必修培优(四)函数及函数的零点专题练习

函数的零点练习一．单选题（每题3分，共48分）1．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+a有三个零点x1，x2，x3，则x12+x22+x32=（）A．13B．5C．a2D．2a2．已知函数f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]．定义：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn-1（x）），n=2，3，4，…满足fn（x）=x的点x∈[0，1]称为f（x）的n阶不动点．则f（x）的n阶不动点的个数是（）A．2n个B．2n2个C．2（2n-1）个D．2n个3．若x0是方程lgx+x=5的解，则x0属于区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）4．一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，那么，此人（）A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米5．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为G（x），当年产量不足80千克时，G（x）=x2+10x（万元）．当年产量不小于80千件时，G（x）=51x+-1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（）A．900万元B．950万元C．1000万元D．1150万元6．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A．（3，4）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）7．若关于x的方程asinx•cosx+sin2x-3=0在恒有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8．函数f（x）=x3+3x-1在以下哪个区间一定有零点（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）9．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A．7～9kmB．9～11kmC．5～7kmD．3～5km10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）A．45.606B．45.6C．45.56D．45.5111．f（x）=x3-3x-3有零点的区间是（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）12．已知函数若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]13．如果函数f（x）=-（a＞0）没有零点，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（0，2）14．函数y=1+的零点是（）A．（-1，0）B．1C．-1D．015．已知方程x2-2x-3=0在区间[0，m]上只有一个根3，则m的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（0，3）C．（-∞，-1]D．[-1，3）16．函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，e）二．填空题（共52分）17．（3分）若不等式x2-bx+1＞0的解为x＜x1或x＞x2，且x1＜1，x2＞1，则b的取值范围是______．18．（3分）令fn（x）=-xn-2x+1（n≥2，n∈N），x∈（，1）则下列命题正确的有______．①fn（）＜0；②fn（x）在区间（，1）一定存在唯一零点；③若xn是fn（x）在（，1）上的零点，则数列{xn}（n≥2，n∈N）单调递减；④若xn是fn（x）在（，1）上的零点，则数列{xn}（n≥2，n∈N）单调递增；⑤以上③④两种情况都有可能．19．（5分）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额-800）×20%×（1-30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1-20%）×20%×（1-30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为______元．20、（5分）某电信公司推出手机两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差______元．21、的零点的个数为______．22．（4分）函数f（x）=kx+2在区间[-2，2]上存在零点，则实数k的取值范围______．23．（4分）方程lg2x+x-2=0的解在（k-1，k）内，则整数k的值为______．24．（4分）有甲、乙两城，甲城位于一直线河岸，乙城离岸40km，乙城到河岸的垂足B与甲城相距50km，两城要在此河边合舍一个水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和我700元，则水厂甲城的距离为______千米，才能使水管费用最省？25．（4分）已知函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）的零点有且只有一个，则a=______．26．（6分）对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[-0.25]=-1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[tt]=n同时成立，则正整数n的最大值为______．27．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），并且当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，则函数y=f（x）-log3|x|的零点个数是______．28．将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个．若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个．要使利润最大，商品的销售单价为______．29．（5分）甲地与乙地相距250公里．某天小袁从上午7：50由甲地出发开车前往乙地办事．在上午9：00，10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有______公里．30．（4分）函数f（x）=x+2x的零点所在区间为（n，n+1），n∈z，则n=______．参考答案评卷人得分一．单选题（共__小题）1．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+a有三个零点x1，x2，x3，则x12+x22+x32=（）A．13B．5C．a2D．2a答案：B解析：解：如右图为函数f（x）=的图象，函数g（x）=f（x）+a有三个零点可转化为方程f（x）=-a有三个不同的根，则由图象可知，a=-1，则x1，x2，x3分别为0，1，2；故x12+x22+x32=5，故选B．2．已知函数f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]．定义：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn-1（x）），n=2，3，4，…满足fn（x）=x的点x∈[0，1]称为f（x）的n阶不动点．则f（x）的n阶不动点的个数是（）A．2n个B．2n2个C．2（2n-1）个D．2n个答案：D解析：解：函数f（x）=1-|2x-1|=当x∈[0，]时，f1（x）=2x=x，解得x=0，当x∈（，1]时，f1（x）=2-2x=x，解得x=，∴f的1阶周期点的个数为2当x∈[0，]时，f1（x）=2x，f2（x）=4x=x，解得x=0当x∈（，]时，f1（x）=2x，f2（x）=2-4x=x，解得x=，当x∈（，]时，f1（x）=2-2x，f2（x）=4x-2=x，解得x=当x∈（，1]时，f1（x）=2-2x，f2（x）=4-4x=x，解得x=，∴f的2阶周期点的个数为22，依此类推：∴f的n阶周期点的个数为2n3．若x0是方程lgx+x=5的解，则x0属于区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）答案：D解析：解：令f（x）=lgx+x-5，由于f（4）=lg4-1＜0，f（5）=lg5＞0，即f（4）•f（5）＜0，且f（x）是连续函数，在（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在（4，5）上有唯一零点．若x0是方程lgx+x=5的解，则x0是函数f（x）的零点，故x0∈（4，5），故选D．4．一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，那么，此人（）A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米答案：D解析：解：∵汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒

∴a==1M/S由此判断为匀加速运动再设人于x秒追上汽车，有6x-25=

①∵x无解，因此不能追上汽车①为一元二次方程，求出最近距离为7米故选D5．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为G（x），当年产量不足80千克时，G（x）=x2+10x（万元）．当年产量不小于80千件时，G（x）=51x+-1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（）A．900万元B．950万元C．1000万元D．1150万元答案：C解析：解：由题意，每千件商品售价为50万元；设该厂生产了x千件商品并全部售完，则所获得的利润为y万元；则当x＜80时，y=50x-（x2+10x）-250=-x2+40x-250，则当x=60时，ymax=950万元；当x≥80时，y=50x-（51x+-1450）-250=-（x+）+1200≤1000；（当且仅当x=100时，等号成立）；故该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是1000万元；故选C．6．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A．（3，4）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）答案：B解析：解：设f（x）=lnx+x-4，由于x0是方程lnx+x=4的解，则x0是函数f（x）的零点．再由f（2）=ln2-2＜0，f（3）=ln3-1＞0，f（2）f（3）＜0，可得x0属于区间（2，3），故选B．7．若关于x的方程asinx•cosx+sin2x-3=0在恒有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．答案：A解析：解：关于x的方程asinx•cosx+sin2x-3=0，化为a==2tanx+，因为，所以a≥2=2，当且仅当tanx=时a取得最小值，当x=时，a=3，x=时，a=5，又35，所以a∈，此时方程在时方程恒有解．故选A．8．（2015秋•包头校级期末）函数f（x）=x3+3x-1在以下哪个区间一定有零点（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）答案：B解析：解：∵f（x）=x3+3x-1∴f（-1）f（0）=（-1-3-1）（-1）＞0，排除A．f（1）f（2）=（1+3-1）（8+6-1）＞0，排除C．f（0）f（1）=（-1）（1+3-1）＜0，∴函数f（x）在区间（0，1）一定有零点．故选：B．9．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A．7～9kmB．9～11kmC．5～7kmD．3～5km答案：C解析：解：设陈先生的行程为xkm根据题意可得，陈先生要付的车费为y=6+（x-2）×1.8+11.5×1.8=17∴x=6.19故选C．10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）A．45.606B．45.6C．45.56D．45.51答案：B解析：解析：依题意，可设甲销售x辆，则乙销售（15-x）辆，∴总利润S=5.06x-0.15x2+2（15-x）=-0.15x2+3.06x+30（x≥0）．∴当x=10.2时，S取最大值又x必须是整数，故x=10，此时Smax=45.6（万元）．故选B．11．f（x）=x3-3x-3有零点的区间是（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）答案：D解析：解：由题意，知当x=-1，0，1，2，3时，y的值是-1，-3，-5，-1，15由零点判定定理知，f（x）=x3-3x-3有零点的区间是（2，3）故选D12．已知函数若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]答案：B解析：解：函数f（x）的图象如图：使得函数g（x）=f（x）-m有3个零点⇔f（x）-m=0有3个解，即函数y=f（x）与函数y=m有3个交点，故有0＜m＜1，故选B．13．如果函数f（x）=-（a＞0）没有零点，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（0，2）答案：D解析：解：若函数f（x）=-（a＞0）没有零点，则方程=（a＞0）没有实数根，即方程a-x2=2（a＞0）没有实数根，即方程x2=a-2（a＞0）没有实数根，故a-2＜0且a＞0，故a的取值范围为（0，2），故选：D14．函数y=1+的零点是（）A．（-1，0）B．1C．-1D．0答案：C解析：解：令函数y=1+=0，可得x=-1，故选：C．15．已知方程x2-2x-3=0在区间[0，m]上只有一个根3，则m的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（0，3）C．（-∞，-1]D．[-1，3）答案：A解析：解：由x2-2x-3=0，解得x=3，或-1．∵方程x2-2x-3=0在区间[0，m]上只有一个根3，因此3∈[0，m]．∴m≥3．∴m的取值范围是[3，+∞）．故选A．16．函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，e）答案：B解析：解：令f（x）=x+lnx=0，可得lnx=-x，再令g（x）=lnx，h（x）=-x，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（0，1），从而函数f（x）的零点在（0，1），故选B．评卷人得分二．填空题（共__小题）17．若不等式x2-bx+1＞0的解为x＜x1或x＞x2，且x1＜1，x2＞1，则b的取值范围是______．答案：（2，+∞）解析：解：不等式x2-bx+1＞0的解为x＜x1或x＞x2，且x1＜1，x2＞1，令f（x）=x2-bx+1，则有f（1）=2-b＜0，b＞2，故答案为（2，+∞）．18．令fn（x）=-xn-2x+1（n≥2，n∈N），x∈（，1）则下列命题正确的有______．①fn（）＜0；②fn（x）在区间（，1）一定存在唯一零点；③若xn是fn（x）在（，1）上的零点，则数列{xn}（n≥2，n∈N）单调递减；④若xn是fn（x）在（，1）上的零点，则数列{xn}（n≥2，n∈N）单调递增；⑤以上③④两种情况都有可能．答案：②④解析：解：由fn（x）=-xn-2x+1（n≥2，n∈N），x∈（，1），可得fn（）=--+1=-＞0，故①不正确．根据fn（）=--+1≥--+1＞0，fn（1）=-1-2+1=-2＜0，可得fn（）fn（1）＜0，故fn（x）在区间（，1）一定存在唯一零点，故②正确．③若xn是fn（x）在（，1）上的零点，则fn（xn）=0，即--2xn+1=0，即+2xn-1=0，同取导数可得n+2=0，即=，∴

是增函数，故③不正确且④正确，故答案为：②④．19．稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额-800）×20%×（1-30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1-20%）×20%×（1-30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为______元．答案：2800解析：解：由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x元，则280=（x-800）×20%×（1-30%）所以x=2800，故答案为：2800．20、某电信公司推出手机两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差______元．答案：10解析：解：如题图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费差为线段BD的长度，根据相似三角形的性质可得：，∴BD=10．故答案为：10元．21、的零点的个数为______．答案：3解析：解：的零点的个数，即函数y=x2

的图象和y=|x-|=

的图象的交点的个数，如图所示：显然，函数y=x2

的图象和射线y=-x+（x＜）有2个交点．再由可得x2-x+=0．由于判别式△=1-1=0，故y=x2

y=x-（x≥）只有一个交点．综上可得，函数y=x2

的图象和y=|x-|的图象的交点的个为3，故答案为：3．22．函数f（x）=kx+2在区间[-2，2]上存在零点，则实数k的取值范围______．答案：k≥1或k≤-1解析：解：由题意知k≠0，∴f（x）是单调函数，又在闭区间[-2，2]上存在零点，∴f（-2）f（2）≤0，即（-2k+2）（2k+2）≤0，解得k≤-1或k≥1．故答案为：k≥1或k≤-1．23．方程lg2x+x-2=0的解在（k-1，k）内，则整数k的值为______．答案：2解析：解：∵lg2x+x-2=0的解在（k-1，k）内，∴函数f（x）=lg2x+x-2在（k-1，k）内有零点．又函数f（x）在（k-1，k）内单调递增，又f（1）=lg2-1＜0，f（2）=lg4＞0，故f（1）f（2）＜0，故函数在（1，2）内有唯一的零点，∴k=2，故答案为2．24．有甲、乙两城，甲城位于一直线河岸，乙城离岸40km，乙城到河岸的垂足B与甲城相距50km，两城要在此河边合舍一个水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和我700元，则水厂甲城的距离为______千米，才能使水管费用最省？答案：50-解析：解：设甲在A处，乙在D处，供水站C，总的水管费用为y元，CB=x，BD=40，AC=50-x，∴DC=依题意有：y=500（50-x）+700（0＜x＜50）得y′=-500+，令y′=0，解得x=y在（0，）单调递减，在（，50）单调递增上，函数在x=（km）处取得最小值，此时AC=50-（km）故答案为：50-．25．已知函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）的零点有且只有一个，则a=______．答案：解析：解：函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）是一个偶函数，又函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）的零点有且只有一个所以函数的零点一定是x=0，（若不是零，则至少有两个，此可由偶函数的对称性得）故有f（0）=a2-3=0，解得a=±当a=-时，验证知函数有三个零点，不合题意舍∴a=故答案为26．对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[-0.25]=-1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[tt]=n同时成立，则正整数n的最大值为______．答案：4解析：解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[