异面直线所成的角和异面直线的垂直

异面直线所成的角教学目标：巩固异面直线所成的角，特别是平移的灵活应用学习直线的垂直问题，理解异面直线的垂直问题1：异面直线所成角的定义？问题2：异面直线所成角的范围？问题3：求异面直线所成角的步骤？问题2求异面直线所成角的步骤3、解三角形，求出θ2、找出角θ，证明θ即为所求角1、平移(作平行线)D1BADCA1B1C1··FE解：例1(法一)、在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别是BB1,CC1的中点，求直线AE与BF所成的角余弦值.例2(法二)、在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别是BB1,CC1的中点，求直线AE与BF所成的角.BADCA1B1C1··FED1解：例1(法三)、在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别是BB1,CC1的中点，求直线AE与BF所成的角.BADCA1B1C1··FED1解：·K变式一、M，N为A1B1，BB1的中点,求AM与CN所成的角BADCA1B1C1·ND1MＰＱＲD1BADCA1B1C1·ED1BADCA1B1C1·EE1B2B3·变式二、求AE与BD1所成的角直三棱柱ABC－A1B1C1中角ACB＝900，D1，F1分别是A1B1与A1C1的中点。若BC＝CA＝CC1，求BD1与AF1这两条异面直线所成的角。AA1CBB1C1F1D1分析：恰当的平移是将异面直线所成的角转化为平面中的角的关键。例2思路一：取BC中点G，连结F1G，则角AF1G（或其补角）为异面直线所成的角；解三角形AF1G可得。ABCA1B1C1D1F1GB思路二、延展平面BAA1B1，使A1E＝D1A1，则将BD1平移到AE，角EAF1（或其补角）即为BD1与AF1所成的角。AA1CB1F1D1E例3．A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。

ABCDEFG解：连结DF，取DF的中点G，连结EG，CG，又E是AD的中点，故EG//AF，所以∠GEC（或其补角）是异面直线AF、CE所成的角。∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是

例3．A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。

ABCDEFP另解:延长DC至P,使DC=CP，E为AD中点，∴AP//EC。

故∠PAF(或其补角)为异面直线AF、CE所成的角。

∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是

异面直线的垂直当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；两直线垂直共面垂直，有交点异面垂直，无交点练习：判断正误：垂直于同一条直线的两条直线平行ⅰ)a∥b

a、b异面ⅲ)

a、b相交ⅱ)lbaablabl例4

正方体AC1中,E,F分别是AB,DD1的中点，求证直线A1E与C1F垂直.练习：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．若AC和BD垂直，判断四边形EFGH的形状，并证明BCADEFHG小结：异面直线所成的角，关键是选择适当的方法进行平移，然后正确的解三角形。直线的垂直分成两种，异面垂直和相交垂直1、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=4，AA1=6，分别用两种方法，求异面直线AC1与BD所成的角的大小ABCDA1B1C1D1