岳

故)，=NG2sin卫二x是初始值问题的解.

32

*5.验证y=e［:e『df+Ce*(其中C为任意常数)是方程y一y="+'的通解.

x2xx2xx+x2

证明y'=e^e'dt+e-e+Ce=y+e,即y'—y=，说明函数确实

给定方程的解.

另一方面函数y=ex^e'2dt+Cex含有一任意常数C,所以它是方程的通解.

**6.求以下列函数为通解的微分方程:

(1)y=y/Cx+1；

解将等式y=WCx+l改写为/=Cx+l,再在其两边同时对x求导，得3y2y=c,

代入上式，即可得到所求之微分方程为3xy2y'=y3-1.

(2)y=GxH—~

x

解因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方

程等式两边同时对x求两次导数，得

y=G-与，八与

从以匕三个式子中消去任意常数G和。2,即可得到所求之微分方程为

xR+xy'-y=0.

**7.建立共焦抛物线族y?=4C(x+C)(其中C为任意常数)所满足的微分方程［这里

的共焦抛物线族是以x轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］.

解在方程y2=4C(x+C)两边对x求导有2yy'=4C,从这两式中消去常数所求方程

为y=y,(2x+yy,).

**8.求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线y=y(x)上任一点处的法线都经过坐

标原点.

解任取y=y(x)上的点(x,y),曲线在该点处的切线斜率为y'=—.

dx

-1-1

所以过点(x,y)的法线斜率为-4,法线方程为Y-y=—(X-x)f

yy

-i

因为法线过原点，所以0-丁=——(0-外从而可得所求微分方程为X+抄，=o.

y

第9章(之2)(总第45次)

教学内容：§9.2.1可分离变量的方程；§9.2.2一阶线性方程

**1.求下列微分方程的通解:

，—x(l-y)

(1)y

分离变量生xdx

解:

1一yl+x2

],C

得一ln(l—y)=—ln(l+x2)-]nC,即y=1—-/—.

2VI+x2

(2)=—

2y

解：分离变量2)，"?由；=w2，小，两边积分就得到了通解

ey2=—(xe2x

2

⑶(2x+l)eW+2e>-4=0.

.eydydx1,..1,小，、1,一

解：------=-------，—ln(ze-2)=——ln(2x+l)+—InC>

2e'-42x+l222

即(/-2)(2%+1)=C.

**2.试用两种不同的解法求微分方程y'=1-x-y+xy的通解.

解法一(可分离变量方程的分离变量法)这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一

阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易.

分离变量，y'=(l—x)(l—y),&=(1—并积分fd=f(l-x)dx

1-yJ1-yJ

1

得一ln(l-y)=九一3/+c,所求通解为y=1+ce2.

解法二(线性方程的常数变易法)将原方程改写为y'+(l-x)y=l-x,这是一个一阶

线性非齐次方程.

_1^,2x

对应的齐次方程为y'+(l-x)y=O,其通解为①旷=旗2.

代入原非齐次方程得C7=1—x,解得②心=e'V+C,②代入①即可得原

方程的通解

y=l+d，

*3.求解下列初值问题：

解「.户—J台』*'

AIny=arcsinx+C,y=Ce3rcsi叱，

(2)yf+2xy=e-x2,y(0)=1；

解:vy'+2xy=e~x,/.p(x)=2x,q(x)=e~x,

/.y(x)=e'Je"J2dAdx+C=e~x卜一"/"dx+C=xe~x+Ce

x

・・・y(0)=1,♦・.l=O+cnc=l,y=(x+l)e~.

(3)V+ycotx=H丐)=1；

解：yr+ycotx=ecosx,/.P(x)=cotx,Q(x)=ecosx.

cosctJdt|nsinvC0SAlnsin

y=e斗°，仙c+je'e^°dx=e-(C+jee'dr)

=cscx(C+jecosvsinxdx)=(C-eCOSA)cscx,

由y(、)=l,可确定C=2,所以y=(2-eC0SX)cscx.

2

(4)xdy4-(2xy-x+l)dx=0,y\X=1=0.

211

解：方程变形为+=是一阶线性非齐次方程，其通解为

XXX

由y⑴=0，得c~一»所以特解为：y——+-----•

22x2x

**4.求微分方程yInydr+(x-Iny)dy=0的通解(提示将x看作是y的函数).

解：将x看作是y的函数，原方程可化为由+」-x=L,这是一阶线性方程，将其中

dyyInyy

P(y)=—,Q(y)=,代入一阶线性方程求解公式，得通解

yl"y

珏+百可=需+2”.

**5.求满足关系式fL〃y（〃）d〃=/+y（x）的可导函数y（x）.

Jv2

解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对x求导，可得微分方程孙（X）=2X+32,

dx

x2

即殳一盯=—2x,分离变量得山-=xdx,积分得丁=。6万+2,

dxy-2

在原方程两边以x=痣代入，可得初试条件y|、=应=-2.据此可得C=-4e-',所

以原方程的解为y--4eT-1+2.

**6.设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为k）,求降落伞的下落

速度与时间的函数关系.

解：根据牛顿运动第二定理有〃=这是一个可分离变量方程，分离变量并积

分得

--ln(m^-kv)=—+C.

km

由初始条件口(0)=0,得C=—，ln(〃2g),即得v=^-\l-e^

kk\

**7.求一曲线，已知曲线过点（0』），且其上任一点（x,y）的法线在x轴上的截距为履.

解：曲线在点（x,y）处的法线斜率为-2y,所以法线方程为y-y=-」7（X-x）.

只要令丫=0,就可以得到法线在x轴上的截距为X=x+yy'.

据题意可得微分方程x+yy'=H,即力'=（左-l）x.这是一个可分离变量方程，分

离变量并积分得所求曲线丁+（1一幻/=。，由于曲线过点（0,1）,所以。=1,所以所求

曲线方程为y2+（l-k）x2=\.

***8.求与抛物线族y=C》2（C是常数）中任抛物线都正交的曲线（族）的方程.

解：在给定曲线y=c?上任意一点（x,y）处切线斜率为心=y=2cx,从上面两式中消

去c得热=了=生，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程<=立

XX

设所求曲线方程为y=y（x），在同一点（x,y）处切线斜率为Z=y,则根据正交要

x

求有心人=-1,这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程y(=-—.

2y

这是一个可分离变量方程,分离变量2ydy=-xdx,积分得所求曲线族y2=-1x2+c,

即椭圆族y2+(/=c.

2

***9.作适当变换，求微分方程y'=4e->----------的通解.

"2x+l

22?

解原方程可化为=4,在换元z="'下方程可化为z'+，^=4,这

2x+12x+1

是一个一阶线性方程，其通解为

.2dx".2d.r।

z=e2x+1<C+14?2x+idx>=-------{C+4x+4x2}.

***10.作适当变换，求微分方程的通解.

y2

解：令/=〃x,代入方程整理得—,积分得sinw=Cx以〃=2_代入

tanwxx

上式，即得原方程的通解:sin-—-Cx.

x

第9章(之3)(总第46次)

教学内容：§9.2.3齐次型方程；9.2.4伯努利方程.

**1.求下列微分方程的通解：

(1)—=—(1+Iny-In%)；

drx

解：v包=2(i+iny-lnx),.・・包=2(l+ln2),这是一个一阶齐次型方程.

dxxdxxx

令w=—,则y=ux,即y'=〃+x/,于是原方程可化为w'=〃lnu・这是一个

x

可分离变量方程.

分离变量乌_=如,并积分f-^_=f—,得lnln“=lnx+lnc,即"

ulnuxJuInuJx

以w=2代入，得所求的通解为了=加”.

X

y

(2)(xyf-y)arctan—=x.

x

解:方程可化为y=工+一一,这是一个一阶齐次型方程.

%arc.tan—y

x

令〃=2，则y=即y'="+x〃，于是原方程可化为工丑=—1—,这是一个

xdxarctanu

可分离变量方程.

分离变量后积分得x/1+u?=Ce"m.

__________yV

以代入V上式得原方程的通解：4I~/+/T=ce—、arctan—1

X

**2.求解下列初值问题:

(1)xydx-(2x2+y2)dy=0满足初始条件y(2)=1的特解.

解：•「xydx-(2x2+y2)dy=0,—=—4--,令人u=—X

dyyxy

du1dudy

则Mll〃+y——=2w+—,------=—,

dyu1y

z.—ln(w2+1)=Iny+Inc,A/W2+1=cy,即

代回即得三+l=c2y2,・・・y(2)=l,/.c2=5,因此x2+y2=5y4.

y

+y)dx+(x-y)dy=0,

,y|x=o=

1+2

解：原方程可表为曳=土吆

----,令w=—,y'=〃+x/,

dxy-x2-1、

X

代入方程，有“+刈'=上凹，Idu1+2〃-u"

Jx——=---------，

u-1dxu-1

2

分离变量——-----du=—dxf积分得一,ln(l+2〃-M)=Inx-In4c

\+2u-u2x2

n通解x2+2xy-y2=C,令x=O,y=O,得C=0.

所以初值问题的解为x2+2xy-y2=0.

***3.试证明：当卬为。勺4时，总能找到适当的常数人攵，使•阶微分方程

),，=以/x+Zy+G)

a2x+b2y-^c2

&_rzQ/+b]S

在变换S=y—k,E=之下，可化为一阶齐次型方程~T=J(-----;-)・

dta2t-\-b2s

并求方程(x+2y+l)<k+(2x+3y)dy=0的解.

〃[%+&y+C]=Q"+0[S

证明：令＜*/a[b2wa2bl，

。2尤+匕2丁+。2=。2'+。2s

。1臼一

s=y-k一3—-

ab-abah-ah

.•・可解得：《}22]因此可取:}22]

hc-bchc—b2cl

t=x-x22]h}2

axb2-a2blaxh2-a2bl

s=y+2ds=dy

解：v(x+2y+\)dx+(2x+3y)dy=0,令V

t=x-3dt=dx

/.[z+3+2(s-2)+\\lt+[2Q+3)+3(5-2)卜$=0,(/+2s)dt+(2r+3s)ds=0,

,2s小3s、ds八ds

=1+—+(2+—)—=0=>—

ttdtdt

2+—

dsdu

令〃=>—=i〃+f—,

dtdt

du1+2udu(3〃+1)(〃+1)

/.〃+r—=>

dt2+3〃dt3u+2

n加+2)也dt13

2(〃+1)+2(3“+1)

(3w+1)(〃+1)

即-ln(M+l)(3M+l)=-ln/+lnc,

2

”(>畔+l)=c

J(〃+1)(3〃+1)-t=c=>

(x-3)J(1+^^)(1+=c^3y2+x2+4xy+2x=c.

Vx-3x-3

**4.求下列微分方程的通解

(1)xyr-y+y21nx=0；

-2i1-]Inx

解:*/R-y+y2Inx=0•••yy——y=

xx

_idt1Inxliu

令A，=y=——+—t=——，P(x)」,Q(x)

dxxxxx

-f-dxf-dx,

/.t(x)=eJxC+eJxdr-c+•xdx

X

Cx"+L(xlnx-x)=Cx1+Inx-1,

yt=lnx-l+Cx~[.

(2)(y-2ypcy)dx+xdy=0.

.——dv]2-21-2

解：丁(y-2Jxy)dx+xdy=0,—^—y=—=y,y

dxxy/x“匕产五’

〃二y"需一.•尸叱小⑶”

=x।[C+x],

!_1

"=x3[C+x],「・6=yfx+—j=・

Vx

(3)y'

2(xy2-x2)

解一：令〃=y2,原方程化为:解此方程得u=Cex

以〃=V代入上式，原方程通解为），2=Ce7.

dx22

解二：原方程写成X=-X2

dyy-----»

令x-i=z，则方程化为：—+-z=^,

dyyy

(•2Edy1

则通解z=e>'C+\^evdy=-^[C+2\ny],

Jyy-

故原方程通解：-=4-[C+21ny].

**5.求下列伯努力方程满足初始条件的特解：y'=y——,)(0)=1.

y

解：・・・y'=y-2孙7,•・.yy'-y2=-2%，

令t=y2=>—-2r=-4x,/.P(x)=-2,Q(x)=-4x,

dx

f(x)=e'"C+j(-4x)e=e2t[c-4jxe-2A(ix]

=e2x[C+2xe~2x+e-2x)]=Ce2x+2x+l

y2=2x+\+Ce2x

•.•y(0)=Ll=2xO+l+Ce°=>C=0

/.y2=2x+l

****6.作适当的变换求方程71+x2sin2y-y'=2xsin2y+e2^的通解.

解：原方程化为：71+x2dsiniy=2xsin2y+e2^,

dx

令％=sin2y,得———TX——z=e2'^'/71+x2,

dx

Ce2^+e2Gln(x+71+x2)

原方程的通解为sin2y=Ce2^+e2^ln(x+71+x2).

***7.已知21)，(4)可>%)<14=2%+/。)，求y(x).

解：两边关于x求导得2yy'—y2=-1.

解得y2=Cex+\,

由y\A=o=。,求得c=-1.

故原方程的解为：y2=i—el

***8.曲线过点(1,1),其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的曲线的法线

在x轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程.

解：/+y2=2x(x+W),y⑴=1,2yy'--y2=-x

x

令y2=z，解得z=y2=x(C-x)

由y(l)=1,得C=2,

曲线方程为：x2+y2^2x.

***9.根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为v=aAj砺，其中g为重

力加速度，力为液面与底部孔口之间的距离，A为孔口面积，a为孔口收缩系数，实验确

定其取值为a=0.62.现有一直径为1m,高为2m的直立圆柱形容器，其中盛满的水从底

部直径为d=1cm的圆孔流出，要多长时间容器内的水才会完全流尽？

解：设在时刻t时，容器中液面高度力。)，则经过。后液面高度为/?”+△，)，于是有

nr~(//(/)-h(t+A/))=,

h{t+Ar)-h(t)_oA12gh

即

Az万产

令4-0,得

-齐丝屈

/i(0)=200

解得出=卫\而f+历J,

2万广

rr

代入〃=0,g=980,r=50,A=—,a=0.62,得/=10304(秒).

4

第9章(之4)起第47次)

教学内容：§9.3可降阶的高阶微分方程

**1.解下列问题：

(1).微分方程y'+y"=xy"满足条件旷(2)=1,义2)=1的解是()

、，1、221

(A)y=(x-1)2(B)y=(x+—)-■—

24

1,1

(C)y=—(x-1)'+—(D)y=(X--)2---

-2224

解：(C)

(2).微分方程y"-2yy'3=0满足条件/(0)=-1,丁(0)=1的解是()

y1

(A)—=x+-(B)—=y-1

333

1

(C)—-X+-(D)=—y+1

33

解：(C)

**2.求下列微分方程的通解.

(1)xy"+y'=0；

解：・・・xy〃+V=0是一不显含因变量y的二阶方程,

〃—史.n'n-()0生一生

令p=y'=>yX+

dxpx

np=5,

n悭=一隹=>Inp=-Inx+InC

JpJX]

—=—,dy=-dr,fdy=f—dr,y=C]lnx+C2.

drxx」」x

(2)(1+九2)y〃+2孙'=1;

”2x,1

解:-V+1+。)-1+x2

1,

+x

y=)+arctanx+C2

⑶yy"+(y,y=0；

解：•••抄"+(力2=0,令p=y',贝ijy"=p型，代入方程有

dy

y.喧+pJO,np(吟+p)=。，

因为求通解，所以p满足y•攵+p=0.

'd)’

C，

=Inp=-Iny+InG=p=—,

，y

=⑪_C：

=>ydy=C[dx=>jydy=JCj/dxy2=Cx+C.

dxy]2

2

：.通解：y=Ctx+C2.

(4)(l+y2)y"=2yy'2

解：令：y=p(y),y"=pp',得(l+y2)p.p，=2p2y,

即q£=上=(1〉，得p=G(l+V),

p1+k

所以一2=Gdx，通解为:arctany=C1X+C.

1+/2

第9章(之5)做第48次)

教学内容：§9.4.1二阶线性方程和解的存在性；§9.4.2二阶线性方程解的结构

**1.若月，乃是方程y"+P(x)y'+Q(x)y=R(x)的两个解，试证乃-%必是其对应齐

次方程y"+P(x)y'+0(x)y=O的解.

证明:因为%,乃是方程y〃+P(尤)-+Q(x)y=R(x)的解.

所以成立下式：

y；+P(x)y；+Q(x)%=R(x)(1)

y"+P(x)y；+Q(x)>2=R(x)(2)

将(1)、⑵两式相减，得

(y；-灭)+P(x)(y；-弘)+。(-)(%-%)=。0)

(2)式可写为

(--%)"+P(X)(%->2)'+。(幻(力-乃)=°，

所以弘―乃是齐次方程y〃+P(x)y'+Q(x)y=O的解.

222

***2.已知月=1,乃=1+x,>3=1+/是方程—y'+-yy=-y的三个特解，问能

XXX

否求出该方程得通解？若能则求出通解来.

解：按(1)证明可知力一必=X，乃一力=X?分别是其对应齐次方程

)"一2'<+彳?y=o的解，并且线性无关，所以Gx+c，/为齐次方程的通解・

XX

2

所以原方程的通解可以表示为：y=C,x+C2x+1.

*3.验证：e、,e/是微分方程4/x=0的两个线性无关特解，并求此方程的通

t

解.

证明：因为

r)一(『)-4r2/=2/+4?2/--x2te'2_4z2/=0,

=—2e-〃+4r/--x(-2^)-4r/=0,

2

故『，6一'2是方程的解，且二二/12。常数.

e~f

22

于是e「,eT是方程线性无关的解(构成基本解组)，故方程的通解为

2

x-Cte'+C2e~',

其中。］,。2为任意常数.

*4.已知函数月=6，,力=%是方程(l—x)y"+xy'—y=0的两解，试求该方程满足

初始条件y(0)=l,y'(0)=0的特解.

x

解：方程的通解为y=c,e+c2x,将初始条件代入，有：

y(0)=c,=1,

x

y'(0)=cte+c2—Cj+c2=0,

解得G,C?为：ct=l,c2=—1,

所以特解为：y-ex-x.

**5.设修(f)是非齐次线性方程

x”(f)+a4)x()+%(小。)=力⑺(1)

的解.》2«)是方程

x"(t)+aSt)x'(t)+a2(t)x(t)=f2(t)(2)

的解.试证明X=Xj(0+x2(t)

是方程

x"(f)+a,(f)N(f)+a2(t)x(t)=/,(f)+f2(t)(3)

的解.

解：因为X]Q),X2«)分别为方程(1)和方程(2)的解，所以

x；(f)+a,”)x；(f)+&«)X|(0=fi⑺⑴'

石”)+a,(f)耳(f)+a2(r)x2(0三人(f)⑵'

(1)，+⑵，得:

(%!(/)+x2(Z))+a1(0(x1(r)+x2(0)+。2(。&«)+》2(。)=/]")+A⑺

即x=Xi(t)+x2(t)是方程(3)的解.

第9章(之6)假第49次)

教学内容：§9.4.3二阶线性常系数方程的解法

**1.解下列问题：

(1)方程y〃+8)，=0的通解为y=.

解：y=C]cos2V2x4-c2sin2y[2x.

(2)方程y”+6y'+25y=0的通解为了=.

3x

解：y=e~(c{cos4x+c2sin4x).

(3)方程y"-8y'+l5y=0的通解为＞=.

3x5x

解：y=C^+C2e.

(4)方程5y〃+2ji?y'+3y=0的通解为丁=.

怎

5

解：y=e(CjX+C2).

(3)方程y"+6y'+py=0的通解为y=e，GcosV^x+C?sinV5x)，则〃=___，

k=・

解：11,—3.

**2.求解下列初值问题：

(1)y"-8y'+l6y=0,y⑴=/,y'⑴=0；

解：•••"-82+16=(4-4)2=0,...42=4,

4

通解为：y=(C]+c2x)e'.

44

将初始条件代入，有y(l)=(C)+c2)e=e,

44x4444

y'(l)=c2e'+4(C]+c2x)e=c2e+4(q+c2)e=c2e+4e=0

4t

得到：c,=5C2=-4,所以特解为：y=(5-4x)e.

(2)y"+4y'+29y=0,y(y)=1,yr(y)=3；

q*c,-4±V16-116-4±10z1

解：矛+4/1+29=0,2=-------------=--------=-2±5i,

22

2x

通解为：y-e~(ctCOS5X+C2sin5x).

yg)=e10+C2)=1=>n

代入初始条件有:c2=e,

2x-2

y\~)--2e~(c,COS5X+C2sin5x)+e'(-5clsin5x+5c2cos5x),

得:C]=-e".特解为：y=e^2x(-cos5x+sin5x).

(3)y"+4y'+3y=0,y(0)=6,y'(0)=10；

解：22+42+3=0,(2+1)(2+3)=0,

x3x

所以通解为y=cte-+c2e-.

代入初始条件有：

y(0)=+c2=6,

x3x

y*(0)=­cxe~—3c2e~=—c?j—3c2=10,

特解为：y=14ef—8e⑶.

**3.求解初值问题

y,+2y+”dx=lMo

y(0)=1

解：将原方程对x求导得y"+2y'+y=Q(1)

且有y'(0)=l—2y(0)=-l

x

微分方程(1)的通解为：y=e-(ClX+C2),

代入初始条件y(O)=l,y'(O)=—l，得G=。，。2=1，

故所求问题的解为：y=e-*.

***4.设函数Q(X)二阶连续可微，且满足方程°(x)=1+jx-")°(〃)d“，求函数9(无).

解：原方程关于x求导得

(P'(X)=Hi9(M)dM+X(p{X)­X(p(X)=M(“)d〃，"(0)=0,

再求导得：(p"(x)=<p(x),且由原方程还有:0(0)=1,

xx

微分方程的通解为：(p(x-)=C,e+C2e-,

代入条件9(0)=1,夕'(0)=o,得G=。2=g，

故所求函数为：(p(x}--(er+e"x)=chx.

***5.长为100cm的链条从桌面上.由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑.设运动开始

时，链条己有20cm垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间.

解：设链条单位长度的质量为0,则链条的质量为1002.再设当时刻f时，链条的下端

距桌面的距离为X。)，则根据牛顿第二定律有：

100/7^-^=pgx,即

—z------X=0

drdr100

又据题意知：x(0)=20,x'(0)=0,所以x(t)满足下列初值问题:

x(0)=20,x'(0)=0

返_送

10

解得方程的通解为：x=+c2e.

又因为有初始条件：I*;:=＞「二;;

返&t

所以x^lOe10+10e10.

&I&t

又当链条全部从桌子边缘滑下时，x=100,求解f,得：100=1001°+l0e10,

即：ch^-t=5,t=-^=arch5.

ioV7

***6.设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为2千克的物体，使弹簧伸长2厘米达到平衡,

现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所产生的振动的周期.

解：取物体的平衡位置为坐标原点，x轴竖直向下，设，时刻物体，"位于x(f)处，由牛

顿第二定律:2#=2g-g(x+2)=-gx,

其中g=980厘米/秒2其解为：x=GcosA，+Gsin《家

振动周期为T=2肛2^0.28.

\gV490

第9章(之7)(总第50次)

教学内容：§9.4.3二阶线性常系数方程的解法；§9.4.4高阶线性常系数微分方程

**1.微分方程y"+y=xsinx的一个特解应具有形式()

(A)(Ax+B)sinx

(B)x(Ax+B)sinx+x(Cx+D)cosx

(C)x(Ax+3)(cosx+sinx)

(D)x(Ax+B)(Csinx+Dcosx)

解：(B)

**2.设A,8,C,O是待定常数，则微分方程y〃+y=x+cosx的一个特解应具有形式

()

(A)Ax+B+Ccosx

(B)Ax+8+Ccosx+Dsinx

(C)Ax+8+x(Ccosx+Dsinx)

(D)Ax+8+Cxcosx

答：(C)

**3.求下列非齐次方程的一个解

(1)y"-y'-2y=2x+1；

解：・・・下一；1一2=0,/.=2,-1,­/0不是特征根.

设y”=6/+如