江苏专用2021年秋季高三数学开学摸底考试卷01含解析

2021年秋季高三数学开学摸底考试卷

一、单选题

1.设集合A={—1,1,2,3,5},8={2,3,4},C={xe/?|L,x<3},贝MAnOU8=

A.{2}B.{2,3}C.{-b2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】D

【分析】

先求AC1C,再求（ACIOUB.

【详解】

因为Anc={l,2},

所以（AnC）UB={I,2,3,4}.

故选D.

【点睛】

集合的运算问题，•般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、

坐标系、韦恩图等进行运算.

2.设复数4*2在复平面内的对应点关于实轴对称，4=3+4"则z,=（）

A.25B.-25C.7-24/D.-7-24/

【答案】A

【分析】

由题意可得z2=3-4i,根据复数的乘法运算即可求解.

【详解】

复数Z1,Z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z,=3+4z,

则Z2=3—4i,所以Z|Z2=（3+4j）（3-4i）=9+16=25.

故选：A

3.已知直三棱柱ABC—A4c的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为由，A8=2,AC=1,

Z£MC=60°,则该球的表面积为（）

A.4万B.4V271C.8万D.327r

【答案】C

【分析】

利用三棱柱ABC—4旦6的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为6，48=2，AC=1,44c=60。，求出

AA「再求出A45C外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积.

【详解】

.棱柱A3C-4片G的侧棱垂直于底面，

棱柱的体积为6，A5=2，AC=1,NB4c=60。，

二；x2x1xsin60°xAAi=W),：.A4,=2

二BC2=AB2+AC2-2ABACcos60°^4+l-2^3,：.BC=6.

设A/WC外接圆的半径为"，则”:=2R,H=l.

sin60°

•••外接球的半径为疝T=正，.••球的表面积等于44x(逝丫=8].

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查根据柱体体积求棱长，考查几何体外接球有关计算，属于基础题.

4.函数/(x)=sinxcosx+石cos?x的图象的一条对称轴为()

n兀c71

B.x=一C.x=一D.X--

632

【答案】A

【分析】

先化简得f(x)=sin(2x+?)+*

令2xH---=----Fk7l,ZeZ求出对称轴即可判断.

32

【详解】

2+CQS

/(x)=sinxcosx+V3cosx=—sin2x+V3-^=sin2x+—j+—

22(3J2

jrrrnK7T

令2x+—=—+Z］，keZ,解得了二一十——,keZ、

32122

则可得x=q是/(x)的一条对称轴.

故选:A.

22

5.椭圆二+匕=1上一点M到焦点的距离为2,N是M片的中点，贝UIONI等于（）

259

A.2B.4C.6D.1.5

【答案】B

【分析】

设椭圆另•焦点为F2,根据椭圆定义|峭|+|咋|=2a=10，故I”周=8,再结合中位线定理即可得答案.

【详解】

设桶圆另一焦点为工，根据椭圆定义|叫|+1"闾=2。=10,故4|=8,

△“片鸟中，N是M6的中点，。是耳居的中点，故。V是中位线，

W=1|MF2|=ix8=4.

故选：B.

6.已知•b2sin2a-cos2a=l,贝!jcosa的值为（）

1在62

BaD

-一-

A.5535

【答案】D

【分析】

利用二倍角公式化简得到2sin«=cosa,再利用同角的平方关系求解.

【详解】

由题得4sinacosa+l-2cos2a=1,

所以4sinacosa=2cos2a,

因为aef0,—j,

所以2sina=cosa,

因为sin?a+cos?a=1,/.—cos2ez+cos2a=1,

4

24/.cosa=]逐.

所以cos-a--a

故选：D

【点睛】

方法点睛：三角函数求值常用的方法有:三看(看角、看名、看式)三变(变角、变名、变式).

7.a\na>h\nh>c\nc=1,贝！I()

A.eh+c\na>ec+a\nb>ea+h\ncB.inb>eh+c\na>eu+h\nc

C.ea+b}nc>e<+a\nb>eh+,\naD.ea+blnc>eb+c]na>ec+a\nb

【答案】C

【分析】

构造函数/(x)=xlnx,利用导数得出。＞6＞。＞1,构造函数g(x)=绊，利用导数证明学〈华＜华,

从而得出ea+blnc>ec+aInb>e%Ina-

【详解】

令/(x)=xlnx,则/(x)=l+lnx

当0<x<1时，/'(x)<0,当时，/'(x)>()

ee

111

AxInx—Inx

令g(zx)=h，则g,(©=—

e

由于函数y=工—Inx在(0,+8)上单调递减,

X

则!一Inx=0在(0,+oo)上有唯一解c,故g'(x)=0在(0,+8)上有唯一解c

X

即当时,g'(x)vO,则函数g(x)在(c,+8)上单调递减

ur/、/,x/、口JnaIn/?Inc

即g(a)<g(勿<g(c),BP—<—<—

eee

ebIna<eaInb,ec\nb<e"Inc

eb+cIna<ea+（Inb,ea+c\nb<Inc=eb+c\na<ea+c\nb<eh+cInc

故选：C

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键在于构造函数，利用导数得出函数的单调性，进而得出函数值的大小关系.

8.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要

的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数

术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、

下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、

十位、百位、……，上面一粒珠（简称上珠）代表5,下面一粒珠（简称下珠）是1,即五粒下珠的大小等

于同组一粒上珠的大小.现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只能往下拨且每位

至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被3整除的概率是（）

Hi必5.

小珅州卅

D.

2

【答案】D

【分析】

从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，利用列举法列出整数共有32个，其中能够被3整除

的整数有16个，进而根据古典概型的概率计算公式可解.

【详解】

解：从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，得到的整数共有32个，分别为:

11,15,51,55,101,105,501,505,110,150,510,550,

1001,1005,5001,5005,1010,1050,5010,5050,1100,1500,5100,5500,

2,20,200,2000,6,60,600,6000,

其中算盘表示的整数能够被3整除的整数有16个，分别为：

15,51,105,501,150,510,1005,5001,1050,5010,1500,5100,6,60,600,6000,

则算盘表示的整数能够被3整除的概率为P=£=1.

322

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题的解题关键点是利用列举法把从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠所得

到的整数列举出来.

二、多选题

9.已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N。10,81),其中90分为及格线，则下列结论中正

确的有(附：随机变量J服从正态分布则P(4—2b<J<〃+2b)=0.9545)()

A.该校学生成绩的期望为110B.该校学生成绩的标准差为9

C.该校学生成绩的标准差为81D.该校学生成绩及格率超过95%

【答案】ABD

【分析】

根据正态分布的数字特征可判断ABC选项的正误，计算出290)>0.97725,可判断D选项的正误.

【详解】

因为该校学生的成绩服从正态分布N(110,81),则〃=110,方差为</=81，标准差为b=9,

2b=110—2x9=92,P(^>90)>P(<>92)=P(^>X/-2O-)=1+1P(//-2O-<^<//+2O-)

=-+-x0.9545=0.97725>0.95.

22

所以，该校学生成绩的期望为110,该校学生成绩的标准差为9,该校学生成绩及格率超过95%.

所以，ABD选项正确，C选项错误.

故选：ABD.

10.△A5C中，。为边AC上的一点，且满足通=；反，若P为边8。上的一点，且满足

AP=mAB+nAC[m>O,n>O),则下列结论正确的是()

A.m+2相=1B.相〃的最大值为

12

4ii

C.—।■—的最小值为6+4>历D.〃?2+9〃2的最小值为六

mn2

【答案】BD

【分析】

根据平面向量共线定理可知A错误；

根据〃?〃=；m.（3〃），利用基本不等式可求得最大值，知B正确；

由3+'］（m+3/1）,利用基本不等式可求得最小值，知C错误:

mnymn）

利用基本不等式可得力2+9〃22（巴+3"）,知D正确.

2

【详解】

X寸于A，AP=mAB+nAC=mAB4-3nAD，

・・•瓦P,。三点共线，.•.m+3〃=1,A错误;

11fm1

对于B,・・・加+3”=1,=—%（3〃）＜-x-----=一（当且仅当加=3〃时取等号），B正确；

3v73I2）12

IT八41（41Vc\r12〃mrA12〃m4/rz、“「＞lz12/2mniI

对于C,——F—=—i■—+3〃）=7d----1——＞7+2./------=7+443（当且仅当=一,即

mn\mn）mn、mnmn

=时取等号），C错误;

22W+3

对于D,/w+9n>^^=-（当且仅当闭=3〃时取等号），D正确.

22

故选：BD.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成

积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是

所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点4,8的距离

之比为定值X（入#1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简

\PA\1

称阿氏圆，在平面直角坐标系x分中，A（-2,0）,8（4,0）,点尸满足七寸=彳.设点尸的轨迹为G

下列结论正确的是，（）

A.C的方程为（K4）2+/=9

\PD\

B.在x轴上存在异于48的两定点〃，E,使得匕

2

C.当4B,尸三点不共线时，射线尸。是/板的平分线

D.在C上存在点弘使得1M=21恻

【答案】BC

【分析】

设/（%y）,运用两点的距离公式，化简可得一的轨迹方程，可判断/；

假设在x轴上存在异于48的两定点〃，E,使得四2设出〃，£的坐标，求得轨迹方程，对照户的

|PE|2

轨迹方程可得〃，E,可判断6；

Q41PA

当/,B,尸三点不共线时，由舄=7=局，由角平分线定理的逆定理，可判断a

|QB|2\PB\

若在。上存在点M使得励=2|也I；,可设“（x,y）,运用两点的距离公式，可得M的轨迹方程，联立〃

的轨迹方程，即可判断〃.

【详解】

在平面直角坐标系履/中，A（-2,0）,B（4,0）,点一满足

陷|2

J（元+2）+y22

设尸（*,y）,则

&一4），/2

化筒可得（心4）2+/=16,故4错误;

\PD\

假设在x轴上存在异于45的两定质〃，E,使得舄]_

\PE\2

可设〃(必，0),E(n,0),可得+y2=2+y2,

化简可得3f+3(8w-2/7)户4/-〃2=o,

由〃的轨迹方程为*+了+8x=0,可得8///-2n=-24,4--T?2-0,

解得m=-6,n--12或m=-2,〃=4(舍去)，即存在〃(-6,0),f(-12,0),故6正确;

\OA\1\PA\

当小B,户三点不共线时，由舄=彳=局，可得射线々是N/%的平分线，故C正确:

\OB\2\PB\

若在C上存在点机使得|如|=2|也可设材（x,y）,即有次了了=2而百节

化简可得必+/+3八+3=0,联立V+「+8x=0,可得方程组无解，故不存在M故〃错误.

33

故选：BC.

【点睛】

本题考查轨迹方程的求法，考查圆方程的求法和运用，以及两点距离公式的运用，考查化简运算能力，属

于中档题.

12.如图，在棱长为2的正方体ABCO—AB'C'。'中，M为BC边的中点，下列结论正确的有（）

A.AM与。'9所成角的余弦值为典

10

9

B.过三点A、M、0c的正方体ABC。-A'3'C'。'的截面面积为一

2

jr

C.四面体ACBD的内切球的表面积为了

D.正方体ABCD-AB'C'。'中，点P在底面AB'C'。'（所在的平面）上运动并且使NM4C'=NQ4C',

那么点P的轨迹是椭圆

【答案】AB

【分析】

——--------AM-D'B'

构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角cos<AM,D'B'>='—.为AM与D9所成角

|AM|||

的余弦值判断A的正误；同样设P(x,y,O)结合向量夹角的坐标表示，且由等角的余弦值相等可得

V2y+2后

/,；~尸=二，进而判断夕的轨迹知D的正误；由立方体的截面为梯形，分别求

7%2+/+4XV35

MN,AD：AM,D'N,进而得到梯形的高即可求面积，判断B的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧

面面积的关系求内切球半径r,进而求内切球表面积，判断C的正误.

【详解】

A：构建如下图所示的空间直角坐标系：

则有：A(0,0,2),M(l,2,2),B'(0,2,0),D'(2,0,0)，

二AM=(1,2,0),W=(-2,2,0)，

AMD'B'2\/10j工

COS<AM,D'B'>~7=----,故正确.

|AMUFB175x7810

B：若川为CC的中点，连接劭V,则有"ZV//AT>'，如下图示,

梯形AMND'为过三点A、MW的正方体ABCD-AB'C'D'的截面，

而MN=&=272,AM=D'N=后,可得梯形的高为—,

2

梯形的面积为S=,x3行x逑=?,故正确.

222

C：如下图知：四面体A'C'BO的体枳为正方体体积减去四个直棱锥的体积,

.•.V=8-4x1x|x8=|,而四面体的棱长都为2及，有表面积为S=4x；x2及x2及xsing=8若,

若其内切圆半径为，则有，X86/=§，即/=立，所以内切球的表面积为4%户=也.故错误.

3333

D：正方体ABCO—AB'C'。'中，点P在底面AB'C'D（所在的平面）上运动且NM4C=NE4C，即P

的轨迹为面A'B'C。'截以和/、4〃为母线，4。’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK,

A

构建如下空间直角坐标系，4。,。,2）代孝,孚"，（。,2夜,。）,若皿。），则

戒=（一^，¥，0），记=（0,2及,一2）,AP=（x,y,-2），

前.苑_6屏

，cosZMAC

\AM\\AC'\~y/5xy[n~5

42y+2岳+2V15

cos

ZPAC即/,,「二~r，整理得

lAPIIACIyjx2+J2+4x73yjx2+y2+4xyj35

（y+10V2）2-9x2=216（y>0）.即轨迹为双曲线的一支，故错误.

故选：AB

【点睛】

关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示

求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的

表面积.

三、填空题

13.已知Ax)是定义在R上的周期为3的奇函数，K/(-l)=2/(10)+3,则/1(2021)=.

【答案】1

【分析】

利用函数的周期性得7(2021)=/(—I),由已知条件可知/(-1)=一2/(-1)+3,即可求值.

【详解】

由题意知：/(2021)=/(3x674-l)=/(-1),而/(—1)=2/(1())+3,

.../(-I)=2/(3x3+1)+3=2/(1)+3=-2/(-1)+3,即3/(—1)=3,

：./(-D=l.故/(2()21)=1.

故答案为：1

14.已知抛物线。：>2=2〃%(/7>0)的焦点为尸，过尸作斜率为由的直线/交抛物线。与A、8两点,

若线段AB中点的纵坐标为也,则抛物线C的方程是.

【答案】

【分析】

本题首先可设A&,yJ、8(马,%)，则W=2p々、=2px2,然后两式相减，可得

(X一%)(X+必)=2p&)，再然后根据A、B两点在斜率为6的直线/上得出力(x+必)=2〃,

最后根据线段A8中点的纵坐标为、回即可求出结果.

【详解】

2

设A(4,y),8(々,%)，则y『=2pX],y2=2px2,

两式相减得一寸-2Pxi-2Px?,即(M—必)(丁1+%)=2Mx-x,),

因为A、B两点在斜率为由的宜线/上，

所以=6(X-必)(乂+%)=2P&-々)即6(X+%)=2P，

玉-A2

因为线段AB中点的纵坐标为6，所以乂+必=2百，

则6x2石=2p,p=3,抛物线。的方程是V=6x,

故答案为：；/=6院

【点睛】

关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相交的相关问题的求解，考查中点坐标的相

关性质，考查直线斜率的应用，考查计算能力，是中档题.

2

15.已知函数/(x)=x+ln(x-l),g(x)=xlnx,若/(石)=l+21nf,g(x2)=t,则(3w的

最小值为.

【答案】一二

【分析】

先证明据玉一1=ln%，结合求出a%-工2)1皿=/Inf,h(t)=t2lnr(z>0),根据函数的单

调性求出代数式的最小值即可.

【详解】

,//(%)=百+ln(x)-l)=l-i-21nr,

即％—1+In(百一1)=In产=1ndt.-1)],

・•・/=6日(M-1©,*>0，

2inX2

g(x2)=x2\nx2=t=e-lnx2(2),

又・・・y=x・，在[0,+8)上单调递增，

lnv2

故由①②得(%-l)=e-lnx2-l=lnx2,

2

故(X1%2-x2)\nt=x2\nx2-\nt=t\nt,

令>o),则hr(t)=2tlnt+t,

令"⑺>(),解得：…，，令"Q)v0,解得：

故〃(。在(04彳)递减，在+递增，

-11

故砥）min=恤2）=~—＞

2e

故答案为：-----

2e

【点睛】

利用导数解答函数最值的一般步骤:第一步:利用r（%）＞o或r（无）＜。求单调区间;第二步:解r（x）=o；

第三步：比较方程的根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较区间端点的函数值与极值的大

小.

16.格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的

“格点距离”（如：2-2,1）,则点尸到原点的格点距离为2+1=3）.格点距离为定值的点的轨迹称为“格

点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为6时，格点圆的半径有

条（用数字作答）.

【答案】252

【分析】

由题设，易知格点圆上的格点都在|x|+|田=6上，其中每个象限有5个，且相互关于*、y轴或原点对称，

分析可得每个格点半径条数为+W，进而可求所有格点的半径条数.

【详解】

设格点为（x,y）,格点半径为6,贝ij|x|+ly为6,

.•.对应格点圆图象如下，每条边上有（不含端点）5个格点,

以第一象限为例，格点有象5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),其中(1,5)的半径有6条,(2,4)的半径有15条,

(3,3)的半径有20条，(4,2)的半径有15条，(5,1)的半径有6条，

，共有62条，即对于任意格点，其半径条数有条，

二由上，四个象限共有4x(C：+C；+C；+C：+或)=248条半径，另外数轴上有

(6,0),(0,6),(-6,0),(0,-6)四个点，半径共有4C：=4条，

综上，格点半径为6时，格点圆的半径有248+4=252条.

故答案为：252.

【点睛】

关键点点睛：画出格点圆的图象，确定各象限中格点坐标，分析格点半径条数与坐标值之间的关系，应用

对称性求格点圆半径总条数即可.

四、解答题

17.已知等差数列的首项为2,前A项和为£,正项等比数列｛4｝的首项为1,且满足，前〃项和为a3=25，

£=Z%+Z?4.

(1)求数列｛&｝,｛4｝的通项公式；

(2)设c“=(—l)"log3S,+log3d，求数列｛4｝的前26项和.

【答案】(1)%=2〃，2=3"T；(2)328.

【分析】

(1)根据题设可得关于公差和公比的方程组，求出其解后可得两个数列的通项公式.

(2)利用裂项相消法和分组求和可求｛cn｝的前26项和.

【详解】

q+2d=2bq

}2+2d=2q

(1)由题意得:即《a

5q+等10+10J=q+q'

二4-9q=o,•••{4}是正项等比数列，.•.q=3,则d=2,

=2+2(〃—1)=2〃，2=1・3"T=3"T.

(2)S“=g〃(2+2〃)=〃(〃+l),

则cn=(一1)"log,[/i(«+l)]+log33'i=^(-1)"log3〃+(-1)”log(〃+1)]+〃-1

{c,J的前26项和为：

T2()=(-log3l-log32+0)+(log32+log33+l)+(-log33-log?4+2)+…

+(—log325-log326+24)+(logs26+log327+25)

26x(0+25)

=-log31+log327+————L=3+325=328.

【点睛】

思路点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如

果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么

用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.

18.潍坊市为切实保障疫情防控期间全市食品质量安全，采取食品安全监督抽检和第三方托管快检室相结

合的方式，全面加强食品安全检验检测据了解，滩坊市市场监管部门组织开展对全市部分生产企业、农贸

市场、大型商超、餐饮服务场所生产经营的小麦粉、大米、食用油、调味品、肉制品、乳制品等与人民群

众日常生活关系密切且消费量大的食品进行监督抽检组织抽检400批次，抽检种类涵盖8大类31个品种全

市各快检室快检60209批次，其中不合格53批次.某快检室在对乳制品进行抽检中，发现某品牌乳制品质

量不合格，现随机抽取其5个批次的乳制品进行质量检测，已知其中有1个批次的乳制品质量不合格下面

有两种检测方案：

方案甲：逐批次进行检测，直到确定质量不合格乳制品的批次；

方案乙：先任取3个批次的乳制品，将他们混合在一起检测.若结果不合格，则表明不合格批次就在这3

个批次中，然后再逐个检测，直到能确定不合格乳制品的批次；若结果合格，则在另外2批次中，再任取1

个批次检测.

（1）方案乙中，任取3个批次检测，求其中含有不合格乳制品批次的概率；

（2）求方案甲检测次数X的分布列；

（3）判断哪一种方案的效率更高，并说明理由.

3

【答案】（1）（2）答案见解析；（3）方案乙的效率更高.理由见解析.

【分析】

（1）由题意即可求解；（2）先求出X的可能取值，然后求出对应的概率，进而可以求解；

（3）设方案乙的检测次数为y,求出y的可能取值，然后求出对应的概率，再求出方案甲和乙的数学期望，

比较大小即可求解.

【详解】

C23

解：（1）由方案乙可知含有不合格乳制品批次的概率p=u=三，

（2）依题意知检测次数X的可能取值为1，2,3,4,

HX=2）=¥4

P（X=3）=4=L

P（X=4）=与1=1，

故方案甲检测次数X的分布列为：

X1234

]_22

p

5555

(3)设方案乙检测次数为y,则y的可能取值为2,3.

当iy=2时的情况为先检测3个批次为不合格，再从中逐一检测时，恰好1次检测出，或先检测3个批次为

合格，再从其他2个批次中取出1个批次检测.

则p(y=2)

6468一5'

2

所以6丫=3)=1

故方案乙检测次数Y的分布列为:

Y23

32

p

5?

12

时卜5+号T

123814

则玖x)=M丁丁二

因为E(Y)<E(X),所以方案乙的效率更高.

19.已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,KbcosA+tzcosB=2ccosA.

(1)求A；

(2)若a=2,AABC的面积为g,求AABC的周长.

n

【答案】(1)A=一；(2)6.

3

【分析】

(1)根据人cosA+acosB=2ccosA，利用正弦定理，结合两角和的正弦公式得到

sin(A+5)=2sinCcosA,又A+6=;r-C,由5抽。=2$皿。<：054求解；

(2)根据4=2,AABC的面积为百，由面积公式得到bc=4,再结合余弦定理求得b+c即可.

【详解】

(1)因为8cosA+〃cos5=2ccosA

所以sinBcosA+sinAcosB=2sinCeosA，

所以sin（A+3）=2sinCcosA,

因为A+B=%—C,

所以sinC=2sinCcosA，

因为sinCVO,

所以cosA=—.

2

因为0<A<»，

TC

所以A=々.

3

（2）因为A=q,AABC的面积为6，

所以SAABC=?CS呜=6

解得be=4,

由余弦定理a2=b2+c2-2Z?ccosA>

得4=82+02-8c=（b+c）2-3bc，

所以方+c=4,

所以a+b+c=6.

所以AA5c的周长为6.

【点睛】

方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要

抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如

果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个

定理都有可能用到.（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.

TT

20.如图，四棱锥P—ABC。中，底面A8CD是菱形，=M是棱PB上的点，。是AD中点，

且POL底面ABC。，OP=△OA.

M

(1)求证：BC±OMt

3

(2)若PM=严,求二面角B—OM—C的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)B.

4

【分析】

77

(1)由底面A5CD是菱形，ZBAD=1，可得△A5D为等边三角形，再加上点。是AD中点可证OB1AD，

进而可得QB_L3C,再由尸0,底面ABC。，可得。尸_LBC,结合线面垂直的判定定理及性质定理，即

可求证所求证；

(2)由题意及(D可以，以点。为原点，OAQB,。尸所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，再

利用向量法即可求解.

【详解】

1T

证明：在菱形ABC。中，NBAD=§,.•.步出0为等边三角形.

又•:。为A£＞的中点,

•••OBLAD.

•••AD/,BC，

OBYBC.

•：PO_L底面ABCD,BCu平面ABCD,

•••OP1BC.

■：OPC\OB^O,。尸,。80：平面「08，

3C_L平面P08.

M是棱P8上的点，

OMu平面P08.

BC±OM.

(2)解：••・PO_L底面ABC。，OBA.AD,

，建立如图所示空间直角坐标系O一个z,设。4=1,则0P=0B=6-

0(0,0,0),A(l,0,0),3(0,后0),。(一2,石,0),尸(0,0,百)，

ob=(-2,6,0)•

3

由PM=」PB,

5

得揄=协+|而=（0,乎,管）.

设加=（尤,y,z）是平面OMC的法向量,

—>一

OM•m=03y+2z=0,

由＜-_>,彳卜

2x-V3y=0,

OC-m=0

令y=2，则X=7J,Z=-3，则蔡=（G,2,-3）-

又•••平面POB的法向量为：=（i,o,o）,

由题知，二面角6—QW-C为锐二面角，

所以二面角B-Q0—C的余弦值为立.

4

【点睛】

本题考查线线垂直的证明及空间向量法求二面角，考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能

力及方程思想，属于中档题.

22r~1

21.已知等轴双曲线C：1—与=l（a＞0,力0）经过点（更，士）.

a2b222

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知点8（0,1）.

①过原点且斜率为A的直线与双曲线C交于£,尸两点,求N演户最小时衣的值；

②点/是。上一定点，过点6的动直线与双曲线C交于只0两点，3户+左蟆为定值2,求点4的坐标及

实数4的值.

【答案】（1）x2-y2=l-.（2）①左=0：②A（立,1）,2=血或者A（—=—&.

【分析】

（1）由题意a=2?，代入已知点建立方程，解之可得双曲线C的标准方程.

（2）①由对称性可设E（x,y）,F（-x,-y）,且运用向量数量积的坐标运算表示

BEBF=-x2-y2+l,乂由V=/-1可得赤＜（）,由此可得最小时，上的值.

②设过点8的动直线为：y=b+1.设尸（石,乂）,。（乙,必），与双曲线的方程联立得

（l-t2）x2-2tx-2=0,根据根的判别式和根与系数的关系可求得产＜2且/H1，由直线的斜率公式得

/x.+1-n枕,+1一〃代

—......+—-------=%,再由恒等式的思想可求得点A的坐标及实数;I的值.

玉一x2-m

【详解】

51

解：（1）由题意a=。，且44_1解得。=匕=1,

/一3=

所以双曲线C的标准方程为/一丁=1.

（2）①由对称性可设£（x,y）,网-乂-y）,且X21,则-8尸=（x,y-1）•（-x,-^-l）=-x2-/+1,

因为七点在双曲线。上，所以x2—y2=i,所以＞2=》2一1,所以屁.乔=20—巧40,

当|乂=1时，8丘8尸=0,/58/7为直角，

当卜|＞1时，诙•丽为钝角.

因此，NE5/最小时，N=l,%=0.

②设A（九〃），过点5的动直线为：y="+L

12—y2=]

设尸（七,另）,。色,%），联立＜得（1-厂）x?—2,tx—2=0,

y=/%+1

1-rW0

△=4r+80—尸）＞0

所以《一2，由1一产与0且△＞（）,解得*＜2且*wl，

…=一二

2

—=一y77

yx-n%今氏+1—〃tx^+l-n

k.p+^AQ=，，即且——+———=4即」------+—-------—A

%-mx2-mx[-mx2-m

化简得（2f—4）玉为+（-，”'+1—〃+力??）（玉+々-2m+2nm—Anr=0,