2024年新高中考试数学解答题模拟训练-立体几何（原卷版）

【基础训练】专题04立体几何1．（2023·全国·高三专题练习）如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，(1)证明：平面平面；(2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥E-ABCD中，，，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．(1)求证：平面ABE；(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．3．（2023春·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足.(1)证明：直线平面；(2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.4．（2023春·广东清远·高二阳山县南阳中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，，且，底面ABCD是边长为2的菱形，．(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接(1)证明：；(2)若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值．6．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点.(1)证明：平面平面；(2)若，求平面和平面夹角的余弦值.7．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，.是棱PD上的点，且四面体的体积为(1)证明：；(2)若过点C，M的平面α与BD平行，且交PA于点Q，求平面与平面夹角的余弦值.8．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.(1)求证：平面平面；(2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.9．（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．(1)证明：平面；(2)若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．10．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.(1)求证：；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.11．（2023·湖南岳阳·湖南省平江县第一中学校考模拟预测）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中平面EDC），四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，且平面平面．(1)设为棱的中点，证明：四点共面；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值．12．（2024秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）如图，三棱柱中，侧面为矩形，且为的中点，．(1)证明：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．13．（2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，，O为AC的中点．(1)证明：⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角为，求的值．14．（2023·天津·高三专题练习）已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB的中点.(1)证明：；(2)求二面角的大小；(3)求直线CA与平面所成角的正弦值.15．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，，，，，E是边AD的中点，异面直线PA与CD所成角为.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P—CD—A的大小为，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.16．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.(1)若点是棱上的动点请判断下列条件：①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论；(2)若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.17．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱台中，.(1)求证：平面平面；(2)若四面体的体积为2，求二面角的余弦值.18．（2023春·广东·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为等边三角形．(1)求证：；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．19．（2023春·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知矩形中，，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.(1)证明：；(2)若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20．（2023春·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，E为棱AB的中点.(1)证明：平面平面ABCD；(2)若，，求二面角的正弦值.21．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）如图，四边形是正方形，平面，，，，F为的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小．22．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，是正方形，平面，，点，是，的中点．(1)若要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；(2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．23．（2023春·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考期中）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点.(1)证明：平面平面；(2)若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.24．（2023·安徽蚌埠·统考二模）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为的中点，点在上，.(1)证明：平面；(2)若，且与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.25．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且.(1)求证：平面；(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.26．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的圆柱中，AB是圆O的直径，，为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且，E，F分别为，的中点．(1)证明：平面ABCD；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．27．（2023·北京·模拟预测）如图①，在梯形中，，，，为的中点，以为折痕把折起，连接，，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题．(1)证明：；(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角的余弦值．①四棱锥的体积为2；②直线与所成角的余弦值为．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．28．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）在四棱锥中，平面平面，，为的中点.(1)求证：；(2)若，，，，点在棱上，直线与平面所成角为，求点到平面的距离.29．（2023春·江苏徐州·高二徐州市第七中学校考阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，底面ABCD，，，，E为PA的中点．(1)证明：平面平面BCE；(2)若二面角P-BC-E的余弦值为，求三棱锥P-BCE的体积．30．（2023·辽宁·校联考二模）如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，平面ABCD为等腰梯形，，平面PAD⊥平面PAB，.(1)求证：△PAD为直角三角形；(2)若，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值.31．（2023秋·四川眉山·高二统考期末）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.(1)求证：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.32．（2023秋·广东江门·高三江门市棠下中学校联考期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，．(1)求证：；(2)在线段PD上是否存在一点M，使二面角的余弦值为？若存在，求三棱锥体积；若不存在，请说明理由．33．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，侧面底面是边长为2的正三角形，分别是的中点，记平面与平面的交线.(1)证明：直线平面.(2)若在直线上且为锐角，当时，求二面角的余弦值.34．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面．(1)证明：平面平面；(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值．35．（2023春·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角.(1)求证：；(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值.36．（2023秋·江苏盐城·高三校考期末）如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，.(1)证明：平面；(2)在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.37．（2023春·江苏徐州·高二校考期末）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，.(1)证明：平面平面；(2)若二面角的余弦值为，求二面角的正弦值.38．（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）如图，四棱锥中，底面为矩形且垂直于侧面，为的中点，，．(1)证明：平面；(2)侧棱上是否存