决战2021届高考数学全真模拟黄金卷09（理）（新课标Ⅰ卷解析版）

黄金卷09（新课标I卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的。

1.设集合A={x|-1<x<l}，B={X|X-X2<0},则ACB=()。

A、{x\—l<x<0}

B、{x|-1vxKO或x=1}

C、{x|0<x<l}

D、{x|0<x<l}

【答案】A

【解析】,/x-x2<0,/.x(x-l)>0,解得xNl或xWO,

^B={x\x<>1}，WJAQB={x|-l<x<0},故选A。

1-3；

2.复数一IJ=()0

(一)(1+2，)

A、

B、-1

34.

C、---------1

55

3

D、

5

【答案】A

［解析］—匕a—=——l-3z=-(-l---3-z-)-(-3--Z-)-lOz

—i,故选Ao

(1-0(1+203+i(3+i)(3—i)10

函数小）=缶的大致图像是（）。

3.

A、IB、C、D、

【答案】B

sinx

［解析］由题意可知/（X）的定义域为{xIXx0},,//（-X）='丁=一/(x)>

ln［（-x）2+1］ln(x2+l)

•••/（X）为奇函数，其图像关于原点中心对称，；.C不对,

si.n—71

sinE

./W)==0,AA不对,又叫=-4——；——>0,故选B。

In(r兀2+])

呜+1)呜+D

4.王老师是高三的班主任，为了在新型冠状病毒疫情期间更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组

建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成。已知该钉钉群中男学生人数多于女

学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数。则该钉

钉群人数的最小值为（）o

A、18

B、20

C、22

D、28

【答案】C

【解析】设教师人数为x,家长人数为y，女学生人数为z,男学生人数为t,x、y、z、teZ,

则z>y+\>x+2,t>z+\>y+2>x+3,则x+y+z+rN4x+6,

又“教师人数的两倍多于男学生人数，

2x>x+3,x>3,当x=4时，x+y+z+t>22,此时总人数最少为22,故选C。

5.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相

等，相传这个图形是阿基米德最引以为豪的发现。现有一底面半径与高的比值为」的圆柱，则该圆柱的表

2

面积与其内切球的表面积之比为（）。

A、4:3

B、3:2

C、2:1

D、8:3

【答案】B

【解析】设内切球的半径为R，则圆柱的面半径为R，高为2R,

故圆柱的表面积S1=2成2+2位.2R=6成2,内切球的表面积$2=4成2,

该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为区=9雪=3,故选B。匕三二J

S24nR-2

6.如图，我国古代珠算算盘每个档（挂球的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上球，下面5颗叫下

珠。若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为（）。

A、一

【答案】D

【解析】从某一档的7算珠中任取3颗的所有基本事件有C]=35种,

一颗上珠都没有的基本事件有或=10种，

则至少含有一颗上珠的概率为尸=1-3=3,故选D。

357

7.已知数列｛叫的各项均为负数，其前〃项和为S“，且满足2S“=-G+4,则$5=()。

A、—28

B、-21

C、-15

D、-10

【答案】C

[解析]由2szi=一年+4,可得2Sn+i=—a2+%，

两式相减得：2（5向一S〃）=一（。；+]-d）+（/+]-,

即2%+]=-（片+]-%）+（%+1-〃〃），・'・（q+1+（。〃+1-+1）=°，

由己知/-4=-1,・•・数列｛%｝为等差数列，公差为一1,

再由2Sf1=一片+an,令〃=1得2$=-裙+q,

即26=-a：+q,，4=一1或q=0（舍去），

S“=叼+须_,>d=+D，因此$5=75,故选C。

〃I22J

心式》+1),。"<3,则关于x的函数

8.已知函数“X)为定义在R上的奇函数，当X20时，/(幻=,

X2-lOx+23,x>3

g(x)=f(x)+a(0<a<2)的所有零点之和为()。

A、10

B、21-24

C、0

D、1-2U

【答案】D

【解析】：/(x)为定义在R上的奇函数，先画当xNO时/(x)的图像如图,

再围绕原点将x>0的图像旋转180°得到x<0时/(x)的图像,

g(x)=/(x)+a的零点可以看做y=/(x)与y=rz(0<a<2)的图像的交点，

由图像可知交点一共有5个，设交点的横坐标从左到右依次为王、々、匕、七、%,

则为+%2=-10,x4+X5=10.且*3满足Iog2(—X3+l)=a，解得刍=1一2",

♦♦为+巧+为+工4+毛=1—2”,故选D。

9.已知函数/(x)=cos(23x+(p)(co>0,|在<二)的最小正周期为兀，将y=/(x)的图像向右平移四个单位

26

后得函数g(x)=cos2x的图像，则函数/a)的图像()o

A、关于直线X=三对称

6

B、关于直线工=2臼7r对称

3

C、关于点(_胃27t,0)对称

D、关于点对称

【答案】D

27c

【解析】由题意得丁=——=兀，故3=1,.•・/(x)=cos(2x+cp),

2co

7171

g(x)=cos[2(x——)+(p]=cos(2x-----Fcp)=cos2x,

63

又(p=y,/(X)=COS(2X+y),

令2x+—=k{n(kieZ),解得冗=一三+々^(k、eZ),

362

即〃x)的对称轴为x=—3+细(&eZ),经检验x=工、x=型都不符合,

6263

ITTT解得x=J2网eZ),

，令2x+1=5+&7t(%2EZ),

122-

即〃x）的对称中心为哈+竽,0）（&2eZ）,经检验（T，0）不符合，（喑,0）符合，

故选D。

10.南宋著名数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学

史上的一个伟大的成就。在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且数列前〃项和为

S„,9=j5.k）g2（S.+l）T，将数列｛〃,｝中的整数项组成新的数列｛c,J,则C2020的值为（）。

A、5043

B、5045

C、5046

D、5048

【答案】D

【解析】根据“杨辉三角”的性质可得数列前几项和为：S“=2°+2]+…+2"=2"（1二2"）=2"—1,

1-2

•••bn=75-log2（S„+l）-l=V5^1.

...此数列为石、M、加、V19,而、729,

其中2的整数项为4、M、强、向、V144，V169......

即2、3、7、8、12、13......

其规律为各项之间以+1、+4、+1、+4、+1、+4.....递增，

数列｛c,J是奇数项以5为公差，2为首项的等差数列，

偶数项以5为公差，3为首项的等差数列，

即02,_|=2+5（〃-1）=5〃-3,。2.=3+5（〃-1）=5〃-2,由2〃=2020得〃=1010,

c2020=5048,故选D。

11.已知过椭圆号?+y2=i的右焦点的直线/,斜率存在且与椭圆交于A、B两点，若的垂直平分线

与x轴交于点例，则点A7横坐标的取值范围为（）。

Q

A>[-|,0)

Q

B、(-1,0]

【答案】C

【解析】若真线为x轴，则垂直平分线为y轴，，xM=0：

若宜线43与x轴不平行，由已知得直线A8与x轴不垂直，设直线方程为y=Z（x-2）,

丫2:52=5

联立•一得：（1+5&2）尤2_20小+20炉_5=0，△＞（）恒成立,

y=k（x-2）

,几"\r»/\r.iii20%-20k~—5

设A。[，％）、B（%2，y）,则再+々=—77T'x\x2=.

21+541+5左2

]0/c2—2k

设N为线段AB的中点，・・・4=浅/，代入匕线方程可得以=

2k110^2

则AB的垂直平分线MN的方程为"用*-正-不）,

8k2

-89

当y=0时，x=-------r-——,,・"2>（）,/.X€

l+5k2

e+5

综上所述，xe[0,|）,故选C。

12.已知王、&是函数/（%）="一|一机・%（〃，＞1）在。+00）上的两个零点，则苞、它满足（）。

A、再•A2Vg

B、2•々<1

C、Xj-x2>1

D、x^x2>2

【答案】B

【解析】由题意可知/门=砂为、/27=加・々，故—■=*,即&=三二=6处-%，

Xl

X]x2X|e

Ink

x-x,=Ink

2T^i

设0<2</"=攵，则&>1，eX2~x'-kx—x=\nk,由<得

21-kk,lnk

x\Xy=

-k-\

二及

x}-x2（"，一,4"g（x）=lnx-^y=i（x>1）,

伏-1）y/x

&工-1

2y[x_2A/X—2x+x—1_—（1—Vx）

一40恒成立,

Xx2x-yfx2x-Vx

故g（X）在（l,+8）上单调递减，故g（X）max=g（D=。，

kk：.(lnZ)2<%12i

故g伏)<g⑴=0,BPInA:----<0,In%<—尸

4k4k

/.­%2<1,故选B。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知平面单位向量i、/互相垂直，且平面向量a=—2i+./,b=mi-3j,c=4i+mj,若(2〃+h)〃c,

则实数根=o

【答案】2

【解析】2a+b=(m-4)i—j,丁(2a+Z?)〃c,2a+b=\c即(加一4)，一/=4九，+〃认),

f—4二4九

即1,解得m=2。

[-1=mk

2

14.若函数f(x)=sinx+-yl4-x，且n=^2f(x)dx，则(x-J=-y)〃的展开式中含9的项的系数

兀yJX

为O

【答案】60

211

【解析】n=f^2f\x)dx=j32(sinxH■—y4—x)dx=^2sinxdx+^2—yl4--xdx=0+—^2yl4—xdx=6,

7UTl71

故展开式中含u的项为以•(-»・仁•/.威.(-二)3=6().,故其系数为60。

y/x

15.已知抛物线C：1=4旷，A(0,3),若抛物线C上存在点P(%，为)(与工。)，使得过点P的切线，，尸4，

设/与y轴交于点E，则A4PE的面积为。

【答案】

【解析】由了2=分可得)，=；/,y=gx,.♦.直线/的斜率％=川0。=(%，

又直线AP的斜率为电口，•.•切线UPA,.迎口=-1,又焉=4%，

而2X。

解得々=±2,>0=1,不妨设P(2,l),则直线/的方程为y-l=x-2,即y=x-l,

E(0,-l),则A4PE的面积为,x4x2=4。

2

16.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=2,"AD为等边三角形,线段8c的中点为E,

若PE=1,则此四棱锥的外接球的表面积为。

【答案】—

3

【解析】如图，设E为A。中点，G为正方形ABCD中心，

连所、AC,EFHAC=G,

OB

设四棱锥的外接球的球心为0,半径为r,

则球心。一定在过点G且垂直于底面ABCD的垂线上,

OG±EF,EG=FG=\,

；及"。是边长为2的等边三角形，二尸尸=若，

又PE=l、EF=AB=2,:.PFtPE，/•ZPEF=6Q\

又PE=BE=CE=\,E为APBC外心，

则球心。一定在过点E且垂直于侧面PBC的垂线1„

OE1PE,N0EG=3()°,/.OG=—EG=—,

33

又；43」47=亚，r=AO=Jm+OG.=

2

・。“。“，回228兀

..5球=4兀厂=4兀(三一)-=—。

三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(12分)

已知AABC的内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,ga=gc-cosB+"sinC。

(I)求角C的大小；

(2)如图，设P为AABC内一点，PA=\,PB=2,且NAP3+N4CB=兀，求AC+BC的最大值。

【解析】(1)在AABC中，A+B+C=n,"：V3a=V3c-cosB+^-sinC,

，由正弦定理一--=——=—-—得：V3sinA=5/3sinCcosB+sinB-sinC,2分

sinAsinBsinC

V3sin(B+C)=73sinCcosB4-sinS-sinC,

VSsinB-cosC+百cosBsinC=V3sinC-cos3+sin3•sinC,

即百sin3­8sC=sin3・sinC,4分

又sinBwO,sinC^O,AtanC=V3,又Cc(0,7t),AC=-；5分

3

2冗

(2)由(1)与NAPB+NACB=兀得乙4PB='，6分

3

由余弦定理得:

AB2=ft42+PB2-2P/lPBcosZAPS=1+4-2x1x2xcos—=7,8分

3

又AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosZACB

=(AC+BC)2-3AC-BC>{AC+BC)2-3(AC+8C)2=(-0+'0),10分

24

...(AC+'C)<7,AC+3c42夕(当且仅当AC=BC时取等号)，

4

AC+8C的最大值为2B。12分

18.(12分)

自中央陆续提出东部率先、西部大开发、中部崛起发展战略以来，取得了令世界瞩目的成绩，以下是

2014-2018五年东部、西部、中部地区的人均可支配收入情况。

农村按照东、西、中部地区分组的人均可支配收入(万元)

年份20142015201620172018

东部地区1.311.431.551.681.83

西部地区0.830.9111.11.18

中部地区11.101.181.281.48

(1)比较分析东、西、中部地区近五年的人均可支配收入情况；

(2)根据西部地区2014年至2018年的数据(时间变量x的值依次为1、2、3、4、5)进行线性回归分析，并

预测2019年的西部地区人均可支配收入(精确到0.001)；

(3)若两地区人均可支配收入差异大于0.35万元，就认为两地有M级差异，则根据东部和中部地区的近五年

人均可支配收人的数据，求从2014到2018五年间任取两年都是M级差异的概率。

,£(x,-x)(y,-y)_「

附：b=-^―-------；—=-----------,a=y-bx<>

fio_2〃-o

XX；-n-xZOQ-X)2

i=l/=1

【解析】(1)①东、西、中部的人均可支配收入均为增长的趋势，

②从2014到2018的五年间，东部的人均可支配收入最高，西部的人均可支配收入最低，

③从2014到2018的五年，东部增长0.52万元，中部增长0.48万元，西部增长0.35万元,

可以看出东部增长最多，西部增长最少；3分

(2)设西部地区五年的数据分别为m、为、%、M、%，可得亍=1004，1=3,

5--

,Z(七一x)(%—y),

由人=-.....=----可得6=0.089,5分

Z(x,-x)2

i=\

由y=bx^-a过(x,y)可得6=0.737,

・・・线性回归方程为y=0.089%+0.737,7分

将尤=6代入可得y=1.271；8分

(3)由题意可知，该五年中2016年和2017年东中部地区达到例级差异，

其余三年均未达到M级差异，

设事件A为从2014到2018五年间任取两年都是M级差异，

而五年中任意取两年共有C；=10种情况，事件A包含1种情况，10分

根据古典概型可得所求概率P(4)=需。12分

19.(12分)

如图①，已知在长方形A3CD中，AB=2,AD=4y[2,E、/分别为A。、BC的中点，以所为棱将

矩形A8CZ)折成如图②所示，使得二面角C-EF-B成60°,A/为他中点。

(1)证明：直线AFJ•平面及加：

(2)求二面角-厂的余弦值。

【解析】(1)：£F_LAE,EFLAE,AEu平面Z>E4,AEu平面DE4,DE^AE^E,

二EF_L平面£>E4,又。Eu平面DE4，/.EF±DM,2分

由已知得ZDEM为二面角。一所一A即二面角C-E尸-B的平面角，,NDEM=60°,

又EM=、AE,AE=DE,：.DELAE,又AEnEF=E,DM，平面AEb,

2

：AEu平面A£F，...ZM7_LAF，4分

在矩形49庄中，VZMAB=ZABF=9ff,丝=竺=血，

AMAB

：.AM4J3gMBF,ZMBA=ZAFB,NMBA+NBAF=90°,MB±AF,

V,DMu平面BOW、BAYu平面6DW,；.A尸_L平面BDW；6分

(2)作MPLE4,交BF与点、P,由于O0、MP及AE相互垂直，故以M为坐标原点，

以M4为x轴、MP为〉轴、MD为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

可得4(0,0,0)、B(V2,2,0)>0(0,0,76)>F(-V2,2,0),

由(1)知"J_平面加M,.•.平面BDW的一个法向量为而=(—2心2,0),7分

在平面班历'中，=(272,0,0),DB=(V2,2,-76),

设平面皮甲的一个法向量为3=(x,y,z),

,」而3=0,“12履=0“I-I-八

则<_,_，即<，令z=后可得〃=（0,后r/），10分

£）8〃=0[v2x+2y-V6z=0

cos<>=,2a^,=—,；.二面角M-AB—E的余弦值为无。12分

V8+4XV3+255

20.(12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点M(2,l),动点P到直线y=-l的距离为d,满足|P历『=1Poi2.。

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过轨迹C上的纵坐标为2的点。作两条直线QA、QB,分别与轨迹C交于点A、B,且点。(3,0)到直

线QA、QB的距离均为〃?(0<加42),求线段Afi中点的横坐标的取值范围。

【解析】⑴设动点尸(x,y),则|PM『=a-2)2+(y-l)2,|PO|2=%2+y2,-=及+1|,2分

由|PM|2+12斗PO|2巧，得(工一2)2+。-1)2+|,+1|2=》2+>2+6,化筒得了2=以，

故动点P的轨迹C的方程为y2=4x；4分

(2)易知直线QA、QB的斜率存在且不为0,由(1)知点。(1,2),

•••设直线Q4的方程为y=Z1(x—l)+2(左声0),

则点D到直线QA的距离&=毕±£!=m,整理得(m2_4)片_幽+病一4=0,6分

西+1

；•设直线。8的方程为y=&(x—1)+2(%2H0)，

则点D到直线QA的距离4=华+21=m,整理得(租2—4)后-8乂+加2-4=0,8分

一批+1

k、、.是方程(加之一4)公一8%+n?-4=0的两根，

Q

A=64—4(/n2—4)2=32A?Z2—4m4>0»:,k、+k?=—z，k=\>

m-42

fy=&i(%—1)+2、

设4(孙力)、B(X2,y2),由《得KJ一4)-4匕+8=0,

y=4x

△=16-46(-4出1+8)>0,；.2M=8-秋,；.必=£z2^L=3_2=4&-2,10分

k[k]k[

同理可得%=4自-2,设线段A3中点的横坐标为与，

则％=一+々=才+4=(4&-2)2+(4：-2)2

288

=2(片+片)-2(匕+.)+1=2(匕+.)2-2(匕+&)-3,

Q

设，=6+乂，则w[Y,—2),々=2*一21—3,

m-4

函数y=2f—2x—3的图像的对称轴为直线x=g,♦；；>—2,.,.9<x0<37,

•••线段A5中点的横坐标的取值范围是(9,37],12分

21.22分)

已知函数/(x)=(x—l)-lnx-ar—1,g(x)=x2-^(l-2m—x)lnx+(a-2m)x+l。

(1)当。=1时，证明：/(X)有且仅有两个零点X1、%,且存在X。，使石£([,曲)，X}G(Xo,/)；

e

(2)若函数〃(x)=f(x)+g(x)有唯一零点，求正数m的值。

【解析】(1)当。=1时，f(x)=(x—l)・lnx-x—1,定义域为(0,+8),1分

/,(x)=lnx--,易知/'(x)在(0,+8)是增函数，2分

X

又尸(1)=-1<(),/^)=1-->0.

e

・,./(冗)=0在(0,+8)上有且仅有一个解，设为与，且与£(1,e)f3分

(X,+oo)

(0,x0)而0

f\x)r(x)<o尸(x)=0r(x)>o

f{x}极小值T

x分

f()min=/(工0)=(瓦-l),lnX0—X0-l<(XQ-1)X-----%0-1=---------X()<0,4

为为

1113

2222

又・.・/(—)=-2(--1)--r-l=-4+l>0,f(e)=2(e-l)-e-1=e-3>0,5分

e~eee

，/(X)有且只有两个零点修、电，且石£(4，x),xG(x,e2)；

0206分

e

(2)由已知得〃(幻=工2-2m-\x\x-2mx,

其定义域为(0,+00),则h'(x)=2厂-2…2〃?

7分

X

令//(x)=0,HP2x2-2inx-2m=0,

12

..八八.m-yjm+4tn八人,m+ylm-^-4mztrr,

・〃?>()、x>0,・・当=------------<0(舍去)、x4=------------(取),8分

当％£(0,工4)时，/(X)v0，力(X)在(0,14)上单调递减，

当工£(光4，+°°)时，h\x)>0,h(x)在(如+⑹上单调递增，

・・・久幻的最小值为〃*4)，乂函数以幻有唯一零点，・・・力34)=0，9分

由A(x4)=0>"(匕)=0得x：-2/nlnx4-2m-x4=0、-m-x4—m=0,

可得2mIn%+m-x4-m=0,*.*m>0,21nx4+x4-1=0,10分

设函数y=21nx+x-l,乂当x>0时该函数是增函数，，y=0至多有•解，

・・,当x=l时，y=0,11分

.••方程21nx4+4-1=0的解为乙=1，即<+可+4