2024届青海省西宁市海湖中学高一数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

2024届青海省西宁市海湖中学高一数学第二学期期末达标检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量，若，则（）A． B． C． D．2．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的面积是（）A． B． C． D．3．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD一定是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形4．取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段绳有一段长度不小于的概率是（）A． B． C． D．5．的直观图如图所示，其中，则在原图中边的长为（）A． B． C．2 D．6．已知为的三个内角的对边，，的面积为2，则的最小值为().A． B． C． D．7．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的值为（）A． B． C． D．8．直线y＝﹣x+1的倾斜角是（）A．30∘ B．45∘ C．1359．已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（）A． B． C． D．10．已知中，，，点是的中点，是边上一点，则的最小值是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．cos212．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为________________________．13．已知曲线与直线交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为、，则__________14．用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共__项15．设，则函数是__________函数（奇偶性）.16．已知数列的通项公式为，是其前项和，则_____．（结果用数字作答）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．我市某商场销售小饰品，已知小饰品的进价是每件3元，且日均销售量件与销售单价元可以用这一函数模型近似刻画.当销售单价为4元时，日均销售量为400件，当销售单价为8元时，日均销售量为240件.试求出该小饰品的日均销售利润的最大值及此时的销售单价.18．2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，按阅读时间分组：第一组[0,5),第二组[5,10)，第三组[10,15)，第四组[15,20)，第五组[20,25]，绘制了频率分布直方图如下图所示．已知第三组的频数是第五组频数的3倍．（1）求的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；（2）现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”．经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率．19．设数列的首项，为常数，且（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；（2）是数列的前项的和，若是递增数列，求的取值范围.20．如图，在平面四边形中，为的角平分线，，，.（1）求；（2）若的面积，求的长.21．已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}满足：a1＝b1＝3，b2＝a4，且a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）令cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

先根据向量的平行求出的值，再根据向量的加法运算求出答案．【题目详解】向量，，

解得，

∴，

故选A．【题目点拨】本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题．2、C【解题分析】

根据题意，利用余弦定理可得ab，再利用三角形面积计算公式即可得出答案．【题目详解】由c2＝（a﹣b）2+6，可得c2＝a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab，所以：a2+b2﹣2ab+6＝a2+b2﹣ab，所以ab＝6；则S△ABCabsinC；故选：C．【题目点拨】本题考查余弦定理、三角形面积计算公式，关键是利用余弦定理求出ab的值.3、D【解题分析】试题分析：因为,根据向量的三角形法则，有,则可知,故四边形ABCD为平行四边形.考点：向量的三角形法则与向量的平行四边形法则.4、A【解题分析】

设其中一段的长度为，可得出另一段长度为，根据题意得出的取值范围，再利用几何概型的概率公式可得出所求事件的概率.【题目详解】设其中一段的长度为，可得出另一段长度为，由于剪得两段绳有一段长度不小于，则或，可得或.由于，所以，或.由几何概型的概率公式可知，事件“剪得两段绳有一段长度不小于”的概率为，故选：A.【题目点拨】本题考查长度型几何概型概率公式的应用，解题时要将问题转化为区间型的几何概型来计算概率，考查分析问题以及运算求解能力，属于中等题.5、D【解题分析】

由直观图确定原图形中三角形边的关系及长度，然后计算．【题目详解】在原图形中，，，∴．故选：D.【题目点拨】本题考查直观图，考查由直观图还原原平面图形.掌握斜二测画法的规则是解题关键.6、D【解题分析】

运用三角形面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦型函数的值域最后可求出的最小值.【题目详解】因为，所以，即，令，可得，于是有，因此，即，所以的最小值为，故本题选D.【题目点拨】本题考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.7、A【解题分析】，向左平移个单位得到函数=，故8、C【解题分析】

由直线方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角．【题目详解】直线y＝﹣x+1的斜率为﹣1，设倾斜角为α，则tanα＝﹣1，∴α＝135°故选：C．【题目点拨】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．9、B【解题分析】

根据倾斜角的正切值为斜率，再根据点斜式写出直线方程，化为一般式即可.【题目详解】因为直线的倾斜角为，故直线斜率.又直线过点，故由点斜式方程可得整理为一般式可得：.故选：B.【题目点拨】本题考查直线方程的求解，涉及点斜式，属基础题.10、B【解题分析】

通过建系以及数量积的坐标运算，从而转化为函数的最值问题．【题目详解】根据题意，建立图示直角坐标系，，，则，，，．设，则，是边上一点，当时，取得最小值，故选．【题目点拨】本题主要考察解析法在向量中的应用，将平面向量的数量积转化成了函数的最值问题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解题分析】由二倍角公式可得：cos212、.【解题分析】

连接、，取的中点，连接，可知，且是以为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案．【题目详解】如下图所示：连接、，取的中点，连接，在正方体中，，则四边形为平行四边形，所以，则异面直线和所成的角为或其补角，易知，由勾股定理可得，，为的中点，则，在中，，因此，异面直线和所成角的余弦值为，故答案为．【题目点拨】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．13、【解题分析】

曲线即圆曲线的上半部分，因为圆是单位圆，所以，，，，联立曲线与直线方程，消元后根据韦达定理与直线方程代入即可求解.【题目详解】由消去得，则，由三角函数的定义得故.【题目点拨】本题主要考查三角函数的定义，直线与圆的应用.此题关键在于曲线的识别与三角函数定义的应用.14、【解题分析】

由题意有：由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，得解.【题目详解】解：当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，则由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，故答案为：.【题目点拨】本题考查了数学归纳法，重点考查了运算能力，属基础题.15、偶【解题分析】

利用诱导公式将函数的解析式进行化简，即可判断出函数的奇偶性.【题目详解】，因此，函数为偶函数.故答案为：偶.【题目点拨】本题考查三角函数奇偶性的判断，解题的关键就是利用诱导公式对三角函数解析式进行化简，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.16、.【解题分析】

由题意知，数列的偶数项成等差数列，奇数列成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的求和公式可求出的值.【题目详解】由题意可得，故答案为.【题目点拨】本题考查奇偶分组求和，同时也考查等差数列求和以及等比数列求和，解题时要得出公差和公比，同时也要确定出对应的项数，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、当该小饰品销售单价定位8.5元时，日均销售利润的最大，为1210元.【解题分析】

根据已知条件，求出，利润，转化为求二次函数的最大值，即可求解.【题目详解】解：由题意，得解得所以日均销售量件与销售单价元的函数关系为.日均销售利润.当，即时，.所以当该小饰品销售单价定位8.5元时，日均销售利润的最大，为1210元.【题目点拨】本题考查函数实际应用问题，确定函数解析式是关键，考查二次函数的最值，属于基础题18、（1）a=0.06，平均值为12.25小时（2）【解题分析】

（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和，第三组的频率，由此能求出a和该样本数据的平均数，从而可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；（2）从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为A，B，C，D，E，F，利用列举法能求出从该6人中选拔2人，从而得到这2人来自不同组别的概率．【题目详解】（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和为，第三组的频率为∴该样本数据的平均数所以可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值为小时．（2）易得从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为，则从该6人中选拔2人的基本事件有：共15种，其中来自不同的组别的基本事件有：，共11种，∴这2人来自不同组别的概率为.【题目点拨】本题考查平均数、概率的求法，考查古典概型、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19、（1）是公比为的等比数列，理由见解析；（2）【解题分析】

（1）由，当时，，即可得出结论．（2）由（1）可得：，可得，，可得，，即可得出．【题目详解】（1），则时，，时，为等比数列，公比为．（2）由（1）可得：，只需，（）当为奇数时，恒成立，又单减，∴当为偶数时，恒成立，又单增，∴．【题目点拨】本题考查等比数列的定义通项公式与求和公式及其单调性，考查推理能力与计算能力，属于中档题．20、（1），（2）【解题分析】

（1）首先根据正弦定理得到，得到，在求即可.（2）首先根据得到，在根据余弦定理即可求出的长.【题目详解】（1）在中，，即.，或（舍去）.所以.（2），.在中，由余弦定理知：【题目点拨】本题第一问考查正弦定理，第二问考查余弦定理，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.21、(1)an＝2n+1；bn＝3n；(2)Sn＝n•3n+1．【解题分析】

（1）利用基本元的思想，结合等差数列、等比数列的通项公式、等比中项的性质列方程，解方程求得的值，从而求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列的前项和.【题目详解】（1）公差d不为零的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}，a1＝b1＝3，b2＝a4，且a1，a4，a13成等比数列，可得3q＝3+3d，a1a13＝a42，