考场仿真卷02-2021年高考数学模拟考场仿真演练卷（山东专用）（解析版）

绝密★启用前

2021年高考数学模拟考场仿真演练卷（山东专用）

第二模拟

本试卷共23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.（2021•江苏常州市•高三一模）大数学家欧拉发现了一个公式：ei'=cosx+isinx，i是虚数单位，e为

2022

兀..兀

自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式,cos—+zsin—）（注：底数是

44

正实数的实数指数累的运算律适用于复数指数累的运算）

A.1B.-1C.zD.-i

【答案】D

―2022

2022—i-I0-I-U1.

【解析】因为］cos—+zsin—e2=cos

44722

(3兀

所以cos—+zsin—+5044+zsin+5=cos+zsin—i故选：D.

44TH

2.（2021•黑龙江哈尔滨市・哈尔滨三中高三模拟）设全集为实数集R,集合P=+,集

合。={1,2,3,4},则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{4}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

【答案】B

【解析】图中的阴影部分表示集合Q中不满足集合尸的元素，所表示的集合为{3,4},故选B.

3.（2021•山东德州市•高三一模）已知空间中两条不同的直线机，“，一个平面a,则“直线”与平面

a所成角相等”是“直线，"，〃平行”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】直线加，〃与平面a所成角相等，推不出直线机，〃平行，例如平面内任意两直线与平面所成角都

为0,但是直线可以相交：

当直线加，〃平行时，直线与平面所成角相等成立，

故“直线〃与平面a所成角相等''是"直线"，〃平行'’的必要不充分条件.故选：B

4.（2021・横峰中学高三模拟）2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭

成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，

“绕、落、回''三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础.已知在不考虑空气阻

力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=%」n”计算火箭的最大速度u（m/s）,其中%（m/s）是喷流

m

相对速度，"（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（Zg）是推进剂与火箭质量的总和，竺称为“总质比”.若

m

A型火箭的喷流相对速度为1000m/s,当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（Ige*（）.434,

lg2«0.301）（）

A.4890m/sB.5790m/sC.6219m/sD.6825m/s

【答案】C

【解析】V=v0In—=1000XIn500=1000X=1000x«6219/,故选：c

mIgeIgems

5.（2021•黑龙江鹤岗市•鹤岗一中高三模拟））已知某函数的部分图象如图所示，则该图象所对应的函数可

能是（）

c小)=含D./(力=，-1)」中

【答案】A

【解析】由图象知，函数/(X)关于原点对称，即/(x)为奇函数；当xw(O,4)时，函数有3个零点;

在)，轴右侧一点，函数值八为)<0,且在.y轴右侧一点，函数/1(%)递减.

blcI十皿、cos(7i-2x)cos2x£,(x2xsin2x+cos2x、口(八万、一

选项B中，函数〃x)=------L=-------,/(%)=--------；------,当Oq时，

XXX\J

/,(x)>0,故/(x)在上单调递增，与图象不符，不正确;

选项C中，函数/(%)=片亨中，当时，2尤€(0,乃)，则sin2x>0,而凶>0乂乂>1,即

e11-1

加一1〉0,故〃x)>(),与图象不符，不正确；

选项D中，/(x)=，一1"中|,满足〃—x)=(-x)2-l•间一目=卜2一1“巾|=〃力，即/(力是

偶函数，故与图象不符，不正确；

故由排除法只能说选A,而选项A中，函数/(x)=sin2"n|4满足

f(-x)=sin(-2x)-In|-x|=-sin2x-In|x|=-/(x),即/(x)是奇函数；当xe(0,4)时,

2XG(O,8)C(O,3^-),故sin2x=0有两根：2x=%,2万，即x=g乃，且由国=0有一根：x=l,符

合题意中xe(O,4)有3个零点；存在正数1,使得当工«0,1)时，/(x)<0.故以上性质均与图象符合，

可能是图象对应的函数.故选：A.

6.(2020•浙江温州市•浙鳌高级中学高三模拟)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为尸，过尸的直线

与C交于A,B两点,若|A耳+|防|=3|44|所|,则，=()

32

A.2B.3C.—D.一

23

【答案】D

【解析】因为A8是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点尸的弦，

211\AF\+\BF\2

所以一=I“M+IclI=IcZ=3,所以P=一•故选：D.

p\AF\\BF\|AF|-|SF|3

7.(2021.天津市第八中学高三模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之

每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄

托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，己知图二中正六

边形ABCDEF的边长为4，圆。的圆心为正六边形的中心，半径为2,若点P在正六边形的边上运动，MN

为圆。的直径，则两.两的取值范围是()

图二

A.[6,12]B.[6,16]C.[8,12]D.[8,16]

【答案】C

【解析】如下图所示,由正六边形的几何性质可知，口。48、aOBC,口08、nODE.DOEF,DOE4

均为边长为4的等边三角形，

当点P位于正六边形ABCDEF的顶点时，|丽|取最大值4,

当点P为正六边形各边的中点时，忸必取最小值，即忸q而“=45m?=2百,

所以，|所卜[2后4]

所以，/W-7w=(PO+OM)-(PO+^V)=(PO+OM)(7iO-OA7)=PO2-4e[8,12].

故答案为：[8,12].

8.（2021.黑龙江哈尔滨市.哈尔滨三中高三模拟）在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装

了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球.方法一：在20箱中各任意摸出

一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球.将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为P1

和p2，则（）

A.Pi=p2B.乃<22C.0>P2D.以上三种情况都有可能

【答案】B

\20

每箱中的黑球被选中的概率为2,所以至少摸出一个黑球的概率p|=1-1；

【解析】方法一:

7

1<4、1°

方法二：每箱中的黑球被选中的概率为：，所以至少摸出一个黑球的概率02=1-三4

57

10201010

41481

<0，则Pl<，2・故选；B.

8一〃2=Too

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得3分。

9.（2021•吕叔湘中学高三模拟）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128,则

()

A.二项式系数和为64B.各项系数和为64

C.常数项为-135D.常数项为135

【答案】ABD

【解析】在3%-十)的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128,

令x=l,得各项系数和为2"，二项式系数和为2"，则2x2"=128,得〃=6,即二项式系数和为64,各

项系数和也为64,故A、B正确;

3x-9］展开式的通项为几।=C・(3X)6M.1=c〉(-1)*36-*号,

飞7

令6—|々=0,得A=4,因此，展开式中的常数项为7；=C：•(—if02=135.

故D正确.故选：ABD.

10.(2021.铅山县第一中学高三模拟)将函数〃x)=sinx的图象向左平移F个单位长度，再将所得图象上

6

所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的有()

A.函数g(x)的最小正周期为2万

47r27r

B.函数g(x)的单调递增区间为4k7T--,4k7r+—(ZeZ)

2乃

C.直线x是函数g(x)图象的一条对称轴

(24

D.函数g(X)图象的一个对称中心为点y,0

7

【答案】BC

【解析】将函数〃x)=sinx的图象向左平移6个单位长度，可得到函数y=sin(x+?)的图象,

再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍,可得到函数g(x)的图象.

T-2n_A

对于A选项，函数g@)的最小正周期为一，一，A选项错误;

2

对于B选项，由2Z万《—I—«2&万■)—(k&Z))解得4&万----4x44Z7H----(AeZ),

226233

47r27r

所以，函数g(x)的单调递增区间为^k7i--Ak7i+—(丘Z),B选项正确;

,人.(2乃、.「12万乃、,兀、

对于CD选项,♦贝丁尸％」行+7尸n「=l=g(x)皿,

所以，直线x=?-是函数g(x)图象的一条对称轴，C选项正确，

(2TT、

点一1,0不是函数g(x)图象的一个对称中心，D选项错误.故选：BC.

I3/

11.(2019•山东日照市一模)已知a>0,b>Q,EL2a+b=ab,贝U()

A.ab>8B.a+h<3+2>/2

C.2">4D.log2(47-l)-log2(/>-2)<^-

【答案】ACD

【解析】对于A,2a+b=ab>2y/2ab>则而28,当且仅当。=2,〃=4时1等号成立.

对于B,2a+Z?=aZ?变形得?+，=1,所以。+6=(4+。)(/+，]=¥+2+1+223+2&,当且仅当

ba\ba)ba

r\t

————>即/?=J5Q=2+时,等号成立，故B错误.

ba

对于C,因为3+2=l,所以0<2<l,即力>2,则2">4.

bab

对于D,由2a+Z?=ab可得(a-l)(0-2)=2,Iog2(a-l)+log2(匕-2)=log2[(a-l)(Z?-2)]=l,

__|2

log2(a-l)-log2(^-2)<log式.一"隈0_2)=《，当且仅当。一1=人一2,即”=血+1，

人=0+2时等号成立.故选：ACD.

12.(2021•浙江温州市•浙鳌高级中学高三模拟)如图，已知直三棱柱ABC-AqG的所有棱长均为3,D,

E，F，G分别在棱A4,AG，AB，AC上，且=”是BC的中点，P是A”

的中点，则()

A.DE〃平面PFG

9

B.若M，N分别是平面4AB4和％ACG内的动点，则△肱VP周长的最小值为了

C.若BF=LAB,过p,F，G三点的平面截三棱柱所得截面的面积为之叵

34

D.过点A且与直线A4和所成的角都为45。的直线有2条

【答案】BCD

【解析】选项A.因为AD=AE=3F=CG,所以DE//FG，连接EE，DG，可得EF，0G相交于

点P,则在平面PPG内，故A错误.

选项B,平面4ABg和A.ACQ所成的锐二面角为60。，点P到平面和A.ACQ的距离均为上叵,

8

分别作点P关于平面MBB,和AACG的对称点.易证当M，N分别取直线M、N1与平面

9

4AB耳和AACG的交点时，△"?上的周长最短，且这个周长的最小值为一，故8正确.

4

选项C,由A选项可知，D，E在过P,F,G三点的平面中，截面面积为豆亘，故C正确.

4

选项。，易知A4，BC,所以过点A且与直线A4所成的角都为45。的直线构成以A为顶点，以AR为

轴的圆锥，同理和BC所成的角都为45。的直线构成以A为顶点，以6'。'为轴的圆锥，所以两个圆锥的公

共母线即求，故。正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（2021•苏州市第三中学校高三模拟）已知等差数列｛为｝的前几项和为S”，若2。7=%+4,则

【答案】36

【解析】因为%+%=2%，所以2%-%=%=4，因此，＜=9（、+旬）=9%=36.

故答案为：36.

14.（2021•浙江宁波市•镇海中学高三模拟）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了

弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积=1（弦x矢+矢2）.公式中“弦”指圆弧所

2

对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离.如图，弧田是由圆弧AB和其所对弦围成的图形，若弧田

的弧A3长为弓，弧所在的圆的半径为4,则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积

之差为.

【答案】8用2一一

【解析】设圆弧AB所对圆心角的弧度为a，由题可知ax4=§,解得a=3-.

故扇形A08的面积为Lx,x4=L;r,三角形A08的面积为工xsin型X4?=4石，故弧田实际的面

23323

积为四一46.

3

作分别交AB，AB于点D，C,则A8=4百，OD=2,

所以利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积为:x（4j^x2+22）=4j^+2,

则所求差值为（4\n+2）—=8G+2—.

故答案为：8\/3+2-------.

3

c

15.(2020•江苏苏州市•高三一模)已知定义在R上的函数“X),其导函数为了'(%),满足了'(x)>2,

/(2)=4,则不等式步'(无一1)>2/-2%的解集为.

【答案】(F,0)U(3,+»)

【解析】构造函数g(x)=/(x)-2x,贝Ug'(x)=r(x)—2>0,即函数g(x)在R上为增函数，且

g(2)=〃2)-2x2=0.

①当x<0时，由—2x可得/(x-l)<2(x-l),即/(十一1)一2(》—1)<0,

即g(x—l)<0=g(2),可得了一1<2,解得尤<3,此时x<0；

②当x>0时，由？(x-l)>2f—2x可得/(x-l)>2(x—1),即/"(工-1)一2(戈-1)>0.

即g(x—l)>0=g(2),可得％—1>2,解得x>3,止匕时光>3.

综上所述，不等式4•(工-1)>2》2—2》的解集为(-20)1}(3,+8).

故答案为：(F,0)U(3,M).

丫2v2

16.(2021•南京市第十三中学高三期末)已知G，B分别是双曲线C：4-方=1(a>0乃>0)的左、

右焦点，P为右支上任意一点，若I~7的最大值为2,则双曲线。离心率的取值范围是______.

2

\PF2[+4a

【答案】(1,3]

【解析】根据双曲线的定义有|尸耳|一忸用=2处即归国=归6|+2a.

附『_«+2a)2_F+4m+4a2_4a

令£=|尸闾，则归段2+4/+4/r+4«2+/+4〃一，

当且仅当，=幼时，]p；2142取得最大值2,即2aNc—a,所以双曲线C离心率的取值范围是（1,3].

故答案为：（1,3].

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

（2021•山东德州市.高三期末）在①数列物,J满足％=2仇+1,打=3,②数列也｝的前n项和7；满足

T„=2n+'-n-2,③数列｛々+1｝是等比数列，仇=7,d=63这三个条件中任选一个补充在下面的问题

中，并加以解答.

问题：已知数列｛4｝的首项为2,,all+｛-an=bn,求数列｛q｝的前”项和S”.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解析】选①

由%=电+1，可得%+1=2(%+1),

所以数列｛2+1｝是以2为公比的等比数列,

所以2+1=2-2"T=2",即d=2"-1.

即4用一

所以当2时，an=(-an_K)+(a„_1-an_2)H----4)+4

?-9"

=2"-'+2"-2+---+22+2-(n-1)+2=-^-+3-n=2n-n+1.

当〃=1时，q=2满足上式，所以a,,=2"—〃+l.

故S=3.X=2.+I_曰一2.

“1-222

选②

因为7；=2"i-〃一2,

当〃=1时,4=7J=1,

当〃N2时，2=7；—7；1=（2用一〃一2）—（2”一”-1）=2"-1,

又〃=1满足2=2"-1,所以“=2”—1,

即an+\-=2'-1,

1—

所以当〃22时，an=(4,-a”T)+(a,i—。，7)----^(4oj+n.

2-2”

2,,-|+2fl-2+---+22+2-(z?-l)+2=-------+3-n=2"-n+\

=1-2

当〃=1时，q=2满足上式，所以勺=2"—〃+1.

故s=g-Z=2向一心一2.

"1-222

选③

b,+1门

4+1=8,仇+1=64,则亡^=8,

所以等比数列｛2+1｝的公比为2,.

所以2+1=8-2"-3=2",则么=2"-1,

即%一。"=2"—1，

所以当〃上2时，an=(aH—an_t)+(tzn_,—an_2)H---卜(%—4)+4

2-7"

nn22

=2-'+2-+---+2+2-(n-1)+2=-^-+3-n=2"-n+\.

当〃=1时，q=2满足上式，所以a“=2"-〃+l.

2。-2〃)+,〃2_〃

故S---------------=z--------z

n1-222

18.（12分）

（2021・东台市创新学校高三月考）如图，在梯形A8GD中，AB//CD,AD=DC=CB,NABC=60°,

四边形AC即是矩形.

E

（1）求证：ACLEB-.

（2）若CE=BC,且C£J_BC,求EB与平面EBO所成角的正弦值.

【解析】（1）在等腰梯形ABC。中，AO=OC，.•.zmc=ZDC4,又ABHCD、即NOC4ZCAB,所

以Z/MC=NC4B,且NZMB=ZABC=60°,

ZCAB=30°,.-.ZBCA=90°,即AC1BC.

乂•.•四边形ACE户是矩形，

又ECnBC=C,，AC_L平面ECB,又EBu平面ECB,.•.ACJ.E3.

（2）由条件可知C4,C8,CE两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，

设CE==2,则8(0,2,0),0(g,-1,0),FQ瓜0,2),£(0,0,2),

.,.而=(百,一3,0)，BF=(243,-2,2).

设平面FBZ）的法向量〃=（尤,y,z），

n-BD=0y[3x-3y=0

则有，

n-BF-02y/3x-2y+2z=Q

令y=1,得x—乖)，z=—2>

二平面EB。的个法向量为3=(G/,-2),设直线£8与平面所成角为。

又丽=(0,2,-2),/.sin0=|cos(£B,n)|=,

11\EB\\n\4

3

与平面EBD所成角的正弦值为一.

4

19.(12分)

(2021・麻城市第二中学高三月考)2021年，“十四五”开局全面建设社会主义现代化国家新征程由此开启，

这一年，中国共产党将迎来建党100周年.某企业开展“学党史，颂党恩，跟党走”的知识问答活动，该企业

收集了参与此次知识问答活动的员工得分情况，得到如下频率分布表：

得分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频率0.040.10ab0.200.12

其中样本的平均数是73.6.(假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替)

(1)求。，b的值；

(2)根据此次知识问答活动的得分，评出四个等级，并根据等级给予如下的奖励：

得分(0,60)[60,70)[70,80)[80,100)

评定等级不合格合格良好优秀

抽奖次数0124

每次抽奖的中奖率均为g，每次中奖的奖金都为100元，求参与此次知识问答活动的某员工所获奖金X的

数学期望.

【解析】(1)因为样本的平均数是73.6,

所以45x0.04+55x0.10+65a+75b+85x0.2()+95x0.12=73.6

即65a+75b=37.9,①

乂a+b=0.54,②

由①②解得。=0.26，人=0.28.

(2)当该员工的评定等级为优秀时，奖金的数学期望为2x4x100=200,

2

当该员工的评定等级为良好时，奖金的数学期望为,X2x100=100

2

当该员工的评定等级为合格时，奖金的数学期望为2x1x100=50,

2

当该员工的评定等级为不合格时，奖金的数学期望为Lx0xl00=0,

2

E(X)=0x0.14+50x0.26+100x0.28+200x0.32=105

故参与此次知识问答活动的某员工所获奖金X的数学期望为105元.

20.(12分)

(2021.辉县市第一高级中学高三月考)如图，正三角形A8C的边长为4,D，E，尸分别在边AB，BC

和C4上，且。为AB的中点.

DB

(1)若OFJ.AC,DE//AC,求EF；

(2)若C,F，D，E四点共圆，求四边形CEDE的面积.

【解析】(1)因为OELAC,所以4b=1，CF=3.

因为OE〃4C，所以ZkEBD为等边三角形，则3E=CE=2,

利用余弦定理可知，EF2=CE2+CF2-2CECFcos60°=71即=

(2)因为C,F，D，E四点共圆，所以犷=120。.

BZ)sin60。_也

设ZBOE=<9(0<8<6()°),在口放花中，由正弦定理得。必

-sin(120°-6)-sin(60°+e)

在口的中，々ZM=60。-夕，由正弦定理得。〜湍篝西'

1/八、V3sin（60°-6＞）

则S.ADF=-DFADsin（60°-0]=——-----J

*2l）sin（60。+。）

LL/、G—cos^+-sin^

百sin。Gsin（60。-。）—（22J

所以《W+5△ADF

sin（60。+。）+sin（60。+。）一飞n1.n

\'—cos（9+-sin（9

22

乂四边形CFDE的面积为&A8c-(5AADF+SMDE)，所以四边形CFDE的面积为40-百=36.

21.（12分）

(2021.和平区.天津一中高三月考)椭圆。：=+3=1(4>6>0)的离心率e=9,a+0=3.

a~b2

(I)求椭圆C的方程;

(II)如图，AB,力是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线。P交x轴于点N,直线

AD交BP于点M，设MN的斜率为加，族的斜率为〃，试证明：2m—〃为定值.

【解析】（1）ve=—=4/1-^7，.'.a2=4b2,a=2b,>a+b=3,:.b=\,a=2,:.--•y2=1.

2Va24

由（1）知A（-2,0）,B（2,0）,D（0,1）,则直线AD方程为：x-2y+2=0-,直线BP方程：y=k（x-2）,联

4k+2

x-2y+2=0~2k4%+24k

立得{".、，；.{,，网（寸下,彳7—7）•直线BPy=&（x-2）和椭圆联立方程组解得p点

y=k（x-2）4k2k-I2攵一1

y二

"2k-l

“2-24k

坐标为尸（竺一,一一磐），因